人教A版高中数学必修四 25《平面向量应用举例》导学案.docx
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人教A版高中数学必修四25《平面向量应用举例》导学案
2.5《平面向量应用举例》导学案
【学习目标】
1.通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐
标法,可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题;
2.通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用,增强学生的
积极主动的探究意识,培养创新精神。
【导入新课】
回顾提问:
(1)若O为重心,则++=。
(2)水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?
教师:
本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤,已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
新授课阶段
探究一:
(1)向量运算与几何中的结论"若,则,且所在直线平行或重合"相类比,你有什么体会?
(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.
教师:
平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来:
例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图:
平行四边行中,设=,=,则(平移),,(长度).向量,的夹角为.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题。
通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.把运算结果“翻译”成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说明向量方法在平面几何中的运用。
例1证明:
平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
已知:
平行四边形ABCD.
求证:
.
分析:
证明:
用向量方法解决平面几何问题,主要有下面三个步骤:
⑴建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
⑶把运算结果“翻译”成几何关系.
变式训练:
中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于点O,设
(1)证明A、O、E三点共线;
(2)用表示向量。
例2如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
分析:
解:
说明:
本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法,待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法.
探究二:
(1)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?
(2)在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么?
向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.
例3在日常生活中,你是否有这样的经验:
两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
分析:
解:
通过上面的式子我们发现,当由逐渐变大时,由逐渐变大,的值由大逐渐变小,因此,|F1|有小逐渐变大,即F1、F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.
请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题:
⑴为何值时,|F1|最小,最小值是多少?
⑵|F1|能等于|G|吗?
为什么?
例4如图,一条河的两岸平行,河的宽度m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间是多少(精确到0.1min)?
分析:
解:
本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶,这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸,分析清楚这种关系后,本例就容易解决了。
例5已知,的夹角为60o,,,当实数为何值时,⑴∥?
⑵?
例6如图,ABCD为正方形,P是对角线DB上一点,PECF为矩形,求证:
①PA=EF;
②PA⊥EF.
⑴若∥,得;
⑵若,得
例7如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,
求证:
PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
证明:
例8已知P为△ABC内一点,且3+4+5=.延长AP交BC于点D,若=,=,用、表示向量、.
解:
课堂小结
利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”?
(1)建立平面几何与向量的联系,
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,
(3)把运算结果“翻译”成几何关系。
作业
见同步练习
拓展提升
一、选择题
1.给出下面四个结论:
1若线段AC=AB+BC,则向量;
2若向量,则线段AC=AB+BC;
3若向量与共线,则线段AC=AB+BC;
4若向量与反向共线,则.
其中正确的结论有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.河水的流速为2,一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸,则小
船的静止速度大小为()
A.10B.C.D.12
3.在中,若=0,则为()
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定
二、填空题
4.已知两边的向量,则BC边上的中线向量用、表示为。
参考答案
例1
分析:
用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,我们常常要考虑向量的数量积.注意到,,我们计算和.
证明:
不妨设a,b,则
a+b,a-b,|a|2,|b|2.
得(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①
同理,|a|2-2a·b+|b|2.②
①+②得2(|a|2+|b|2)=2().
所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
例2
分析:
由于R、T是对角线AC上两点,所以要判断AR、RT、TC之间的关系,只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可.
解:
设a,b,则a+b.
因为与共线,因此,存在实数m,使得=m(a+b).
又因为与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).
由=n,得m(a+b)=a+n(b-a).
整理得a+b=0.
由于向量a、b不共线,所以有 解得
所以.
同理.
于是.
所以AR=RT=TC.
例3
分析:
上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚F、G、三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.
解:
不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则,理的平衡原理以及直角三角形的指示,可以得到
|F1|=.
通过上面的式子我们发现,当由逐渐变大时,由逐渐变大,的值由大逐渐变小,因此,|F1|有小逐渐变大,即F1、F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.
例4
分析:
如果水是静止的,则船只要取垂直于对岸的方向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短.考虑到水的流速,要使船的行驶航程最短,那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸.(用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响)
解:
=(km/h),
所以,(min).
答:
行驶航程最短时,所用的时间是3.1min.
例5
解:
⑴若∥,得;
⑵若,得
例6
解:
以D为原点,为x轴正方向建立直角坐标系,则A(0,1),C:
(1,0),B:
(1,1).
.
故
例7
证明:
即
例8
解:
∵=-=-,=-=-,
又3+4+5=,∴3+4(-)+5(-)=,
化简,得=+.设=t(t∈R),则
=t+t.①
又设=k(k∈R),
由=-=-,得=k(-).
而=+=+,
∴=+k(-)=(1-k)+k.②
由①②,得
解得t=.将之代入①,有
=+.
拓展提升
1.B2.B3.C4.
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