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中靶。
B:
射击所用枪支是已校正过的。
P(A)0.80.349
8880
0.8
P(BA)
5、设有甲乙两盒,其中甲盒内有2只白球1只黑球,乙盒内有1只白球5只黑球。
求从甲盒任取一球投入乙盒内,然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。
A:
从乙盒取出一球得白球。
B:
从甲盒中取一白球放入乙盒。
22115
P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
373721
6、设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%,35%,20%。
如果各车间的次品率依次为4%,2%,5%。
现在待出厂产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率。
解:
A:
任取一个产品是次品。
产品由甲车间生产。
45%4%
45%4%35%2%20%5%
7、对某种药物的疗效进行研究,假定这药物对某种疾病治愈率为0.8,现10个患此病的病
人都服用此药,求其中至少有6人治愈的概率。
X:
治愈的人数,X~B(10,0.8)
6647738829911010
P{X6}C160(0.8)6(0.2)4C170(0.8)7(0.2)3C10(0.8)8(0.2)2C10(0.8)9(0.2)1C1100(0.8)0.9672
P{X0}
CC3522
0.3
P{X
1}
C31C21
C52
0.6
P{X2}
C22
0.1
分布函数为:
0,x0
1,x2
9、设连续型随机变量
X的分布函数为F(x)
ABe3x,x
0,x
0,试确常数
A,B,并求
P{X1},P{X1}及概率密度。
3
1e3x,x0
由F()1及F(x)在0的连续性,得A=1,B=-1,所以F(x)
1113
P{13X1}F
(1)F(13)e1e3
F
(1)
f(x)F(x)
3e3x,x0
10、已知连续型随机变量X有概率密度
f(x)
kx1,0x
0,其它
2,求:
由
F(x)
(1)系数k;
(2)分布函数F(x);
3)P{1.5<
X<
2.5}。
f(x)的规范性,
0,
12
x
4
1,
得k=-1/2.
x,
02
P{1.5
X2.5}
F(2.5)F(1.5)
0.0625
11、某元件寿命(按小时计)X服从参数为=0.001的指数分布,三个这样的元件使用1000小时后,都没有损坏的概率是多少?
0.001x
P{X1000}0.001e0.001xdxe
1000
Y:
损坏的个数,Y~B(3,1e1)
01033
P{Y0}C3(1e)ee
12、设X:
N(1.5,4),计算:
(1)P{X<
-4},
(2)P{|X|>
2}。
其他
14、设X的分布律为
X
-2
-1/2
p
1/8
1/4
1/6
1/3
求
(1)X2
(2)X
1,(3)X2的分布律。
X+2
3/2
6
-X+1
-1
-3
X2
16
7/24
第三章
15、一整数X随机地在1,2,3,4四个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1到X中
取一个值,试求(X,Y)的分布律。
Y
1/12
1/16
根据f(x,y)dxdy1
解出C3
21231
P{(X,Y)D}0d02r(1r)dr2
求
(1)(X,Y)的边缘分布律;
(2)P{X>
Y}。
解:
1.5
1.3
1.2
2/5
1/5
1.4
2)P{X>
Y}=3/5
的边缘概率密度,并判断X,Y是否相互独立。
X,Y不相互独立
第四章
20、一个有n把钥匙的人要开他的门,他随机而又独立地用钥匙试开。
如果除去试开不成功的钥匙,求试开次数的数学期望。
设X为试开次数,
则
X的可能取值为
1,
2,
n,且
n1
n
2n
k1
P(Xk)
k1,2,L,n
L
k2
k
1n,
1n
E(X)1
n(n
1)
21、对球的直径作近似测量,设其值均匀地分布在区间[a,b]内,求球体积的均值。
VD3
b31
E(V)x3
a6ba
并说明X与Y是否不相关。
不是不相关。
24、对于随机变量X,Y,Z,已知
25、在n重贝努里试验中,若每次试验A出现的概率为0.75,试利用切比雪夫不等式求出n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.9。
事件A出现的次数
X~B(n,0.75)E(X)0.75n,D(X)0.1875n,
118750.9,n18750.n
第五章
26、已知一批产品(批量很大)的次品率p0.1,现从这批产品中随机地抽取1000件进行
检查,求次品数在90至110之间的概率。
次品数X~B(1000,0.1),E(X)10000.1100,D(X)10000.10.990
X-100
由中心极限定理近似服从
N(0,1)
90
90-100
X-100
110-100
P{90X110}P{
90}
(1.05)-(-1.05)0.7062
27、设某电话交换台每秒种平均被呼叫2次(电话交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布)
试求在100秒钟内被呼叫次数在180至220次之间的概率。
100解:
第i秒呼叫次数Xi~
(2)E(Xi)2,D(Xi)2,100秒内呼叫次数为X,则XXi
i1
E(X)1002200,D(X)1002200,
X-200由中心极限定理X-200近似服从N(0,1)200
第六章
E(X),D(X)。
E(X)E(X)D(X)
29、设X1,X2,K,X5来自总体X为标准正态分布的简单随机样本,试确定常数c,使得Tc(X1X2)服从t分布。
X32X42X52
XX
X1X2~N(0,2)X1X2~N(0,1)
2222
X32X42X52~2(3)
所以,(X21X22)/2232X1X222~t(3)
(X32X42X52)/32X32X42X52
30、设有N个产品,其中有M个次品,进行放回抽样。
定义Xi如下,
总体X的分布律为:
P(Xx)(MN)x(1MN)1x,x0,1,NN
则样本X1,X2,K,Xn的联合分布律为
概率密度。
则样本X1,X2,K,Xn的联合概率密度为
f*(x1,x2,xn)ex1ex2
xini1
e
32、在总体N(7.6,4)中抽取容量为n的样本,如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95,则n至少为多少?
X~N(7.6,)
5.67.6X7.69.67.6
P{5.6X9.6}P{}0.95
2/n2/n2/n
(n)(n)0.95,2(n)10.95
(n)0.975,n1.96,n3.84故,样本容量至少为4.
33、设X1,X2,K,X17是来自正态分布N(,
22
2)的一个样本,X,S2分别是样本均值和样
本方差。
求k使得P{X
kS}0.95。
S/17~t(16),P{X
kS}
17
k17}0.95
k171.7459,k
0.4234
第七章
34、设总体分布律为
P(X
k)
(k1)
2(1
)k
2,k
2,3,K
0
1,求的极大似
然估计$。
似然函数:
L()(x11)2(1
)x12(x2
1)2(1
(x11)(x2
1)(xn
2n(1
)x2
xi
)i1
(xn
)x
两边取对数,
lnL()ln[(x11)(x21)
(xn1)]
2nln
(xi2n)ln(1i1
两边求导数,
并令其为0,
dlnL()d
2nxi
2ni1
0解出
的极大似然估计量为
35、设总体密度函数函数为
1E(X)
xf(x)dx
Xi
x
f(x)
0,求的矩估计。
0.
x2exdx
1^
2,用X替代1,得
2为矩估计量。
X2
36、设X1,X2,X3是取自某总体的容量为3的样本,试证下列统计量都是该总体均值的
无偏估计,
在方差存在且不为
0时指出哪一个估计的有效性最差?
μ
1X1
1X2
X3;
21
32
?
31
X1
X3。
61
62
验证无偏估计略。
第三个估计的有效性最差。
37、设X1,X2,K,Xn是来自正态总体N(,2)的一个样本,对2考虑如下三个估计
哪一个是的无偏估计?
解:
第一个是的无偏估计。
38、包糖某日开工包糖,抽取12包糖,称得重量(单位:
0.05Kg)为:
10.1,10.3,10.4,10.5,10.2,9.7,9.8,10.1,10.0,9.9,9.8,10.3
假定重量服从正态分布,试由此数据对该机器所包糖的平均重量及方差2,求置信水平为95%的置信区间。
10.95,0.05t0.025(11)2.2010x10.09166s0.25746
平均重量置信水平为95%的置信区间为
s
Xt(n1))(9.9281,10.2552)2n
方差置信水平为95%的置信区间为
0.025
21.9200,02.975(11)3.8157,s20.06629
39、随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:
cm):
2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11,设钉长的分布为正态分布,分别对下列两种情况求出总体均值的90%置信度的置信区间。
1)已知0.01cm;
(2)未知。
已知0.01cm,x2.125,s0.0171,z0.051.645
未知,t0.05(15)1.7531
(2.1251.75310.0171,2.1251.75310.0171)
44
(2.1175,2.1325)
40、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082),现在测定了9炉铁水,其平
均含碳量为4.484,如果铁水含碳量的方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(0.05)?
设原假设H0:
4.55,H1:
4.55
x04.4844.55
0/n0.108/3
因为uW,故接受H0.
可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(0.05)
41、设在木材中抽出100根,测其小头直径,得到样本平均数为x11.2cm,样本标准差s2.6cm,问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm(0.05)?
11.212
12,H1:
12
检验统计量T0拒绝域W{Tt0.05(99)},t0.05(99)Z0.051.645,
S/n0.05,0.050.05
W{T1.645}
因为uW,接受H1,不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm(0.05)?
42、某电工器材厂生产一种保险丝,测量其熔化时间,依通常情况方差为
故接受H0,可以认为这天保险熔化时间分散度与通常没有显著差异
(1)每间恰有一个的概率;
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