直线与平面垂直的判定教学设计1学习文档Word格式.docx
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教学的重点是直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究;
教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
四、学习行为分析
本节课安排在立体几何的初始阶段,是学生空间观念形成的关键时期,课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义,进而通过辨析讨论,深化对定义的理解。
进一步,在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理,并在教师的指导下,通过动手操作、观察分析、自主探索等活动,切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。
继而,通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。
再通过练习与课后小结,使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。
五、教学支持条件分析
观察和展示现实生活中的实例与图片,以直观感知直线与平面垂直的形象;
准备三角形纸片,用于探究直线与平面垂直的判定定理;
制作多媒体课件动态演示,以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。
六、教学过程设计
1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象
问题1:
空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系?
设计意图:
此问基于学生已有的数学现实,通过对已学相关知识的追忆,寻找新知识学习的“固着点”。
问题2:
在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么?
请举例说明。
此问基于学生的客观现实,通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中一种特例:
直线与平面垂直的初步形象,激起进一步探究直线与平面垂直的意义。
2.提炼直线与平面垂直的定义
问题3:
你能给出直线和平面垂直的定义吗?
回忆一下直线与直线垂直是如何定义的?
两直线垂直有相交垂直和异面垂直,而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直,实质上是将空间问题转化为平面问题,让学生回忆直线与直线垂直的定义,旨在由此得到启发:
用“平面化”的思想来思考问题,即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线,来定义这条直线与这个平面垂直?
问题4:
结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义.
(1)阳光下,旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少?
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?
依据是什么?
第
(1)与
(2)两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直,第(3)问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直,在这里,主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。
(学生叙写定义,并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化)
思考:
(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?
(2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线?
(对问
(1),在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示;
对问
(2)可引导学生给出符号语言表述:
若,则)
通过对问题
(1)的辨析讨论,深化直线与平面垂直的概念。
通过对问题
(2)的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。
通常定义可以作为判定依据,但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直,这给我们的判定带来困难,因为我们无法去一一检验。
这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。
3.探究直线与平面垂直的判定定理
创设情境猜想定理:
某公司要安装一根8米高的旗杆,两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子,然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一直线上)。
如果这两点都和旗杆脚距离6米,那么表明旗杆就和地面垂直了,你知道这是为什么吗?
引导学生根据直观感知以及已有经验,进行合情推理,猜想判定定理。
师生活动:
(折纸试验)请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:
过三角形的顶点A翻折纸片,得到折痕AD(如图1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)
问题5:
(1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
(组织学生动手操作、探究、确认)
通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时,且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着,即AD与桌面垂直(如图2),其它位置都不能使AD与桌面垂直。
问题6:
在你翻折纸片的过程中,纸片的形状发生了变化,这是变的一面,那么不变的一面是什么呢?
(可从线与线的关系考虑)如果我们把折痕抽象为直线,把BD、CD抽象为直线,把桌面抽象为平面(如图3),那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么?
对于两条相交直线必须在平面内这一点,教师可引导学生操作:
将纸片绕直线AD(点D始终在桌面内)转动,使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。
问:
直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗?
(此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线)
通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内,从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词:
平面内两条相交直线。
问题7:
如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下,仍保证,(如图4)你认为直线还垂直于平面吗?
让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的。
根据试验,请你给出直线与平面垂直的判定方法。
(学生叙写判定定理,给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化)
问题8:
(1)与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
(2)你觉得定义与判定定理的共同点是什么?
通过和直线与平面垂直定义的比较,让学生体会“无限转化为有限”的数学思想,通过寻找定义与判定定理的共同点,感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
现在,你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗?
为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上?
如果安装完了,请你去检验旗杆与地面是否垂直,你有什么好方法?
用学到手的知识解释实际生活中的问题,增强学生用数学的意识,同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上?
”(对该问题可引导学生用三角形纸片来验证),从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。
4.直线与平面垂直判定定理的应用
如图5,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,请列举与平面ABCD垂直的直线。
并说明这些直线有怎样的位置关系?
如图6,已知,则吗?
请说明理由。
(分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明;
并让学生用语言叙述:
如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面)
这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题,这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。
练习:
如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
求证:
AC&
perp;
平面VKB
(1)在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:
VB&
AC;
(2)在⑴中,若E、F分别是AB、BC的中点,试判断EF与平面VKB的位置关系;
(3)在⑵的条件下,有人说“VB&
AC,VB&
EF,&
there4;
平面ABC”,对吗?
例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用.变式
(1)在例2的基础上,应用了直线与平面垂直的意义;
变式
(2)是对例1判定方法的应用;
变式(3)的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理。
3个小题环环相扣,汇集了本节课的学习内容,突出了知识间内在联系和融会贯通。
5.小结回授
(1)本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?
试用自己理解的语言叙述。
(2)直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法?
以问题讨论的方式进行小结,培养学生反思的习惯,鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。
七、目标检测设计
1.课本P73探究:
如图2.3-7,直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD满足什么条件时,A1C&
B1D1.
2.如图,PA&
平面ABC,BC&
AC,写出图中所有的直角三角形。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
3.课本P74练习2
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?
尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。
我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:
乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:
“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨,我问:
“雨下得怎样?
”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:
“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。
我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀―样,给大树开刀治病。
通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。
第1题是本节教材中的一道探究题,主要运用直线与平面垂直的意义与判定定理;
第2题也是活用直线与平面垂直的意义与判定定理,前两题重在检测本节课的知识与技能目标,检测运用知识解决问题的能力;
第3题通过学生探索,培养学生观察——分析——归纳和综合运用知识的能力。
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