平行四边形与特殊平行四边形sWord文档下载推荐.docx
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(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长。
2、如图,在平行四边形ABCD中,点M、N分别在线段DA、BA的延长线上,且BD=BN=DM,连接BM、DN并延长交于点P.
∠P=90°
−
∠C;
(2)当∠C=90°
,ND=NP时,判断线段MP与AM的数量关系,并给予证明。
二、平行四边形的判定
例2、如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE,已知∠BAC=30°
,EF⊥AB于点F,连接DF.
AC=EF;
(2)求证:
四边形ADFE是平行四边形。
1、
2、如图,在平面直角坐标系xOy,直线y=x+1与y=−2x+4交于点A,两直线与x轴分别交于点B和点C,D是直线AC上的一个动点,直线AB上是否存在点E,使得以E,D,O,A为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点E的坐标;
若不存在,请说明理由。
三、三角形中位线定理
例3、
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点,连接FE并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N.
求证:
∠BME=∠CNE;
(提示:
取BD的中点H,连接FH,HE作辅助线)
(2)如图2,在△ABC中,F是BC边的中点,D是AC边上一点,E是AD的中点,直线FE交BA的延长线于点G,若AB=DC=2,∠FEC=45°
,求FE的长度。
1、
(1)回顾定理:
如图1,在△ABC中,DE是△ABC的中位线。
那么DE与BC的关系有___.
(2)运用定理:
如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=50°
∠BCD=40∘,点F为AC的中点,点E为BD的中点。
若AB=4,CD=6,求EF的长。
2、在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,点D为AC的中点。
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°
得到线段DF,连接CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明;
(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,
(1)中的其他条件不变,你在
(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明。
四、菱形的性质
例4、在菱形ABCD中,P是直线BD上一点,点E在射线AD上,连接PC.
(1)如图1,当∠BAD=90°
时,连接PE,交CD与点F,若∠CPE=90°
,求证:
PC=PE;
(2)如图2,当∠BAD=60°
时,连接PE,交CD与点F,若∠CPE=60°
,设AC=CE=4,求BP的长。
1、如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°
,M为对角线BD延长线上一点,连接AM和CM,E为CM上一点,且满足CB=CE,连接BE,交CD于点F.
(1)若∠AMB=30°
,且DM=3,求BE的长;
(2)证明:
AM=CF+DM.
2、如图1,已知ABCD是菱形,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.
∠EPF+∠BAD=180°
;
(2)如图2,若∠BAD=120°
,证明:
AE+AF=AP.
3、如图,在边长为4的菱形ABCD中,BD=4,E.
F分别是边AD、CD上的动点,且AE+CF=4,连接BE、EF、FB.
BE=BF
(2)求△BEF面积的最小值。
五、菱形的判定
例5、已知:
如图,
ABCD的两条对角线相交于点O,E是BO的中点。
过点B作AC的平行线BF,交CE的延长线于点F,连接AF.
△FBE≌△COE;
(2)将
ABCD添加一个条件,使四边形AFBO是菱形,并说明理由。
1、如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;
∠ACB=∠DCE=90°
,AB与CE交于F,ED与AB,BC,分别交于M,H.
CF=CH;
(2)如图2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°
时,试判断四边形ACDM是什么四边形?
并证明你的结论。
2、Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°
、60°
角的三角板,按如图
(一)所示拼在一起,CB与DE重合。
四边形ABFC为平行四边形;
(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图
(二)中△A′B′C′位置,直线B′C′与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想;
(3)在
(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形?
(不要求证明)
六、矩形的性质
例6、在矩形ABCD中,AB=CD=10cm、BC=AD=8cm,动点P从A点出发沿A⇒B⇒C⇒D路线运动到D停止;
动点Q从D出发,沿D⇒C⇒B⇒A路线运动到A停止;
若P、Q同时出发,点P速度为1cm∕s,点Q速度为2cm∕s,6s后P、Q同时改变速度,点P速度变为2cm∕s,点Q速度变为1cm∕s.
(1)问P点出发几秒后,P、Q两点相遇?
(2)当Q点出发几秒时,点P点Q在运动路线上相距的路程为25cm?
1、如图所示,四边形ABCD是矩形,AD=16cm,AB=6cm.动点P、Q分别同时从A、C出发,点P以3cm/s的速度向D移动,直到D为止,Q以2cm/s的速度向B移动,直到B为止.
(1)P、Q两点从出发开始几秒后,四边形ABQP的面积是矩形面积的
?
何时四边形ABQP的面积最大,最大是多少?
(2)P、Q两点从开始出发几秒后,PQ=6
cm?
2、已知:
如图1,在矩形ABCD中,把△BCD沿BD向上折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点M.
BM=DM;
(2)如图2,把△BAD沿BD向下折叠,使点A落在A′处,DA′交BC于点N,连接MN,判断四边形MBND是什么特殊的四边形,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接MA′和MC,若CD=6,AD=8,请求出△MA′C的面积。
七、矩形的判定
例7、如图
(1),四边形ABCD是平行四边形,BD是它的一条对角线,过顶点A.
C分别作AM⊥BD,CN⊥BD,M,N为垂足。
AM=CN;
(2)如图
(2),在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E,F,使BE=DF,连接AE、CF,试探究:
当EF满足什么条件时,四边形AECF是矩形?
并加以证明。
1、如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由。
平行四边形ABCD的对角线交点为O,点E.
F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在O点处,且四边形DEBF为菱形(如图).
四边形ABCD是矩形;
(2)在四边形ABCD中,求ABBC的值。
八、正方形的性质
例8、在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1,则有AC=BD,AC⊥BD.
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置,AC′与BD′有什么关系?
(直接写出)
若四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°
,旋转Rt△COD至图3所示的位置,AC′与BD′又有什么关系?
写出结论并证明。
1、已知正方形ABCD,点F是射线DC上一动点(不与C.
D重合).连接AF并延长交直线BC于点E,交BD于H,连接CH,过点C作CG⊥HC交AE于点G.
(1)若点F在边CD上,如图1
①证明:
∠DAH=∠DCH
②猜想△GFC的形状并说明理由。
(2)取DF中点M,MG。
若MG=2.5,正方形边长为4,求BE的长。
2、如图,在正方形ABCD中,点P为AD边上一点,PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F,连接PF交AB于G,连接CG.
(1)如图1,求证:
GC平分∠PGB;
(2)如图2连接AN,试判断线段PC与AN的数量关系,并给予证明。
九、正方形的判定
例9、已知:
如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?
请说明理由。
1、如图,在△ABC和△BCD,∠BAC=∠BCD=90°
,AB=AC,CB=CD。
延长CA至点E,使AE=AC;
延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.
AD=AF;
(2)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由。
2、如图,P是矩形ABCD内一点,AP⊥BP于点E,CE⊥BP于点E,BP=EC.
(1)请判断四边形ABCD是否是正方形?
若是,写出证明过程:
若不是,说明理由;
(2)延长EC到点F,使CF=BE,连接PF交BC的延长线于点G,求∠BGP的度数。
3、如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.
四边形EDFG是正方形;
(2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?
并求四边形EDFG面积的最小值。
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