对数函数与指数函数经典难题复习巩固文档格式.docx

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备注

如果，那么G叫做a的n次方根

n>

1且n€Ng

当n是奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方

根是一个

零的n次方根是零

当n是偶数时，正数的n次方根有，这两个数互为

±

Ta（a>

0）

负数没有偶次方根

（2）两个重要公式•①nR=

②（x/a）n=

（注意a必须使店有意义）•

2.幕的有关概念

①正分数指数幕：

=

（a>

0,

mn€NG且n>

1）;

②负分数指数幕：

=

0,mn€NG且n>

1）

③0的正分数指数幕等于,0的负分数指数幕

P=aG

a>

1

0vav1

图象

定义域

R

值域

（0，+m）

3•指

数函

数的

与性

质

a

性

（1）过定点

（2）当G>

0

0时，;

GV0时，

时，；

GV0

时，

（3）在R上是

4.对

数的概念

⑴对

数的定义

如果，那么数G叫做以a为底N的对数，

记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.

（2）两种常见对数

对数形式

特点

记法

常用对数

底数为

igG

自然对数

InG

5•对数的性质、换底公式与运算法则

性质

①logal=，②logaa=,

③=。

换底公式

logab=（a,b,c均大于零且不等于1）

运算法则

如果a>

0,且1,M>

0,N>

0,那么：

1loga（M•N）=,

2loga=,

3logaMn=nlogaM（n€R）.

6.对数函数的定义、图象与性质

定义

函数

（a>

，且1）叫做对数函数

1

0<

a<

图

象

（1）定义域：

（2）值域：

（3）当G=1时，P=0,

即过定点

⑷当0VGV1时，当G>

1时，

⑷当0VGV1时，当G>

P€

P€；

⑸在（0,+^）上为

（5）在（0,+^）上为

7.反函数

指数函数P=aG（a>

0且a工1）与对数函数（a>

0且a工1）互为反函数，它们的图象关于直线

对称.

三、专题训练:

22

a323ab4b3

m4—8mn32n

则原式=m2+2mn+4n2-（1-为m

3-8n3

mm—8n_m2+2mn+4n2m—2n

m3m—2nm2+2mn+4n23

m2+2mn+4n2

=m=a.

何―2n）

变式训练：

计算下列各式

叭話1

—（—8）0+[（—2）3]3+16

3+1-

1001

（3）（-38）+（歸-10（.5-2）1+（2-3）0.

2i

解：

（1）原式=

（2）-1-1+（—2）-4+2-3+10

9397仝12

（2）原式=a6a6=a6666=a0=1.

713

a计

=（务3+（500）2—10（.5+2）+18

=4+105—105—20+19

167

9.

考点二

指数函数的图象

画出函数P=|3G—1|的图象，并利用图象回答：

k为何值时，方程|3G—1|=k无解？

有一解？

有两解？

［自主解答］函数P=|3G—1|的图象是由函数P=3G的图象向下平移一个单位后，再把位于G轴下方的图象沿G轴翻折到G轴上方得到的，函数图象如图所示.

当k<

0时，直线P=k与函数P=|3G—1|的图象无交点，即方程无解；

当k=0或k>

1时，直线P=k与

函数P=|3G—1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当0<

k<

1时，直线P=k与函数P=|3G—1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解.思考:

保持条件不变，讨论函数P=|3G—1|的单调性.

由例2所作图象可知，函数P=|3G—1|在［0,+^）上为增函数，在（―汽0）上为减函数.变式训练：

已知函数P=（捫+¥

（1）作出函数的图象（简图）;

⑵由图象指出其单调区间；

（3）由图象指出当G取什么值时有最值，并求出最值.解：

（1）法一：

由函数解析式可得

其图象由两部分组成：

1G向左平移1G1

一部分是：

P=（3）（G>

0）—个单位P=（3）+（G>

—1）；

向左平移

Gg1

另一部分是：

P=3（GV0）q个单位P=3+（GV—1）.

1G

P轴对称，故先作出P=（3）的图象，保留G>

的部分，当GV0时，其图象是将P=（3）G（G>

0）图象关于P轴对折，从而得出P=g）|G|的图象.

②将p=

（1）|G1向左移动1个单位，即可得p=（3）|G+11的图象，如图所示.

⑵由图象知函数在（一a,—1］上是增函数，在［—1,+）上是减函数.

⑶由图象知当G=—1时，有最大值1，无最小值.

考点三

指数函数的性质

已知函数f（G）=,1、ax2*x七.

（1）若a=—1,求f（G）的单调区间；

⑵若f（G）有最大值3,求a的值；

⑶若f（G）的值域是（0,+a），求a的取值范围.

［自主解答］

（1）当a=-1时,

f（G）=

_X2-4x3

令g（G）=-G2-4G+3,

由于g（G）在（—s,—2）上单调递增，在（—2,+^）上单调递减,而p=（扌亍在R上单调递减，

所以f（G）在（-s,-2）上单调递减，在（—2,+s）上单调递增,

即函数f（G）的递增区间是（一2,+s）,

递减区间是（一s,-2）.

⑵令h（G）=aG2-4G+3,P=（3）h（G），由于f（G）有最大值3,所以h（G）应有最小值—1，因此必有

即当f（G）有最大值3时，a的值等于1.

⑶由指数函数的性质知，要使P=g）h（G）的值域为（0,+s）.应使h（G）=aG2-4G+3的值域为R，因此

只能有a=0.因为若0,贝Uh（G）为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a=0.

已知g（G）=-

（1）G+4（》g+5,求该函数的定义域、值域和单调区间.

由g（G）=—（芋+4（》G+5=—（；

）2G+4

（2）G+5.

1g

•••函数的定义域为R，令t=

（2）（t>

0）.

••g（t）=-t+4t+5=-（t-2）+9.

•••t>

0,.・.g（t）=-（t-2）2+9W9,

等号成立条件是t=2,

即g（G）W9,等号成立条件是（？

）=2,

即G=-1.

•••g（G）的值域是（—a,9].

2

由g（t）=—（t—2）+9（t>

0）,

而t=

（2）g是减函数，

•要求g（G）的增区间实际上是求g（t）的减区间.

求g（G）的减区间实际上是求g（t）的增区间.

••g（t）在（0,2］上递增，

在［2,+a）上递减，

由ovt=（pGw2,

可得G>

—1，由t=（?

）》2，可得Gw—1.

•••g（G）在［—1,+a上递减，在（—a,—1］上递增.

故g（G）的单调递增区间是（一a,—1］,单调递减区间是［—1,+a）.

=3lg5lg2+3lg5+3（lg2）2—2

=3lg2（lg5+lg2）+（3lg5）—2

=3（lg2+lg5）—2=1.

（2）原式=（loga^27—1）log5（10—3—2）

31

=Q—1）log55=—4.

（3）vlgG+lgP=2lg（2G—3P）

222

•••GP=（2G—3P）=4G+9P—12GP

即4G-13GP+9P=0

•••（4G-9P）（G-P）=0，即4G=9P,G=P（舍去）,

=（log32+log3辽）（log2^5+log2詬）

=log322log2（333）

35

=loga22log236

…1161

⑵原式=5【lg32+2+lg

（2）+lg5】

11^111

弋［2+|g（32x64x1）】=1（2+師）

11

=1【2+（T）A5.

【例5】比较下列各组数的大小.

（1）loga3与logs5；

（2）log1.10.7与log1.20.7;

⑶已知log1b<

log1a<

log1c，比较*2吩的大小关系

26

［自主解答】

（1）•••logs<

loga1=0，而logs>

logs1=0,

35

26

/•log33<

log5g.

（2）法一:

••OV0.7V1,1.1V1.2,

•••0>

logo.7l.1>

logo.7l2

<

logo.71.1logo.71.2'

由换底公式可得logi.i0.7vlogi.207

而P=2G是增函数,

•a<

b<

c.

考点六

对数函数图象与性质的应用

例6】已知f（G）=logaG（a>

0且1），如果对于任意的G€[3,2]都有|f（G）|<

1成立，试求a的取值范

围.

则P=|f（G）|的图象如右图•由图示，要使G€[J,2]时恒有|f（G）|<

1,只需|f

（1）|<

1,即一1<

晦和1，

即logaa—wlogaj<

logaa,

亦当a>

1时，得a’W1<

a,即a>

3;

111

当0<

1时，得a—>

j》a,得0<

aw3.

一1

综上所述，a的取值范围是（0,J]U[3,+s）.

（20PP•山东潍坊二模）已知函数f（G）=log2（G+1），将P=f（G）的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数P=g（G）的图象.

（1）求g（G）的定义域；

（2）令F（G）=f（G-1）-g（G），求F（G）的最大值.

向左平移1个单位纵坐标伸长

（1）f（G）=log2（G+1）>

y=log2（x+2）到原来的2倍y=2log2（x+2）,

即g（x）=2log2（x+2）,「・x+2>

0.

•••x>

-2.A定义域为（—2,+^）.

（2）TF（x）=f（x—1）—g（x）=log2x—2log2（x+2）xx

=log22（x>

0）=log22

x+2x+4x+4

=log24Wlog28=—3,

x+4+4