必修4综合能力检测题文档格式.docx
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C.
D.
7.已知a=(1,3),b=(2+λ,1),且a与b成锐角,则实数λ的取值范围是( )
A.λ>
-5
B.λ>
-5且λ≠-
C.λ<
D.λ<
1且λ≠-
8.(09·
陕西理)若3sinα+cosα=0,则的值为( )
A.
B.
D.-2
9.若sin4θ+cos4θ=1,则sinθ+cosθ的值为( )
A.0
B.1
C.-1
D.±
1
10.a与b的夹角为120°
,|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·
a=( )
A.3
B.9
C.12
D.13
11.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A、B、D三点共线,则k的值为( )
C.-
D.不存在
12.(09·
宁夏、海南理)已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·
=·
,则点O,N,P依次是△ABC的( )
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心
(注:
三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________.
14.在▱ABCD中,M、N分别是DC、BC的中点,已知=c,=d,用c、d表示=________.
15.已知点P(sinα+cosα,tanα)在第二象限,则角α的取值范围是________.
16.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则=________.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)(09·
湖南文)已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).
(1)若a∥b,求tanθ的值;
(2)若|a|=|b|,0<
θ<
π,求θ的值.
[解析]
(1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ,
于是4sinθ=cosθ,故tanθ=.
(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,
所以1-2sin2θ+4sin2θ=5.
从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,
即sin2θ+cos2θ=-1,
于是sin=-.
又由0<
π知,<
2θ+<
,
所以2θ+=,或2θ+=.
因此θ=,或θ=.
18.(本题满分12分)(09·
重庆文)设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>
0)的最小正周期为.
(1)求ω的值;
(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.
[解析]
(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2
=sin(2ωx+)+2,
依题意得=,故ω=.
(2)f(x)=sin+2,
依题意得g(x)=sin+2
=sin+2,
由2kπ-≤3x-≤2kπ+ (k∈Z)解得
kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z),
故g(x)的单调增区间为 (k∈Z).
19.(本题满分12分)(09·
陕西文)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R,的周期为π,且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的最值.
[解析]
(1)由最低点为M得A=2,
由T=π得ω===2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
由点M在图象上得2sin=-2
即sin=-1,
∴+φ=2kπ-
即φ=2kπ-,k∈Z,
又φ∈,∴k=1,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)∵x∈,∴2x+∈,
∴当2x+=,即x=0时,f(x)取得最小值1;
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值.
20.(本题满分12分)(北京通州市09~10高一期末)已知向量a=(cosωx,sinωx),b=sin(ωx,0),且ω>
0,设函数f(x)=(a+b)·
b+k,
(1)若f(x)的图象中相邻两条对称轴间距离不小于,求ω的取值范围;
(2)若f(x)的最小正周期为π,且当x∈-,时,f(x)的最大值为2,求k的值.
[解析] ∵a=(cosωx,sinωx),b=(sinωx,0),
∴a+b=(cosωx+sinωx,sinωx).
∴f(x)=(a+b)·
b+k=sinωxcosωx+sin2ωx+k
=sin2ωx-cos2ωx++k
=sin++k.
(1)由题意可得:
=≥.
∴ω≤1,又ω>
0,
∴ω的取值范围是0<
ω≤1.
(2)∵T=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin++k
∵-≤x≤,∴-≤2x-≤.
∴当2x-=,
即x=时,f(x)取得最大值f=2.
∴sin++k=2.∴k=1.
21.(本题满分12分)(09·
江苏文)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ)
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tanαtanβ=16,求证:
a∥b.
[解析]
(1)∵a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),
c=(cosβ,-4sinβ)
∵a与b-2c垂直,∴a·
(b-2c)=a·
b-2a·
c=4cosαsinβ+4sinαcosβ-2(4cosαcosβ-4sinαsinβ)
=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.
(2)∵b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ)
∴|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β,
当sin2β=-1时,最大值为32,
∴|b+c|的最大值为4.
(3)由tanαtanβ=16得sinαsinβ=16cosαcosβ
即4cosα·
4cosβ-sinαsinβ=0,∴a∥b.
22.(本题满分14分)(09·
福建文)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>
0,|φ|<
.
(1)若coscosφ-sinsinφ=0,求φ的值;
(2)在
(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式;
并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.
[解析] 解法一:
(1)由coscosφ-sinsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0,
即cos=0.
又|φ|<
,∴φ=;
(2)由
(1)得,f(x)=sin.
依题意,=.
又T=,故ω=3,∴f(x)=sin.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后,所得图象对应的函数为g(x)=sin,
g(x)是偶函数当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),
即m=+(k∈Z).
从而,最小正实数m=.
解法二:
(1)同解法一.
又T=,故ω=3,
∴f(x)=sin.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所得图象对应的函数为g(x)=sin.
g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对x∈R恒成立,
亦即sin=sin对x∈R恒成立.
∴sin(-3x)cos+cos(-3x)sin
=sin3xcos+cos3xsin,
即2sin3xcos=0对x∈R恒成立.
∴cos=0,
故3m+=kπ+(k∈Z),
∴m=+(k∈Z),
一、单选
1.[答案] B
[解析] ∵tanβ=3,tanα=4,
∴tan(α+β)===-.
2.[答案] A
[解析] 因为y=2cos2-1=cos=sin2x为奇函数,T==π,所以选A.
3.[答案] A
4.[答案] D
[解析] 设c=(m,n),∵c+a=(m+1,n+2),a+b=(3,-1),
∴由(c+a)∥b,c⊥(a+b)得:
,解得m=-,n=-.
故选D.
5.[答案] C
[解析] ∵y=cosx·
|tanx|
=,故选C.
6.[答案] C
[解析] ∵cosB=,∴sinB=,
∵sinB>
sinA,A、B为△ABC的内角,
∴B>
A,∴A为锐角,
∵sinA=,cosA=,
∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB
=-×
+×
=.
7.[答案] B
[解析] ∵a与b夹角为锐角,∴a·
b=2+λ+3>
0,∴λ>
-5,
当a与b同向时,存在正数k,使b=ka,
∴,∴,因此λ>
-5且λ≠-.
[答案] A
[解析] ∵3sinα+cosα=0,∴tanα=-,
∴原式====,故选A.
8.[答案] D
由sin4θ+cos4θ=1知
或,
∴sinθ+cosθ=±
1.
∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1,
∴sin2θcos2θ=0,∴sinθcosθ=0,
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1,
9.[答案] D
[解析] a·
b=2×
5×
cos120°
=-5,
∴(2a-b)·
a=2|a|2-a·
b=8-(-5)=13.
10.[答案] A
[解析] =+=(-ke1-e2)+(3e1-2ke2)
=(3-k)e1-(1+2k)e2,
∵A、B、D共线,∴∥,
∴=,∴k=-.
11.[答案] C
[解析] ∵O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,
∴O是△ABC外接圆的圆心,
由++=0,得N是△ABC的重心;
由·
得
·
(-)=·
=0,
∴PB⊥CA,同理可证PC⊥AB,PA⊥BC,
∴P为△ABC的垂心.
13.[答案] 1-
[解析] y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+sin,
∵x∈R,∴ymin=1-.
14.[答案] d-c
[解析] d=+=+①
c=+=+②
解①②组成的方程组得=c-d,=d-c.
15.[答案] 2kπ-<
α<
2kπ或2kπ+<
2kπ+ k∈Z
[解析] ∵点P在第二象限,∴,
如图可知,α的取值范围是2kπ-<
2kπ+ k∈Z.
16.[答案] c+a-b
[解析] =+=+
=+(-)=c+a-b.
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