概率论与数理统计课程第一章练习题及解答可编辑修改word版文档格式.docx
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()
A、{T
(1)≥t0}
B、{T
(2)≥t0}
C、{T(3)≥t0}
D、{T(4)≥t0}
分析事件{T(4)≥t0}表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0;
事件
{T(3)≥t0}表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,即E={T(3)≥t0},选
C。
5、对于任意二事件A和B,与AB=B不等价的是()
A、A⊂B
B、B⊂A
C、AB=
D、AB=
分析AB=B⇔A⊂B⇔B⊂A⇔AB=,而AB=B-A,因A⊂B,
AB=
不一定成立,选D。
6、对于任意二事件A和B,
A、若AB≠,则A,B一定独立B、若AB≠,则A,B有可能独立
C、若AB=,则A,B一定独立D、若AB=,则A,B一定不独立
分析若P(A),P(B)中至少有一个等于0时,则A不成立;
若P(A),P(B)均大于0时,
则C不成立;
若AB≠,但P(A)>
0,且P(BA)=P(B)时,则A与B独立,D不
成立,因此应选B。
即当AB≠时,如果P(AB)=P(A)P(B),则A与B独立,否则A与B不独立。
7、对于事件A和B,满足P(BA)=1的充分条件是()
A、A是必然事件B、P(BA)=0
C、A⊃B
D、A⊂B
分析P(BA)=1的充分条件是P(AB)P(A)=1,即P(AB)=P(A),显然在四个
选项中,当A⊂B时,AB=A,可得P(AB)=P(A),因此A⊂B是P(BA)=1的充分条件。
选D
8、已知0<
P(B)<
1且P[(A1+A2)B]=P(A1B)+P(A2
B)
,则下列选项成立的是
A、P[(A1+A2)B]=P(A1B)+P(A2B)B、P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)
C、
P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)
P(A1+A2)=P(A1B)+P(A2B)D、
分析依题意
P[(A1+A2)B]=P(A1B)+P(A2B),P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)
P(B)
因为0<
1,故有P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)。
选B
9、设A、B为任意两个事件,且A⊂B,P(B)>
0,则下列选项必然成立的是
A、P(A)<
P(AB)
B、P(A)≤P(AB)
C、P(A)>
P(AB)D、
P(A)≥P(AB)
分析因为A⊂B,故AB=A,又P(B)≤1,于是有
P(A)=P(AB)=P(B)P(AB)≤P(AB),选B
10、设A、B是两个随机事件,且0<
P(A)<
1,
必有()
P(B)>
0,
P(BA)=P(BA),则
A、P(AB)=P(AB)B、P(AB)≠P(AB)
C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)
分析应用条件概率定义从P(BA)=P(BA)可得P(AB)=P(AB),
P(A)P(A)
即[1-P(A)]P(AB)=P(A)[P(B)-P(AB)]⇒
P(AB)=P(A)P(B)
,选C
三、填空题
1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分),样本空
间S为(
S=⎧i
⎩
i=0,1,2,,100n⎫)
⎭
2、生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数,样本空间S为(
S={10,11,12,})
3、对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果,样本空间S为(
S={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111})
4、在单位圆内任意取一点,记录它的坐标,样本空间S为(取一直角坐标系,
则样本空间为
S={(x,y)x2+y2<
1};
若取极坐标系,则样本空间为
S={(,)<
1,0≤<
2}。
)
5、设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生,(ABC或者A-B-C)
(2)A与B都发生,而C不发生,(ABC或者AB-C)
(3)A,B,C中至少有一个发生,(
(4)A,B,C都发生,(ABC)
(5)A,B,C都不发生,(ABC)
A⋃B⋃C)
(6)
A,B,C中不多于一个发生,(AB⋃BC⋃CA或者AB⋂BC⋂CA或者
ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC)
(7)A,B,C中不多于两个发生,
(8)(D=ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC或者D=A⋃B⋃C=ABC)
(8)A,B,C中至少有两个发生,(
8
D=ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC)。
D8=AB⋃BC⋃CA或者
6、设A,B是任意两个随机事件,则P{(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)}=(0)
分析(A+B)(A+B)=AA+AB+AB+BB=B
(A+B)(A+B)=AA+AB+AB+BB=B
P{(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)}=P(BB)=P()=0
7、一批产品共有10个正品2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为()
分析此为一全概率问题,设事件
Bi={第i次抽出次品},i=1,2,
由题有P(B1)=212,P(B1)=1012,P(B2
B1)=111,P(B2B1)=211,
211021
于是P(B2)=P(B1)P(B2
B1)+P(B1)P(B2
B1)=⨯+⨯=
121112116
8、设A,B两个事件满足P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=()
分析P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)
因为P(AB)=P(AB),故有P(A)+P(B)=1,P(B)=1-P(A)=1-p
9、设两两相互独立的三事件A,B和C,满足条件:
ABC=,
且已知PABC)=916,则P(A)=()
P(A)=P(B)=P(C),
分析由于A、B、C两两相互独立,且P(A)=P(B)=P(C),
所以,P(AC)=P(A)P(C)=[P(A)]2,
P(BC)=P(B)P(C)=[P(A)]2,
PABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3P(A)-3[P(A)]2
依题意,有题意舍去)
3P(A)-3[P(A)]2=916,解方程,得P(A)=14。
(P(A)=34不合
10、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概
率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=()
分析依题意,P(AB)=P(AB),故P(AB)+P(AB)=P(AB)+P(AB),
即P(A)=P(B),又因A与B相互独立,故A与B亦相互独立,
P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)]2=19⇒
P(A)=13,
P(A)=23。
四、计算题
1、
(1)设A,B,C是三个事件,且(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,
P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。
(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,
P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A⋃B,AB,A⋃B⋃C,ABC,ABC,ABC
的概率。
(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容,求P(AB),(ii)若P(AB)=1/8,
求P(AB)。
解:
(1)
P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=5+P(ABC)
由ABC⊂AB,且已知
P(AB)=0,得
0≤P(ABC)≤P(AB)=0,于是
P(ABC)=0
因此P(A⋃B⋃C)=5
(2)P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1+1-1
=11;
231015
P(AB)=P(A⋃B)=1-P(A⋃B)=4;
15
P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
=1+1+1-1-1-1+1=51
2351020153060
P(ABC)=P(A⋃B⋃C)=1-P(A⋃B⋃C)=9
60
因为P(AB)=P(ABS)=P(AB(C⋃C)=P(ABC)+P(ABC)
于是P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=4-9=1
(3)(i)
因为所以
(ii)
156012
P(AB⋃C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=411=23。
1551260
AB=,P(AB)=0,P(A)=P(AS)=P(A(B⋃B))=P(AB)+P(AB)P(AB)=P(A)-P(AB)=1
2
P(AB)=1,P(A)=P(AS)=P(A(B⋃B))=P(AB)+P(AB)
P(AB)=P(A)-P(AB)=1-1=3
288
2、在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码。
求
(1)最小号码为5的概率;
(2)最大号码为5的概率。
古典概型
(1)设A=“最小号码为5”,则
C21
P(A)=5=;
1012
C1
(2)设B=“最大号码为5”,则P(B)=4=。
1020
3、在1500个产品中有400个次品,1100个正品。
从中任取200个。
(1)恰有90个次品的概率;
(2)至少有2个次品的概率。
设A=“恰有90个次品”;
Bi=“恰有i个次品”,i=0,1,C=“至少有2个次品”。
C90C110
(1)设A=“恰有90个次品”,则P(A)=4001100;
1500
(2)设C=“至少有2个次品”,求P(C)
又设Bi=“恰有i个次品”,i=0,1,则C=S-B0⋃B1,于是P(C)=P(S-B0⋃B1)=1-P(B0)-P(B1),
C200C1C199
这里P(B
)=1100,P(B)=4001100,
0200
C200
+C1
1
C199
200
因此P(C)=1-11004001100。
4、从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?
设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”,
则P(A)=1-P(A)=1-NA
=1-10⨯8⨯6⨯4=13。
另解:
NS10⨯9⨯8⨯721
设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”,Ai=“所取4只鞋子恰能配成i双”,i=1,2,则
NANA
C1(C2-C1)C2
120+1013
P(A)=P(A)+P(A)=1+2=584+5==
12
SS
44
1010
21021
5、张卡片上分别写上Probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率。
古典概型,设A=“排列结果为ability”,则P(A)=NA=
NS
4=2.4⨯10-6。
11
6、
(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5。
求条件概率P(BAB)
。
(2)已知P(A)=14,P(AB)=12,P(BA)=13,求P(A⋃B)
P(BA⋃B)=P(B(A⋃B))=
P(A⋃B)
P(AB)
P(A)+P(B)-P(AB)
由题知,P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,;
P(AB)=P(A(S-B)=P(A)-P(AB)=0.2,故
P(BA⋃B)=
(2)
0.2
0.7+0.6-0.5
=0.25
因为P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)
又P(AB)=P(AB)=1,P(BA)=P(AB)=1,P(A)=1
P(B)2P(A)34
所以P(B)=1,P(AB)=1,P(A⋃B)=1
6123
7、
(1).设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?
(2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;
第二只盒子装有4只红球,5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。
(1)设A=“从甲袋取得红球”,B=“从乙袋取得白球”,则
P(B)=P(SB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)
=mN+nN+1=n+N(n+m)
n+mN+M+1n+mN+M+1(n+m)(N+M+1)
(2)设Ai=“从第一盒取得的球中有i只红球”,i=0,1,2,
B=“从第二盒取得一白球”,则
P(B)=P(SB)=P(A0B)+P(A1B)+P(A2B)=P(A0)P(BA0)+P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)
因为P(A)=4=,
C25
P(A)=5=,
02
9
P(A)=1-P(A)-P(A)=10,
2218
10218
所以P(B)=1⨯7
+10⨯6+
5⨯5=53。
611
1811
181199
8、将两编码为A和B传送出去,接收站收到时,A被误作为B的概率是0.02,而B被误作为A的概率是0.01。
信息A与信息B被传出的频繁程度为2:
1.若接收的信息是A,问原发信息的是A的概率是多少?
设D=“将信息A传出去”,R=“接收到信息A”,题目要求P(DR),
由题知P(RD)=0.02,P(RD)=0.01,P(D)
因为P(D)+P(D)=1,所以P(D)=
P(DR)
P(D)=21,
,P(D)=
,因此,
196
P(DR)=
=
P(R)
==
197
9、三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4。
问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
设Ai=“第i人能译出密码”,i=1,2,3,B=“译出密码”,由题知P(A)=1,P(A)=1,P(A)=1,则
152334
P(B)=P(A1⋃A2⋃A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
=1+1+1-1⨯1-1⨯1-1⨯1+1⨯1⨯1=3
5345354345345
10、将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为α,而输出为其它一字母的概率都是(1-α)/2。
今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?
(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。
设A1=“输入AAAA”,B1=“输入BBBB”,C1=“输入CCCC”,D=
“输入ABCA”,
因为P(A1⋃B1⋃C1)=P(A1)+P(B1)+P(C1)=p1+p2+p3=1,因此
P(A1
D)=P(A1D)=,
P(D)
由于P(DA)=2(1-2,P(DB)=P(DC)=(1-3,
所以P(A
D)=
)1
2p1。
12)
(3-1)p1
+1-
五、证明题
1、设A,B是两个事件。
(i)已知AB=AB,证明A=B;
(ii)证明事件A与事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。
证明:
(1)因为AB=A(S-B)=A-AB,AB=(S-A)B=B-AB,
所以有A-AB=B-AB,A=B;
(2)显然,P(AB+AB)=P(AB)+
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