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显著性水平:
拒绝零假设时的概率值,记为α。
通常采用α=0.05和α=0.01两个水平,当P<
0.05时称为差异显著,P<
0.01时称为差异极显著。
3、临界值
例从上述动物群体中抽出含量n=10的样本,计算出
=10.23g,并已知该批动物的总体平均数μ绝不会小于10.00g,规定的显著水平α=0.05。
根据以上条件进行统计推断。
H0:
μ=10.00HA:
10.00
根据备择假设,为了得到
落在上侧尾区的概率P(U>
u),将
标准化,求出u值。
P(U>
1.82)=0.03438,P<
0.05,拒绝H0,接受HA。
在实际应用中,并不直接求出概率值,而是建立在α水平上H0的拒绝域。
从正态分布上侧临界值表中查出P(U>
uα)=α时的uα值,U>
uα的区域称为在α水平上的H0拒绝域,而U<
uα的区域称为接受域。
接受域的端点一般称为临界值。
本例的u=1.82,从附表3可以查出u0.05=1.645,u>
uα,落在拒绝域内,拒绝H0而接受HA。
4、单侧检验和双侧检验
上尾单侧检验:
上例中的HA:
μ>
μ0,相应的拒绝域为U>
uα。
对应于HA:
μ0时的检验称为上尾单侧检验。
下尾单侧检验:
μ<
μ0时的检验称为下尾单侧检验。
其拒绝域为U<
-uα。
双侧检验:
μ≠μ0时的检验称为双侧检验。
双侧检验的拒绝域为|U|>
uα/2。
5、单侧检验和双侧检验的效率:
在样本含量和显著水平相同的情况下,单侧检验的效率高于双侧检验。
这是因为在做单侧检验
利用了已知有一侧是不可能这一条件,从而提高了它的辨别力。
所以,在可能的条件下尽量做单侧检验。
例上例已经计算出u=1.82,上尾单侧检验的临界值u9,0.05=1.645,u>
uα,结论是拒绝零假设。
在做双侧检验时u仍然等于1.82,双侧检验的临界值为u9,0.05/2=1.96,|u|<
u0.025,不能拒绝零假设。
6、两种类型的错误
(1)I型错误,犯I型错误的概率记为α
α=P(I型错误)=P(拒绝H0|H0是正确的,μ=μ0)
(2)II型错误,犯II型错误的概率记为β
βμ1=P(II型错误)=P(接受H0|H0是错误的,μ=μ1)
例继续上例,抽出n=10的样本,
=10.20g,检验假设
H0:
μ=10.00gHA:
μ>
10.00g
标准化的样本平均数
临界值u0.05=1.645,u<
u0.05,P>
0.05。
结论是不能拒绝H0。
以样本平均数表示的临界值,可由下式得出
在下图中
的位置已用竖线标出。
犯I型错误的概率α,由竖线右侧μ0=10.00曲线下面积给出。
犯II型错误的概率由竖线左侧μ1=10.30曲线下面积给出。
犯II型错误的概率β10.30=0.2327。
从上图中可以看出
(1)当μ1越接近μ0时,犯II型错误的概率越大。
(2)降低犯I型错误的概率,必然增加犯II型错误的概率。
(3)为了同时降低犯两种错误的概率,必须增加样本含量。
7、关于两个概念的说明:
(1)当P<
α时,所得结论的正确表述应为:
由样本平均数推断出的总体平均数μ与μ0之间的差异有统计学意义。
即它们属于两个不同总体。
习惯上称为“差异是显著的”。
(2)接受H0的更严密的说法应是:
尚无足够理由拒绝H0。
但习惯上采用接受H0和拒绝H0这种表达方法。
5.1.2单个样本显著性检验的程序(略)
5.1.3在σ已知的情况下,单个平均数的显著性检验-u检验
检验程序如下:
1、假设从σ已知的正态或近似正态总体中抽出含量为n的样本。
2、零假设H0:
μ=μ0
备择假设HA:
①μ>
μ0
②μ<
③μ≠μ0
3、显著性水平在α=0.05水平上拒绝H0称为差异显著
在α=0.01水平上拒绝H0称为差异极显著
4、检验统计量
5、相应于2中各备择假设之H0的拒绝域
①u>
uα
②u<
-uα
③|u|>
uα/2
6、得出结论并给予解释
例已知豌豆籽粒重量服从正态分布N(377.2,3.32)在改善栽培条件后,随机抽取9粒,其籽粒平均重为379.2,若标准差仍为3.3,问改善栽培条件是否显著提高了豌豆籽粒重量?
解①σ已知
②假设:
μ=377.2
HA:
μ>
377.2
③显著性水平:
α=0.05
④σ已知,使用u检验
⑤H0的拒绝域:
因HA:
μ0,故为上尾检验,当u>
u0.05时拒绝H0。
u0.05=1.645。
⑥结论:
u>
u0.05,即P<
0.05,所以拒绝零假设。
栽培条件的改善,显著地提高了豌豆籽粒重量。
5.1.4σ未知时平均数的显著性检验-t检验
检验程序如下:
1、假设从σ未知的正态或近似正态总体中抽出含量为n的样本。
2、零假设:
备择假设:
3、显著性水平:
在α=0.05水平上拒绝H0称为差异显著
4、检验统计量:
当σ未知时以s代替之,标准化的变量称为t,服从n-1自由度的t分布。
t分布的临界值可从附表4中查出。
5、相应于2中各备择假设之H0的拒绝域:
①t>
tα
②t<
-tα
③|t|>
tα/2
6、得出结论并给予解释。
例已知玉米单交种群单105的平均穗重μ0=300g。
喷洒植物生长促进剂后,随机抽取9个果穗,其穗重为:
308、305、311、298、315、300、321、294、320g。
问喷药后与喷药前的果穗重差异是否显著?
解①σ未知
μ=300
μ≠300
激素类药物需有适当的浓度,浓度适合时促进生长,浓度过高时反而抑制生长,在这里喷药的效果是未知的,并非仅能促进生长,需采用双侧检验
④σ未知应使用t检验,已计算出
=308,s=9.62
μ≠μ0,故为双侧检验,当|t|>
t0.025时拒绝H0。
t0.025=2.306。
因|t|>
t0.025,即P<
0.05,所以拒绝零假设。
喷药前后果穗重的差异是显著的。
若规定α=0.01,t0.01/2=3.355,t<
t0.005,因此喷药前后果穗重的差异尚未达到“极显著”。
5.1.5变异性的显著性检验-χ2检验
χ2检验的基本程序如下:
1、假设从正态总体中随机抽取含量为n的样本,计算出样本s2。
σ=σ0
①σ>
σ0
②σ<
③σ≠σ0
统计量χ2服从n–1自由度的χ2分布。
①χ2>
χ2α
②χ2<
χ21-α
③χ2<
χ21-α/2和χ2>
χ2α/2
例一个混杂的小麦品种,株高标准差σ0=14cm,经提纯后随机抽出10株,它们的株高为:
90、105、101、95、100、100、101、105、93、97cm,考查提纯后的群体是否比原群体整齐?
解
①μ未知,对未知总体的方差做检验
②假设:
σ=14cm0
σ<
小麦经提纯后株高只能变得更整齐,因而使用下侧检验。
③显著性水平:
在α=0.01水平上做检验
④检验统计量:
⑤相应于备择假设HA:
σ<
σ0之H0的拒绝域为χ2<
χ21-α,从附表6中可以查出χ20.99=2.09
⑥结论:
因χ2<
χ20.99,即P<
0.01,所以拒绝H0。
结论是植株经提纯后变得非常整齐。
5.2两个样本的差异显著性检验
问题的提出(P78)
5.2.1两个方差的检验-F检验
F检验的基本程序如下:
1、从两个正态或近似正态总体中,独立地抽取含量分别为n1和n2的两个随机样本,分别计算出s12和s22。
与总体平均数μi无关。
σ1=σ2
①σ1>
σ2
②σ1<
③σ1≠σ2
在抽样分布一章中已经给出F的定义
在零假设σ1=σ2下,统计量F变为
①相应于HA:
σ1>
σ2,应做上尾单侧检验,当F>
Fα时拒绝H0。
②相应于HA:
σ1<
σ2,应做下尾单侧检验,当F<
F1-α时拒绝H0,F的下侧临界值F1-α由下式给出:
一种变通的办法是把s2中较大者称为s12,这时只会用上侧检验,处理起来更方便些,对于结果无影响。
③相应于HA:
σ1≠σ2,应做双侧检验,当F>
Fα/2和F<
F1-α/2时拒绝H0。
例测定了20位青年男子和20位老年男子的血压值,问老年人血压值个体间的波动是否显著高于青年人?
(数据略)P80
解1
①人类血压值是服从正态分布的随机变量。
②假设:
σ1=σ2
σ1<
老年人的血压值在个体之间的波动,只会大于青年人,决不会小于青年人。
③显著性水平:
规定α=0.05
④检验统计量:
先计算出s12=193.4,s22=937.7
⑤建立H0的拒绝域:
根据备择假设,应为下侧检验,当F<
F0.95时拒绝零假设。
下侧临界值
F<
F0.95,即P<
结论是拒绝H0,老年人血压值在个体之间的波动大于年青人。
解2若以s2中较大者作为分子,备择假设则变为HA:
σ2>
σ1,成为上尾检验,所用的检验统计量为:
在查临界值时应注意,现在df2是分子,df1是分母。
F0.05=2.18,F>
F0.05,P<
0.05,结论仍然是拒绝H0。
5.2.2标准差(σi)已知时,两个平均数间差异显著性的检验
1、从σ1和σ2已知的正态或近似正态总体中抽出含量分别为n1和n2
的样本。
μ1=μ2
备择假设HA:
①μ1>
μ2
②μ1<
③μ1≠μ2
在σi已知时两平均数差的标准化变量
在H0:
μ1=μ2下,检验统计量为:
上式的分母称为平均数差的标准误差,记为
例调查两个不同渔场的马面鲀体长,每一渔场调查20条。
平均体长分别为:
=19.8cm,
=18.5cm。
σ1=σ2=7.2cm。
问在α=0.05水平上,第一号渔场的马面鲀是否显著高于第二号渔场的马面鲀体长?
解
①马面鲀体长是服从正态分布的随机变量,σ1和σ2已知。
μ1>
已规定为α=0.05
④统计量的值:
上尾单侧检验,当u>
u0.05时拒绝H0。
从表中查出u0.05=1.645.
u<
u0.05,即P>
0.05,尚不能拒绝H0,第一号渔场马面鲀体长并不比第二号的长。
5.2.3标准差(σi)未知但相等时两平均数间差异显著性检验-成组数据t检验
I.方差齐性检验:
使用双侧F检验。
1、从两个正态或近似正态总体中,独立地抽取含量分别为n1和n2
的两个随机样本,分别计算出s12和s22。
σ1≠σ2
5、建立H0的拒绝域:
对于方差齐性应做双侧检验,当F>
6、得出结论判断方差是否相等。
II.平均数差异显著性检验
1、从σ1和σ2未知的正态或近似正态总体中抽出含量分别为n1和n2
2、零假设:
备择假设:
3、显著性水平:
4、检验统计量:
在标准差未知时,平均数差的标准化变量在抽样分布一章中已经给出。
服从n1-1+n2-1自由度的t分布。
在n1=n2=n时,上式可简化为:
在n1和n2都很大时,n1-1≈n1,n2-1≈n2,上式又可简化为:
例两个小麦品种从播种到抽穗所需天数如下表,问两者所需的天数差异是否显著?
品种1品种2
X1X1′=X1-100X1′2X2X2′=X2-100X2′2
1011110000
1000098-24
99-1110000
99-1199-11
98-2498-24
1000099-11
99-1198-24
和-814-1119
平均数99.298.9
①小麦生长天数是服从正态分布的随机变量。
③显著性水平:
⑤建立H0的拒绝域:
F9,9,0.025=4.026,F9,9,0.975=0.248
F0.975<
F<
F0.025,即P>
方差具齐性。
μ1≠μ2
本例为双侧检验,当|t|>
tα/2时拒绝H0,从附表4中查出t18,0.025=2.10。
t<
t0.025,即P>
0.05,接受H0。
两个小麦品种从播种到抽穗所需天数差异不显著。
例两种激素类药物对肾组织切片氧消耗的影响,结果为:
(1)n1=9,x1=27.92,s12=8.673;
(2)n2=6,x2=25.11,s22=1.843。
问两种药物对肾组织切片养消耗的影响差异是否显著?
解I.方差齐性检验
σ1=σ2HA:
σ1≠σ2α=0.05
F0.025,即P>
可以接受σ1=σ2的假设。
II.平均数间差异显著性检验
μ1=μ2HA:
μ1≠μ2α=0.05
t0.025=2.160,t>
t0.025,即P<
结论是:
在α=0.05水平上,两种药物对肾组织切片氧消耗的影响刚刚达到显著。
5.2.4标准差(σi)未知且可能不等时,两平均数间差异显著性检验(略)
5.2.5配对数据的显著性检验-配对数据t检验
例下表为不同组合的杂种F1籽粒蛋白质含量
父本西地迈罗A(a)矬巴子1A(b)d=(a)-(b)d2
玛纳斯红8.4787.9940.4840.234
红菲特瑞他7.5127.1410.3710.138
忻粱77.2228.267–1.0451.092
平罗娃娃头8.0538.280–0.2270.052
平顶冠7.6896.7400.9490.901
洋大粒8.5287.6320.8960.803
忻粱526.9725.9131.0591.121
东海红公鸡7.7318.169–0.7980.637
板农15.7607.570–1.8103.276
歪脖黄7.9307.5690.3610.131
千斤红7.2556.3220.9330.870
忻粱716.7956.4170.3780.143
总计1.5119.397
1、高粱蛋白质含量是服从正态分布的随机变量;
配对数据。
①
②
③
标准化变量t
在零假设μd=0下,上式变为
t服从n-1自由度的t分布,其中的n为数据的对子数。
上例的推断如下:
μd=0HA:
μd≠0α=0.05
t11,0.025=2.201,|t|<
t0.025,即P>
0.05,接受H0,用不同的母本所配成的高粱杂交种籽粒蛋白质含量差异不显著。
5.2.6-5.2.9(略)
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