二次函数压轴题精选二Word文档格式.docx
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(3)在
(2)问的条件下,将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′,将△BPQ′沿直线BD平移,记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″,在平移过程中,设直线P′B′与x轴交于点E.则是否存在这样的点E,使得△B′EQ″为等腰三角形?
若存在,求此时OE的长.
4.如图,直线l:
y=x﹣
与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点,抛物线y=
x2+bx+c经过点B(﹣1,0)和点C.
(1)填空:
直接写出抛物线的解析式:
;
(2)已知点Q是抛物线y=
x2+bx+c在第四象限内的一个动点.
①如图,连接AQ、CQ,设点Q的横坐标为t,△AQC的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
②连接BQ交AC于点D,连接BC,以BD为直径作⊙I,分别交BC、AB于点E、F,连接EF,求线段EF的最小值,并直接写出此时Q点的坐标.
5.如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4),矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD,AB分别在x轴,y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问:
S是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;
若不存在,请说明理由.
②当t=1时,射线AB上存在点Q,使△QME为直角三角形,请直接写出点Q的坐标.
6.如图,在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,直线y=
x+1与抛物线y=
x2+bx+c交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为4.
(2)抛物线y=
x2+bx+c交x轴正半轴于点C,横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上,过点P作AB的垂线交x轴于点E,点Q为垂足,设CE的长为d,求d与t之间的函数关系式,直接写出自变量t的取值范围:
(3)在
(2)的条件下,过点B作y轴的平行线交x轴于点D,连接DQ.当∠AQD=3∠PQD时,求点P坐标.
7.如图1,抛物线y=a(x﹣3)2(a>0)与x轴相交于点M,与y轴相交于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线于点B,交对称轴于点N,以AB为边向下作等边三角形ABC.
(1)求CN的长度;
(2)当a=3时,求直线BC的解析式;
(3)点D是抛物线BM段上的一任意点,连结CD和BD,延长BD交对称轴于E点.
①如图2,若点A、C、D三点在一条直线上,当△CBD的面积是△CDE的面积的2倍时,求a的值;
②如图3,若CD∥AB,当
=
时,请直接写出a的值.
8.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+
x+2
与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点D是线段BC中点,点E是BC上方抛物线上一动点,连接CE,DE.当△CDE的面积最大时,过点E作y轴垂线,垂足为F,点P为线段EF上一动点,将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°
,点F,P,E的对应点分别是F′,P′,E′,点Q从点P出发,先沿适当的路径运动到点F′处,再沿F′C运动到点C处,最后沿适当的路径运动到点P′处停止.求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长;
(3)如图2,直线BH经过点B与y轴交于点H(0,3)动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动,同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动,当点N运动到H点时,点M,点N同时停止运动,设运动时间为t.运动过程中,过点N作OB的平行线交y轴于点I,连接MI,MN,将△MNI沿NI翻折得△M′NI,连接HM′,当△M′HN为等腰三角形时,求t的值.
9.如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2mx+m2+
m的顶点为A,与y轴交于点B.当抛物线不经过坐标原点时,分别作点A、B关于原点的对称点C、D,连结AB、BC、CD、DA.
(1)分别用含有m的代数式表示点A、B的坐标.
(2)判断点B能否落在y轴负半轴上,并说明理由.
(3)连结AC,设l=AC+BD,求l与m之间的函数关系式.
(4)过点A作y轴的垂线,交y轴于点P,以AP为边作正方形APMN,MN在AP上方,如图②,当正方形APMN与四边形ABCD重叠部分图形为四边形时,直接写出m的取值范围.
10.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4分别与x轴、y轴交于点A和点B,抛物线y=ax2﹣3x+c经过A、B两点.点C为第二象限抛物线上一动点(不与点A,点B重合),过点C作CE⊥x轴于点E,交直线AB于点D.
(2)设C点的横坐标为m,CD的长为n,求n关于m的函数关系式,并求n的最大值;
(3)当CD最长时,连结CB,将△BCD以每秒1个单位的速度沿射线BO方向平行移动,当点C运动到点E时停止运动,把运动过程中的△BCD记为△B′C′D′,设运动时间为t,△B′C′D′与四边形OBDE重叠部分的面积为S,请求出S关于t的函数关系式,并写出对应t的取值范围.
11.如图:
已知抛物线y=﹣
(x+3m)(x﹣m)(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y交于点C,抛物线对称轴与x轴交于点D,
为x轴上一点.
(1)写出点A、B、C的坐标(用m表示);
(2)若以DE为直径的圆经过点C且与抛物线交于另一点F,
①求抛物线解析式;
②P为线段DE上一动(不与D、E重合),过P作PQ⊥EC作PH⊥DF,判断
是否为定值,若是,请求出定值,若不是,请说明理由;
(3)如图②,将线段AB绕点A顺时针旋转30°
,与y相交于点M,连接BM.点S是线段AM的中点,连接OS.若点N是线段BM上一个动点,连接SN,将△SMN绕点S逆时针旋转60°
得到△SOT,延长TO交BM于点K.若△KTN的面积等于△ABM的面积的
,求线段MN的长.
12.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与y轴正半轴交于C点,与x轴正半轴交于A,B两点,其中点A在点B左边,D为抛物线的顶点,连AC、BC、AD、BD
(1)若a=1,且∠ACO=∠OBC,求c的值;
(2)∠ADB=120°
,求b2﹣4ac的值;
(3)如图2,直线y=kx+m交抛物线P、Q两点,P在点A左边,Q在点B右边,PM⊥x轴于M,QN⊥x轴于N,AR⊥x轴交直线PQ于R,连RM、QB.直线y=kx+m交x轴正半轴于H点,若S△RMA=4S△QBN,求
的值.
13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=﹣x+c与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=a(x+1)(x﹣3)经过B、C两点,与x轴交于另一点A.
(1)如图l,求a的值;
(2)如图2,点P在第一象限的抛物线上,连接AP交y轴于点D,交直线BC于点E,当PE=AD时,求点P的坐标;
(3)如图3,在
(2)的条件下,点Q在第二象限的抛物线上,QF⊥x轴于点F,点G在线段OB上,OG=2OF,PG交BQ于点H,交BC于点M,若∠QHG﹣2∠GBH=45°
,求点Q的坐标.
14.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于点A(﹣4,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C.
(1)如图l,求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为第一象限抛物线上一点,连接PC、PA,PA交y轴于点F,设点P的横坐标为t,△CPF的面积为S.求S与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接BC,过点P作PD∥y轴变BC于点D,点H为AF中点,且点N(0,1),连接NH、BH,将∠NHB绕点H逆时针旋转,使角的一条边H落在射线HF上,另一条边HN变抛物线于点Q,当BH=BD时,求点Q坐标.
15.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)直线y=kx+3k经过点B,与y轴的负半轴交于点D,点P为第二象限内抛物线上一点,连接PD,射线PD绕点P顺时针旋转与线段BD交于点E,且∠EPD=2∠PDC,∠EPD的平分线交线段BD于点H,∠BEP+∠BDP=90°
①若四边形PHDC是平行四边形,求点P的坐标;
②过点E作EF⊥PD,交PD于点G,交y轴于点F,已知PF=3
,求直线PF的解析式.
16.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC.
(2)如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PF⊥BC于点F,试问△PDF的周长是否有最大值?
如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由.
(3)当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形?
如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由.
17.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),经过点A点B抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C.
(1)求抛物线的关系式;
(2)△ABC的外接圆与轴交于点D,在抛物线上是否存在点M使S△MBC=S△DBC,若存在,请求出点M的坐标.
(3)点P是直线y=﹣x上一个动点,连接PB,PC,当PB+PC+PO最小时,求点P的坐标及其最小值.
18.已知:
如图,抛物线y=ax2+bx+6交x轴于A(﹣2,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,
(1)求a,b的值;
(2)连接BC,点P为第一象限抛物线上一点,过点A作AD⊥x轴,过点P作PD⊥BC于交直线AD于点D,设点P的横坐标为t,AD长为d,求d与t的函数关系式(请求出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,DP与BC交于点F,过点D作DE∥AB交BC于点E,点Q为直线DP上方抛物线上一点,连接AP、PC,若DP=CE,∠QPC=∠APD时,求点Q坐标.
19.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示,A点坐标为(﹣4,0),B点坐标为(6,0),点D为AC的中点,点E是抛物线在第二象限图象上一动点,经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.
(2)如图1,连接DE,把点A沿直线DE翻折,点A的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;
(3)图2中,点E运动时,当点G恰好落在BC上时,求E点的坐标.
20.如图
(1),已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为x=1,与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,一次函数y=x+1经过A,且与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)如图
(2),点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B,C两点),设点P的横坐标为t,设四边形DCPB的面积为S,求出S与t的函数关系式,并确定t为何值时,S取最大值?
最大值是多少?
(3)如图(3),将△ODB沿直线y=x+1平移得到△O′D′B′,设O′B′与抛物线交于点E,连接ED′,若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1:
2两部分,请直接写出此时平移的距离.
21.如图
(1),直线y=﹣
x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=
x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,﹣2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图
(2),将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD′P′,当旋转角∠PBP′=∠OAC,且点P的对应点P′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
22.如图,抛物线y=ax2﹣5ax﹣6a交x轴于A、B两点(A左B右),交y轴于点C,直线y=﹣x+b交抛物线于D,交x轴于E,且△ACE的面积为6.
(2)点P为CD上方抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,交直线CD于F,设P点的横坐标为m,线段PF的长为d,求d与m的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,过点P作PG⊥CD,垂足为G,若∠APG=∠ACO,求点P的坐标.
23.如图1,二次函数y=
x2+bx+c与一次函数y=
x﹣3的图象都经过x轴上点A(4,0)和y轴上点B(0,﹣3),过动点M(m,0)(0<m<4)作x轴的垂线交直线AB于点C,交抛物线于点P.
(1)求b,c的值;
(2)点M在运动的过程中,能否使△PBC为直角三角形?
如果能,求出点P的坐标;
如果不能,请说明理由;
(3)如图2,过点P作PD⊥AB于点,设△PCD的面积为S1,△ACM的面积为2,若
,
①求m的值;
②如图3,将线段OM绕点O顺时针旋转得到OM′,旋转角为α(0°
<α<90°
),连接M'
A、M'
B,求M'
A+
M'
B的最小值.
24.如图1,已知点A(﹣1,﹣4)是二次函数y=ax2+bx﹣3(a≠0)的图象的顶点,且此二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点B,与y轴相交于点C,点P是线段AB上任意一点,过点P的直线l与x轴垂直,垂足为D,且直线l与此二次函数的图象相交于点E.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求线段PE的长度的最大值;
(3)如图2,当线段PE的长度取最大值时,将直线l向右平移
个单位长度,平移后的直线称为直线l1,设点P1是直线l1与线段AB的交点,连接P1C,CD1.若△P2CD1与△P1CD1关于直线CD1对称,求点P2的坐标,并判断点P2是否在已知的二次函数的图象上.
25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx(a≠0)与直线y=x交于M(3,m),且抛物线的对称轴是直线y=2,点P是x轴上方抛物线上的一点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,原点O关于直线PQ的对称点是点A,过点A作垂直于x轴的直线交直线y=x于点B.
(1)期抛物线的解析式;
(2)设点P的横坐标为n,△PAB的面积是S,请写出S与n之间的函数关系式;
(3)是否存在点P的位置,使△PAB是等腰三角形?
如果存在,请求出所有n的值,如果不存在,请说明理由.
26.如图1,已知抛物线y=
x﹣3与x轴交于A和B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)求出点A,B,D的坐标;
(2)如图1,若线段OB在x轴上移动,且点O,B移动后的对应点为O′,B′.首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC,当四边形O′B′DC的周长有最小值时,在第四象限找一点P,使得△PB′D的面积最大?
并求出此时P点的坐标.
(3)如图2,若点M是抛物线上一点,点N在y轴上,连接CM、MN.当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,直接写出点N的坐标.
27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D,B(﹣3,0),A(0,
)
(
(1)求抛物线解析式及D点坐标;
(2)如图1,P为线段OB上(不与O、B重舍)一动点,过点P作y轴的平行线交线段AB于点M,交抛物线于点N,点N作NK⊥BA交BA于点K,当△MNK与△MPB的面积相等时,在X轴上找一动点Q,使得
CQ+QN最小时,求点Q的坐标及
CQ+QN最小值;
(3)如图2,在
(2)的条件下,将△ODN沿射线DN平移,平移后的对应三角形为△O′D′N′,将△AOC绕点O逆时针旋转到A1OC1的位置,且点C1恰好落在AC上,△A1D′N′是否能为等腰三角形,若能求出N′的坐标,若不能,请说明理由.
28.已知:
如图1,直线y=﹣x﹣1分别交x轴、y轴于A、E两点,抛物线y=﹣
x2+bx+c经过点A,且过点B(5,0),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接BC.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图2,若在直线BC上方的抛物线上有一点F,当△BCF的面积最大时,有一线段MN=
(点M在点N的左侧)在直线AE上移动,首尾顺次连接点F、M、N、B构成四边形FMNB,请求出四边形FMNB的周长最小时点M的横坐标;
(3)如图3,连接AD、BD,把∠DAB沿x轴平移到∠D′A′B′,在平移过程中把∠D′A′B′绕A′旋转,使∠D′A′B′的一边始终经过点D,另一边交直线BD于点R,是否存在这样的点R,使△DRA′为等腰三角形,若存在,求出BR的长;
若不存在,说明理由.
29.已知抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点,其中点A(﹣1,0).抛物线与y轴交于点C,顶点为D,点N在抛物线上,其横坐标为
.
(1)如图1,连接BD,求直线BD的解析式;
(2)如图2,连接BC,把△OBC沿x轴正方向平移,记平移后的三角形为△O′B′C′,当点C′落在△BCD内部时,线段B′C′与线段DB交于点M,设△O′B′C′与△BCD重叠面积为T,若T=
S△OBC时,求线段BM的长度;
(3)如图3,连接CN,点P为直线CN上的动点,点Q在抛物线上,连接CQ、PQ得△CPQ,当△CPQ为等腰直角三角形时,求线段CP的长度.
30.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接BC.
(2)如图1,点E,F为线段BC上的两个动点,且
,过点E,F作y轴的平行线EM,FN,分别与抛物线交于点M,N,连接MN,设四边形EFNM面积为S,求S的最大值和此时点M的坐标;
(3)如图2,连接BD,点P为BD的中点,点Q是线段BC上的一个动点,连接DQ,PQ,将△DPQ沿PQ翻折得到△D′PQ,当△D′PQ与△BCD重叠部分的面积是△BDQ面积的
时,求线段CQ的长.
31.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c分别交x轴于A(4,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3),过点A的直线
交抛物线与另一点D.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)若点P为x轴上的一个动点,点Q在线段AC上,且Q点到x轴的距离为
,连接PC、PQ,当△PCQ周长最小时,求出点P的坐标;
(3)如图2,在
(2)的结论下,连接PD,在平面内是否存在△A1P1D1,使△A1P1D1≌△APD(点A1、P1、D1的对应点分别是A、P、D,A1P1平行于y轴,点P1在点A1上方),且△A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上?
若存在,请求出点A1的横坐标m;
32.如图1,抛物线y=﹣x2+
与直线l1:
y=﹣
x﹣3交于点A,点A的横坐标为﹣1,直线l1与x轴的交点为D,将直线l1向上平移后得到直线l2,直线l2刚好经过抛物线与x轴正半轴的交点B和与y轴的交点C.
(1)直接写出点A和点D的坐标,并求出点B的坐标;
(2)若点M是抛物线第一象限内的一个动点,连接DM,交直线l2于点N,连接AM和AN.设△AMN的面积为S,当S取得最大值时,求出此时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发,沿射线OB运动;
同时,动点Q以每秒
个单位长度的速度从点C出发,沿射线CB运动,设运动时间为t(t>0).过P点作PH⊥x轴,交抛物线于点H,当点P、Q、H所组成的三角形是直角三角形时,直接写出t的值.
33.已知抛物线y=﹣
+4交x轴于点A、B,交y轴于点C,连接AC、BC.
(1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式;
(2)如图1,动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动,过点P作y轴的平行线交线段BC于点M,交抛物线于点N,过点N作NC⊥BC交BC于点K,当△MNK与△MPB的面积比为1:
2时,求动点P的运动时间t的值;
(3)如图2,动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动,同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动,且P、Q同时停止,分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序),当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时,请求出此时轴对称图形的面积.
34.如图1,已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,D为顶点.
(1)求直线AC的解析式和顶点D的坐标;
(2)已知E(0,
),点P是直线AC下方的抛物线上一动点,作PR⊥AC于点R,当PR最大时,有一条长为
的线段MN(点M在点N的左侧)在直线BE上移动,首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP,请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标;
(3)如图2,过点D作DF∥y轴交直线AC于点F,连接AD,Q点是线段AD上一动点,将△DFQ沿直线FQ折叠至△D1FQ,是否存在点Q使得△D1FQ与△AFQ重叠部分的图形是直角三角形?
若存在,请求出AQ的长;
35.如图,二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点A(1,4),对称轴是直线x=﹣
,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0,2),直线A
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