人教版数学九年级上册圆知识点总结Word格式.docx
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圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中:
直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。
圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。
计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°
的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式:
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2,用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。
周长计算公式
1.、已知直径:
C=πd
2、已知半径:
C=2πr
3、已知周长:
D=cπ
4、圆周长的一半:
12周长(曲线)
5、半圆的长:
12周长+直径
面积计算公式:
1、已知半径:
S=πr平方
2、已知直径:
S=π(d2)平方
3、已知周长:
S=π(c2π)平方
24.2点、直线、圆和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
①点在圆内点到圆心的距离小于半径
②点在圆上点到圆心的距离等于半径
③点在圆外点到圆心的距离大于半径
2.过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3.外接圆和外心
经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
4.直线和圆的位置关系
相交:
直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。
相切:
直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。
相离:
直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
5.直线和圆位置关系的性质和判定
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么
①直线和⊙O相交;
②直线和⊙O相切;
③直线和⊙O相离。
圆和圆
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切。
两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切。
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含。
原理:
圆心距和半径的数量关系:
两圆外离<=>d>R+r
两圆外切<=>d=R+r
两圆相交<=>R-r=r)
两圆内切<=>d=R-r(Rr)
两圆内含<=>dr)
24.3正多边形和圆
1、正多边形的概念:
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形与圆的关系:
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
3、正多边形的有关概念:
(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4、正多边形性质:
(1)任何正多边形都有一个外接圆。
(2)正多边形都是轴对称图形,当边数是偶数时,它又是中心对称图形,正n边形的对称轴有n条。
(3)边数相同的正多边形相似。
重点:
正多边形的有关计算。
知识讲解
1、正多边形定义:
各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。
例如:
正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。
如果一个正多边形有n条边,那么,这个多边形叫正n边形。
再如:
矩形不是正多边形,因为它只具有各角相等,而各边不一定相等;
菱形不是正多边形,因为,它只具有各边相等,而各角不一定相等。
2、正多边形与圆的关系。
正多边形与圆有密切关系,把圆分成n(n≥3)等份,依次连结分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
相邻分点间的弧相等,则所对的弦(正多边形的边)相等,相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等,从而得出,所连的多边形满足了所有边都相等,所有内角都相等,从而这个多边形就是正多边形。
如:
将圆6等分,即,则AB=BC=CD=DE=EF=FA。
观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所对的弧可以发现都是相等的弧,所以,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F。
所以,将一个圆6等分,依次连结各分点所得到的是⊙O的内接正六边形。
3、正多边形的有关计算。
(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念:
即正多边形的中心O,正多边形的半径Rn——就是其外接圆的半径,正多边形的边心距rn,正多边形的中心角αn,正多边形的边长an。
(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于;
如果再作出正n边形各边的边心距,这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。
如图:
是一个正n边形ABCD……根据以上讲解,我们来分析RtΔAOM的基本元素:
斜边OA——正n边形的半径Rn;
一条直角边OM——正n边形的边心距rn;
一条直角边AM——正n边形的边长an的一半即AM=an;
锐角∠AOM——正n边形的中心角αn的一半即∠AOM=;
锐角∠OAM——正n边形内角的一半即∠OAM=[(n-2)·
180°
];
可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正n边形的各元素。
因此,就可以把正n边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。
4、正多边形的有关作图。
(1)使用量角器来等分圆。
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等,因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆;
根据同圆中相等弧所对的弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正n边形。
(2)用尺规来等分圆。
对于一些特殊的正n边形,还可以用圆规和直尺作出图形。
①正四、八边形。
在⊙O中,用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份,从而作出正四边形。
再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等,边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知,正六边形的边长与其半径相等,所以,在⊙O中,任画一条直径AB,分别以A、B为圆心,以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然,A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样,在图(3)中平分每条边所对的弧,就可把⊙O12等分……。
5、正多边形的对称性。
正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心,如果正多边形有偶数条边,那么,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。
正三角形、正方形。
24.4弧长和扇形面积
知识点1、弧长公式
因为360°
的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°
的圆心角所对的弧长是,于是可得半径为R的圆中,n°
的圆心角所对的弧长l的计算公式:
,
说明:
(1)在弧长公式中,n表示1°
的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R=10,计算20°
的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。
(2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°
的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°
的扇形面积等于圆面积,所以圆心角为1°
的扇形面积是,由此得圆心角为n°
的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:
。
知识点3、弓形的面积
(1)弓形的定义:
由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。
(2)弓形的周长=弦长+弧长
(3)弓形的面积
如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示,
当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,
当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,
例:
如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°
,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示)
分析:
由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°
,所以△OAC是直角三角形,所以
,
所以
注意:
(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
(2)扇形与弓形的联系与区别
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积
(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积,圆柱的全面积
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