教案空间点直线平面之间的位置关系Word文档格式.docx
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2.点、线、面之间的关系及符号表示
A是点,l,m是直线,α,β是平面.
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l,m相交于A
l∩m=A
l,α相交于A
l∩α=A
α,β相交于l
α∩β=l
从集合的角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.
(3)直线与平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.
3.平面的性质
基本
事实
事实1
过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l
名师点拨
在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些.如下图①,图②所示:
4.平面性质的三个推论
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.如图
(1).
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.如图
(2).
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.如图(3).
三、合作探究
图形、文字、符号语言的相互转化
例1:
(1)用符号语言表示下面的语句,并画出图形.
平面ABD与平面BDC交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述,并用图形语言予以表示.
α∩β=l,A∈l,AB⊂α,AC⊂β.
【解】
(1)符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.用图形表示如图①所示.
(2)文字语言叙述为:
点A在平面α与平面β的交线l上,直线AB,AC分别在平面α,β内,图形语言表示如图②所示.
[规律方法]
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言叙述,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
点、线共面问题
例2:
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【解】已知:
如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:
直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:
法一:
(纳入平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2⊂α,
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
法二:
(辅助平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,
所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入平面法:
先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(2)辅助平面法:
先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
三点共线、三线共点问题
例3:
如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为AB、AA1的中点.求证:
CE,D1F,DA三线交于一点.
【证明】连接EF,D1C,A1B,
因为E为AB的中点,
F为AA1的中点,所以EF
A1B.
又因为A1B
D1C,
所以EF
所以E,F,D1,C四点共面,
可设D1F∩CE=P.
又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,
所以据基本事实3可得P∈DA,
即CE,D1F,DA三线交于一点.
[变条件、变问法]若将本例条件中的“E,F分别为AB,AA1的中点”改成“E,F分别为AB,AA1上的点,且D1F∩CE=M”,求证:
点D、A、M三点共线.
因为D1F∩CE=M,
且D1F⊂平面A1D1DA,所以M∈平面A1D1DA,
同理M∈平面BCDA,
从而M在两个平面的交线上,
因为平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,
所以M∈AD成立.所以点D、A、M三点共线.
【课堂检测】
1.能确定一个平面的条件是()
A.空间三个点B.一个点和一条直线
C.无数个点D.两条相交直线
解析:
选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.
2.经过同一条直线上的3个点的平面()
A.有且只有一个B.有且只有3个
C.有无数个D.不存在
选C.经过共线3个点的平面有无数个,比如:
课本中每一页都过共线的三点.
3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则()
A.l⊂αB.l⊄α
C.l∩α=MD.l∩α=N
选A.因为M∈a,a⊂α,所以M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.
4.如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面()
A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点
C.仅有两个公共点D.有无数个公共点
选D.根据基本事实3可知,两个不重合的平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线.
5.说明语句“l⊂α,m∩α=A,A∉l”表示的点、线、面的位置关系,并画出图形.
解:
直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,图形如图所示.
【第二课时】
1.了解空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义
2.了解直线与平面之间的三种位置关系,并能判断直线与平面的位置关系,会用符号语言和图形语言表示
3.了解平面与平面之间的两种位置关系,并能判断两个平面的位置关系,会用符号语言和图形语言表示
1.空间两直线的位置关系
2.直线与平面的位置关系
3.平面与平面的位置关系
1.空间两直线有哪几种位置关系?
2.直线与平面的位置关系有哪几种?
3.平面与平面的位置关系有哪几种?
4.如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系?
5.如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系?
1.空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线
①定义:
把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线;
②画法:
(通常用平面衬托)
(2)空间两条直线的位置关系
(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不平行.
(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线,如图中,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.
2.空间中直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在
平面α内
直线a在平面α外
直线a与平
面α相交
直线a与
平面α平行
公共点
无数个公共点
有且只有
一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α=A
a∥α
图形表示
一般地,直线a在平面α内时,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内;
直线a与平面α相交时,应画成直线a与平面α有且只有一个公共点,被平面α遮住的部分画成虚线或不画;
直线a与平面α平行时,应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行,并画在表示平面α的平行四边形外.
3.空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行
两个平面相交
有无数个公共点(在一条直线上)
α∥β
(1)画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
(2)以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线,“两个平面”均指不重合的两个平面.
空间两直线位置关系的判定
如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.
【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线平行,所以①应该填“平行”;
点A1、B、B1在平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C异面.同理,直线AB与直线B1C异面.所以②④应该填“异面”;
直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
【答案】①平行②异面③相交④异面
(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4(下节学习)判断.
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法:
由定义判断两直线不可能在同一平面内;
②重要结论:
连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).
直线与平面的位置关系
下列命题:
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;
④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数为()
A.1B.2
C.3D.4
【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,所以l不一定平行于α,所以①是假命题.
因为直线a在平面α外包括两种情况:
a∥α和a与α相交,所以a和α不一定平行,所以②是假命题.
因为直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于α,所以③是假命题.
因为a∥b,b⊂α,所以a⊂α或a∥α,所以a可以与平面α内的无数条直线平行,所以④是真命题.
综上,真命题的个数为1.
【答案】A
[归纳反思]
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
(1)在判断直线与平面的位置关系时,直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,这三种情况都要考虑到,避免疏忽或遗漏.
(2)解决此类问题时,可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
平面与平面的位置关系
已知在两个平面内分别有一条直线,并且这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是()
A.平行B.相交
C.平行或相交D.以上都不对
【解析】如图,可能会出现以下两种情况:
【答案】C
1.[变条件]在本例中,若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”,则两平面的位置关系如何?
如图,a⊂α,b⊂β,a,b异面,则两平面平行或相交.
2.[变条件]在本例中,若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行,那么平面α与平面β的关系是什么?
如图,α内都有无数条直线与平面β平行.
由图知,平面α与平面β可能平行或相交.
3.[变条件]在本例中,若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行,那么平面α与平面β的关系是什么?
因为平面α内的任意一条直线与平面β平行,所以只有这两个平面平行才能做到,所以平面α与平面β平行.
(1)平面与平面的位置关系的判断方法
①平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点;
②平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.
(2)常见的平面和平面平行的模型
①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行;
②长方体的六个面中,三组相对面平行.
点、线、面位置关系图形的画法
例4:
如图所示,G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点,E,F是棱AB,BC的中点,试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点G及AC.
(2)过三点E,F,D1.
(1)画法:
连接GA交A1D1于点M,连接GC交C1D1于点N;
连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.
(2)画法:
连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;
连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;
连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.
直线与平面位置关系的图形的画法
(1)画直线a在平面α内时,表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内,而不能有部分在这个平行四边形外.
(2)画直线a与平面α相交时,表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外,这样既能与表示直线在平面内区分开,又具有较强的立体感.
(3)画直线a与平面α平行时,最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外,且与此平行四边形的一边平行.
1.不平行的两条直线的位置关系是()
A.相交B.异面
C.平行D.相交或异面
选D.若两直线不平行,则直线可能相交,也可能异面.
2.若M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()
A.l∥αB.l⊂α
C.l与α相交D.以上都有可能
选C.由符号语言知,直线l上有一点在平面α内,另一点在α外,故l与α相交.故选C.
3.若两个平面相互平行,则分别在这两个平面内的直线的位置关系是()
A.平行B.异面
C.相交D.平行或异面
选D.如图:
4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系为()
A.平行B.直线在平面内
C.相交或直线在平面内D.平行或直线在平面内
选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行,则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内.
5.已知平面α∩β=c,直线a∥α,a与β相交,则a与c的位置关系是________.
答案:
异面
6.下列命题正确的是________.(填序号)
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;
③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交.
①显然是正确的;
②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;
③中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以③是错误的.
①
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- 教案 空间 直线 平面 之间 位置 关系