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完整版余弦定理练习含答案
课时作业2余弦定理
时间:
45分钟满分:
100分
课堂训练
1.在△ABC中,已知a=5,b=4,ZC=120°.则c为()
A.41B.,61
C.41或61D.,21
【答案】B
【解析】c=”a2+b2—2abcosC
=52+42—2X5X4X—2=61.
2.^ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cosB=()
A*
3
B.3
C.
【答案】B
【解析】由b2=ac,又c=2a,由余弦定理
3.在厶ABC中,三个角A、B、C的对边边长分别为a=3、b=4、
c=6,贝卩bccosA+cacosB+abcosC=
b2+c2—a2
【解析】
bccosA+cacosB+abcosC=bc•
c2+a2—b2a2+b2—c2111
ca-20c+ab•2ab=2(b2+c2—a2)+2(c2+a2—b2)+^(a2+
161
b2—c2)=2(a2+b2+c2)=亍
4.在△ABC中:
(1)a=1,b=1,ZC=120°求c;
(2)a=3,b=4,c=37,求最大角;
(3)a:
b:
c=1:
3:
2,求/A、/B、/C.
【分析】
(1)直接利用余弦定理即可;
(2)在三角形中,大边对大角;
(3)可设三边为x,3x,2x.
【解析】
(1)由余弦定理,得c2=a2+b2—2abcosC
1
=12+12—2X1x1x(—刁=3,「・c=3.
(2)显然/C最大,
a2+b2—c232+42—371
/cosC=—2ab—=2x3x4=—2.AzC=120°
(3)由于a:
b:
c=1:
3:
2,可设a=x,b=V3x,c=2x(x>0).
b2+c2—a23x2+4/—x2百
由余弦定理,得cosA=—2bc—=2•3x2x=~2,
/./\=30°
1
同理cosB=2cosC=O.「./3=60,ZC=90.
【规律方法】
1.本题为余弦定理的最基本应用,应在此基础上熟练地掌握余弦
定理的结构特征.
2.对于第(3)小题,根据已知条件,设出三边长,由余弦定理求
出/A,进而求出其余两角,另外也可考虑用正弦定理求/B,但要注
意讨论解的情况.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
ABC中,下列结论:
1a2>b2+&,则厶ABC为钝角三角形;
2a2=b2+c2+be,则/A为60°
3a2+b2>e2,则△ABC为锐角三角形;
4若/A:
ZB:
/C=1:
2:
3,贝卩a:
b:
e=1:
2:
3,其中正确的个数为()
A.1B.2
C.3D.4
【答案】A
•••么为钝角,正确;
b2+e2—a2
②eosA=—2be—
a2+b2—c2
③cosC=2ab>0,
•••©为锐角,但/A或/B不一定为锐角,错误;
④ZA=30°ZB=60°ZC=90°
a:
b:
c=1:
3:
2,错误.故选A.
2.AABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,设向量p
=(a+c,b),
q=(b—a,c—a).若p//q,则/C的大小为()
人n
A~
6
n
B.3
n
c.2
【答案】
B
【解析】
Tp=(a+c,b),q=(b—a,c—a)且p〃q,
•.(a+c)(c—a)—b(b—a)=0
n
zC=3.
冗,△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,/A=3a
=7,b=1,则c等于()
A.22B.3
C/3+1D.23
【答案】B
【解析】由余弦定理得,a2=b2+c2—2bccosA,
所以(7)=1+c2—2x1xexcog.
即c2—c—6=0,解得c=3或c=—2(舍).故选B.
4.在不等边三角形ABC中,a为最大边,且a2vb2+c2,则/A的取值范围是()
A.(扌,n)B.(n,n
C.(n,f)D.(0,n
【答案】C
【解析】因为a为最大边,所以/A为最大角,即/A>ZB,/
A>ZC,故2ZA>/B+/C.又因为ZB+ZC=n-ZA,所以2ZA>n—ZA,即ZAg因为a2
n/an
3 5.在△ABC中,已知a=4,b=6,ZC=120°则sinA的值为() A语 D「I? 【解析】 【答案】 由余弦定理得c=a2+b2—2abcosC=42+62— 2X4X6(—2)=76, 4sin120。 姮-SinA=: 76=百. 6.AABC中,a、b、c分别为ZA、ZB、ZC的对边,且2b=a 3 +c, ZB=30°△ABC的面积为刁那么b等于() a4 2 c2^3 c.2 【答案】 113 2acsinB=2acsin30=2,解得ac=6, 由余弦定理: b2=a2+c2—2accosB =(a+c)2—2ac—2accos30=4b2—12—63, 即b2=4+23,由b>0解得b=1+3. 7.在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,则这个三角形一定是 ) A.锐角三角形或钝角三角形 B.以a或b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.等边三角形 【答案】B _b2+c2—a2 【解析】由余弦定理acosA+bcosB=ccosC可变为a a2+c2—b2a2+b2—c2 +b•~2ac-=c: ~2ab~, a2(b2+c2—a2)+b2(a2+c2—b2)=c2(a2+b2—c2) a2b2+a2c2—a4+b2a2+b2c2—b4=Ea2+Eb2—c4 2a2b2—a4—b4+c4=0, (c2—a2+b2)(c2+a2—b2)=0, 「•c2+b2=a2或a2+c2=b2, •••以a或b为斜边的直角三角形. 8若厶ABC的周长等于20,面积是1^/3,/A=60°则BC边的长是() A.5B.6 C.7D.8 【答案】C 1 【解析】依题意及面积公式S=2bcsinA, 得10a/3=qbcxsin60,即bc=40. 又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20—a. 由余弦定理,得a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—2bccos60=b2+ c2—bc=(b+c)2—3bc, 故a2=(20—a)2—120,解得a=7. 二、填空题(每小题10分,共20分) 9.在△ABC中,三边长AB=7,BC=5,AC=6,则ABBC的值 为. 【答案】—19 19 【解析】由余弦定理可求得cosB=35,-ABbC=|AdB||BC|•cos(n —B)=—|AB||BC|cosB=—19. 10.已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长 为. 【答案】申a 【解析】如图,AB=AC=2a,BC=a,BD为腰AC的中线, EC1 过A作AE丄BC于E,在△KEC中,cosC=AC=4,在^BCD中,由余 弦定理得BD2=BC2+CD2—2BCCDcosC,即BD2=a2+a2— 三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11.在△ABC中,已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断三角形的形状. 【分析】解决本题,可分别利用正弦定理或余弦定理,把问题 转化成角或边的关系求解. abc 【解析】方法一: 由正弦定理sinA=sinB=sinc=2R,R为^bc 外接圆的半径,将原式化为 8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC. TsinBsinCz0,sinBsinC=cosBcosC, 即cos(B+C)=0,.••启+/C=90°ZA=90°故△ABC为直角三 角形. 方法二: 将已知等式变为b2(1—coWC)+c2(1—co^B)= 2bccosBcosC. ccca2+b2—c2cca2+c2—b2o由余弦定理可得: b2+c2—b2•20b—)2—c2(2ac—)2= a2+b2—c2a2+c2—b2 2bc: —2ab—•—2ac—. 即b2+c2 [a2+b2—c2+a2+c2—b2]2 4a2 也即b2+c2=a2,故△ABC为直角三角形. 【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时,等式两边a,b, c及角的正弦值的次数必须相同,否则不能相互转化. 12.(2013全国新课标I,理)如图,在△ABC中,/ABC=90°, AB=3,BC=1,PABC内一点,/BPC=90° 1 (1)若PB=2,求PA; (2)若/APB=150°求tan/PBA. 【解析】 (1)由已知得,/PBC=60°a/PBA=30° 117 在APBA中,由余弦定理得FA=3+4-2COS30=4,^FA 3sina 在APBA中,由正弦定理得sin150-.3,化简得,V3cosa Sin30a =4sina, •••tana=;43,Atan/PBAu^.
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