数学与应用数学专业论文英文文献翻译文档格式.docx
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isevaluatedat
alltheproductsexceptthe
tharezero.Furthermore,the
thproductisequaltoone,sothesumisequalto
andtheinterpolationconditionsaresatisfied.
Forexample,considerthefollowingdataset:
x=0:
3;
y=[-5-6-116];
Thecommand
disp([x;
y])
displays
0123
-5-6-116
TheLagrangianformofthepolynomialinterpolatingthisdatais
Wecanseethateachtermisofdegreethree,sotheentiresumhasdegreeatmostthree.Becausetheleadingtermdoesnotvanish,thedegreeisactuallythree.Moreover,ifweplugin
or3,threeofthetermsvanishandthefourthproducesthecorrespondingvaluefromthedataset.
PolynomialsareusuallynotrepresentedintheirLagrangianform.Morefre-quently,theyarewrittenassomethinglike
Thesimplepowersofxarecalledmonomialsandthisformofapolynomialissaidtobeusingthepowerform.
Thecoefficientsofaninterpolatingpolynomialusingitspowerform,
can,inprinciple,becomputedbysolvingasystemofsimultaneouslinearequations
Thematrix
ofthislinearsystemisknownasaVandermondematrix.Itselementsare
ThecolumnsofaVandermondematrixaresometimeswrittenintheoppositeorder,butpolynomialcoefficientvectorsinMatlabalwayshavethehighestpowerfirst.
TheMatlabfunctionvandergeneratesVandermondematrices.Forourex-ampledataset,
V=vander(x)
generates
V=
0001
1111
8421
27931
Then
c=V\y’
computesthecoefficients
c=
1.0000
0.0000
-2.0000
-5.0000
Infact,theexampledatawasgeneratedfromthepolynomial
.
OneoftheexercisesasksyoutoshowthatVandermondematricesarenonsin-gularifthepoints
aredistinct.ButanotheroneoftheexercisesasksyoutoshowthataVandermondematrixcanbeverybadlyconditioned.Consequently,usingthepowerformandtheVandermondematrixisasatisfactorytechniqueforproblemsinvolvingafewwell-spacedandwell-scaleddatapoints.Butasageneral-purposeapproach,itisdangerous.
Inthischapter,wedescribeseveralMatlabfunctionsthatimplementvariousinterpolationalgorithms.Allofthemhavethecallingsequence
v=interp(x,y,u)
Thefirsttwoinputarguments,
and
arevectorsofthesamelengththatdefinetheinterpolatingpoints.Thethirdinputargument,
isavectorofpointswherethefunctionistobeevaluated.Theoutput,v,isthesamelengthasuandhaselements
Ourfirstsuchinterpolationfunction,polyinterp,isbasedontheLagrangeform.ThecodeusesMatlabarrayoperationstoevaluatethepolynomialatallthecomponentsofusimultaneously.
functionv=polyinterp(x,y,u)
n=length(x);
v=zeros(size(u));
fork=1:
n
w=ones(size(u));
forj=[1:
k-1k+1:
n]
w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;
end
v=v+w*y(k);
Toillustratepolyinterp,createavectorofdenselyspacedevaluationpoints.
u=-.25:
.01:
3.25;
v=polyinterp(x,y,u);
plot(x,y,’o’,u,v,’-’)
createsfigure3.1.
Figure3.1.polyinterp
Thepolyinterpfunctionalsoworkscorrectlywithsymbolicvariables.Forexample,create
symx=sym(’x’)
Thenevaluateanddisplaythesymbolicformoftheinterpolatingpolynomialwith
P=polyinterp(x,y,symx)
pretty(P)
produces
-5(-1/3x+1)(-1/2x+1)(-x+1)-6(-1/2x+3/2)(-x+2)x
-1/2(-x+3)(x-1)x+16/3(x-2)(1/2x-1/2)x
ThisexpressionisarearrangementoftheLagrangeformoftheinterpolatingpoly-nomial.SimplifyingtheLagrangeformwith
P=simplify(P)
changesPtothepowerform
P=
x^3-2*x-5
Hereisanotherexample,withadatasetthatisusedbytheothermethodsinthischapter.
x=1:
6;
y=[161821171512];
y])
u=.75:
.05:
6.25;
plot(x,y,’o’,u,v,’-’);
123456
161821171512
createsfigure3.2.
Figure3.2.Fulldegreepolynomialinterpolation
Alreadyinthisexample,withonlysixnicelyspacedpoints,wecanbegintoseetheprimarydifficultywithfull-degreepolynomialinterpolation.Inbetweenthedatapoints,especiallyinthefirstandlastsubintervals,thefunctionshowsexcessivevariation.Itovershootsthechangesinthedatavalues.Asaresult,full-degreepolynomialinterpolationishardlyeverusedfordataandcurvefitting.Itsprimaryapplicationisinthederivationofothernumericalmethods.
第三章插值多项式
插值就是定义一个在特定点取给定值得函数的过程。
本章的重点是介绍两个紧密相关的插值函数:
分段三次样条函数和保形分段三次插值函数(称为“pchip”)
3.1插值多项式
人们知道两点确定一条直线,或者更确切地说,平面上任意两点
和
,只要
,就唯一确定一个关于
的一次多项式,其图形经过这两个点。
对于这个多项式,有多种不同的公式表示,但是它们都对应同一个图形。
把上述讨论推广到多于两个点的情况。
则对于平面上有着不同
值的
个点,
,存在唯一一个关于
的次数小于
的多项式,使其图形经过这些点。
很容易可看出,数据点的数目
也是多项式系数的个数。
尽管,一些首项的系数可能是零,但多项式的次数实际上也小于
。
同样,这个多项式可能有不同的公式表达式,但它们都定义着同一个函数。
这样的多项式称为插值(interpolating)多项式,它可以准确地重新计算出初始给定的数据:
后面,我们会考察另外一些较低次的多项式,这些多项式只能接近给定的数据,因此它们不是插值多项式。
表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日(Lagrange)形式
在这个公式中,对
项进行亲和,而每一个连乘符号中含有
项,因此它定义的多项式最高次数为
当
时计算
,除了第
项外,其他的乘积都为零,同时,这第
项乘积正好为1,所以求和结果为
,满足插值条件。
例如,考虑下面一组数据。
输入命令
其输出为
0123
-5-6-116
这些数据的拉格朗日形式的多项式为
可以看出上式为四个三次多项式求和,因此最后结果最高为三。
由于求和后最高次项系数不为零,所以此式就是一个三次多项式。
而且,如果将
或者3代入上式,其中有三项都为零,而第四项结果正好符合给定数据。
一个多项式通常不用拉格朗日形式表示,它更常见地写成类似
的形式。
其中简单的
的次方项称为单项式(momomial),而多项式的这种形式称为使用幂形式(powerform)的多项式。
插值多项式使用幂形式表示为
其中的系数,原则上可以通过求解下面的线性代数方程组得到。
这个线性方程组的系数矩阵记为
,也被称为范德尔蒙(Vandermonde)矩阵,该矩阵的各个元素为
上述范德尔蒙矩阵的各列,有时也按相反的顺序排列,但在MATLAB中,多项式系数向量,通常按从高次幂到低次幂排列。
MATLAB中的函数vander可以生成范德尔蒙矩阵,例如对于前面的那组数据,
V=vander(x)
生成
0001
1111
8421
27931
然后,输入命令
c=V\y'
计算出插值系数。
c=1.0000
0.0000
-2.0000
-5.0000
事实上,这个例子的数据就是根据多项式
生成的。
在本章的习题3.6中,要证明当插值点的位置
互不相同时,范德尔蒙矩阵是非奇异的。
而在练习3.19中,则请读者证明范德尔蒙矩阵的条件可能非常差。
通过两个练习我们可以发现,对于一组间隔比较均匀、函数值变化不大的数据,适合采用幂形式的插值多项式和范德尔蒙矩阵进行求解。
但对于一般的问题,这个方法有时是危险的。
在本章中,将介绍几个能实现各种插值算法的MATLAB函数,它们都采用下面的调用格式
前两个输入参数,
,是长度相同的向量,它们定义了插值点。
第三个参数
,为要计算函数值的范围上的点组成的向量。
输出向量
长度相等,其分量
要介绍的第一个这样的插值函数是polyinterp,它基于拉格朗日形式。
程序使用了MATLAB的数组操作,来同时计算出多项式在
向量各分量上的值。
functionv=plyinterp(x,y,u)
n=length(x);
v=zeros(size(u));
fork=1:
w=ones(size(u));
forj=[1:
w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;
end
v=v+w*y(k);
为了解释polyinterp函数的功能,先构造一个间隔很密的求值点向量。
u=-0.25:
0.01:
然后输入命令
v=polyinterp(x,y,u);
plot(x,y,'
o'
u,v,'
-'
);
可生成图3_1。
函数polyinterp也可以处理符号变量,例如,创建符号变量
symx=sym('
x'
)
然后用下面的命令,计算并显示插值多项式的符号形式
P=polyinterp(x,y,symx)
Pretty(P)
其输出结果为
-5(-1/3x+1)(-1/2x+1)(-x+1)-6(-1/2x+3/2)(-x+2)x
-1/2(-x+3)(x-1)x+16/3(x-2(1/2x-1/2)x
将其进行简化,从而得到P的幂形式
P=
x^3-2*x-5
下面是另一个例子,使用的是本章另一种方法所用数据。
x=1:
y=[161821171512];
y]);
u=.75:
运行后结果为
123456
同时输出图3_2。
图3_1polyinterp图3_2完整次数(full_degree)多项式插值
在这个仅包含6个正常间距插值值点的例子里,我们已经可以看出,完整次数多项式插值的主要问题了。
在数据点之间,特别是第一个和第二个点之间,函数值表现出很大的变化。
它超出了给定数据值的变化,因此,完整次数多项式插值很少用于实际的数据或曲线拟合,它主要用于推导出其他的数值方法。
指导教师:
翻译:
胡鹤
完成时间:
2013.3.10
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