数学普通高等学校招生全国统一考试模拟试题五衡水金卷调研卷数学理 含答案.docx
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数学普通高等学校招生全国统一考试模拟试题五衡水金卷调研卷数学理含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(五)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,集合,则()
A.B.C.D.
2.已知,则()
A.B.C.D.
3.设为虚数单位,现有下列四个命题:
:
若复数满足,则;
:
复数的共轭复数为
:
已知复数,设,那么;
:
若表示复数的共轭复数,表示复数的模,则.
其中的真命题为()
A.B.C.D.
4.在中心为的正六边形的电子游戏盘中(如图),按下开关键后,电子弹从点射出后最后落入正六边形的六个角孔内,且每次只能射出一个,现视,,,,,对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关,记事件为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则()
A.B.C.D.
5.某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()
A.B.C.D.
6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列,则的值为()
A.8B.10C.12D.16
7.下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()
A.B.C.D.
8.下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的个数是
①“数轴上两点间距离公式为,平面上两点间距离公式为”,类比推出“空间内两点间的距离公式为“;
AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)
②“代数运算中的完全平方公式”类比推出“向量中的运算仍成立“;
③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立;
④“圆上点处的切线方程为”,类比推出“椭圆上点处的切线方程为”.
A.1B.2C.3D.4
9.已知直线与正切函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,,若在区间内存在两个不同的实数,,与,调整顺序后,构成等差数列,则的值为()
A.B.C.或或不存在D.或
10.已知抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为,过点的直线与抛物线在第一象限的交点为,且抛物线在点处的切线与直线垂直,则的最大值为()
A.B.C.D.2
11.已知函数的导函数(其中为自然对数的底数),且,为方程的两根,则函数,的值域为()
A.B.C.D.
12.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱中,,分别是,的中点,过点,,,的平面截直四棱柱,得到平面四边形,为的中点,且,当截面的面积取最大值时,的值为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13∽21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22∽23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.已知函数,为的导函数,则的展开式中项的系数是.
14.已知向量,,向量,的夹角为,设,若,则的值为.
15.已知函数,,,,则关于的不等式的解集为.
16.已知数列的通项公式为,数列为公比小于1的等比数列,且满足,,设,在数列中,若,则实数的取值范围为
.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数在半个周期内的图象的如图所示,为图象的最高点,,是图象与直线的交点,且.
(1)求的值及函数的值域;
(2)若,且,求的值.
18.如图所示的四棱锥中,底面为矩形,,的中点为,,异面直线与所成的角为,平面.
(1)证明:
平面;
(2)求二面角的余弦值的大小.
19.207年8月8日晚我国四川九赛沟县发生了7.0级地震,为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识,某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座,事后并进行了测试(满分100分),根据测试成绩评定为“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:
“合格”定为10分,“不合格”定为5分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级
不合格
合格
得分
频数
6
24
(1)求的值;
(2)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈,现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的分布列及数学期望;
(3)设函数(其中表示的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当时,认定教育方案是有效的;否则认定教育方案应需调整,试以此函数为参考依据.在
(2)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?
20.如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的中心在原点,点在椭圆上,且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)动直线交椭圆于,两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段上一点,圆的半径为,且,求
21.已知函数,,其中为常数.
(1)当,且时,求函数的单调区间及极值;
(2)已知,,若函数有2个零点,有6个零点,试确定的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程为,若与的公共点为,且是曲线的中心,求的面积.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数,.
(1)求不等式的解集;
(2)求函数的单调区间与最值.
理数(五)
一、选择题
1-5:
ADBDB6-10:
CCCCB11、12:
CC
二、填空题
13.-54014.15.16.
三、解答题
17.解:
函数化简得.
因为,所以,所以,所以,所以是等腰直角三角形.
又因为点到直线的距离为4,所以,所以函数的周期为16.
所以,函数的值域是.
(2)由
(1),知
因为,所以
因为,所以,
所以,所以
.
18.解:
(1)由已知为矩形,且,所以为的中点.
又因为为的中点,所以在中,,又因为平面,平面,
因此平面.
(2)由
(1)可知,所以异面直线与所成的角即为(或的补角).
所以或.
设,在中,,,又由平面可知,且为中点,因此,此时,所以,所以为等边三角形,所以,即,因为,,两两垂直,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,所以,.
由,,,可得平面,可取平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为,由
令,所以.
因此,又二面角为锐角,故二面角的余弦值为.
19.解:
(1)由频率分布直方图可知,得分在的频率为,故抽取的学生答卷数为,又由频率分布直方图可知,得分在的频率为0.2,所以.
又,得,所以.
.
(2)“合格”与“不合格”的人数比例为,因此抽取的10人中“合格”有6人,“不合格”有4人,所以有40,35,30,25,20共5种可能的取值.4
,,
,,
.
的分布列为
40
35
30
25
20
所以.
(3)由
(2)可得
,
所以.
故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案.
20.解:
(1)因为在椭圆上,所以.
又,联立方程组,故椭圆的标准方程为
(2)设,,、联立方程.
由,得,且,,
所以
.
由题意可知圆的半径.
由题设知,因此直线的方程为.
联立方程因此.
所以
.
因为,所以,从而有,即得.
因此的取值范围为.
21.解:
(1)因为,所以,令或
(舍).
当时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.
因此的极小值为,无极大值.
(2)若函数存在2个零点,则方程有2个不同的实根,设,
则.令,得;
令,得,或,所以在区间,内单调递减,在区间内单调递增,且当时,令,可得,所以,;,,因此函数的草图如图所示,
所以的极小值为.
由的图象可知.
因为,所以令,得或,即或,
而有6个零点,故方程与都有三个不同的解,所以,且,所以.
又因为,,所以.
22.解:
(1)由曲线的参数方程消去参数,得其普通方程为.
将,代入上式并化简,得其极坐标方程为.
(2)将代入得.
得.
设,,则,,
所以.
又由
(1),知,且由
(2)知直线的直角坐标方程为,所以到的距离是,所以的面积.
23.解:
(1)由于,即为,当时,对上式两边平方,
得,即得,当时,原不等式的解集为空集,因此的解集为,
(2)由题可知
作图如下,
由.
由图易知函数的递减区间为,递增区间为,并且最小值为,无最大值.
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