典型极坐标参数方程练习题带答案.docx

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典型极坐标参数方程练习题带答案

极坐标参数方程练习题

1．在直角坐标系xOy中，直线C1：

x＝－2，圆C2：

（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

解：

（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.

（2）将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

4．（2014·，23，10分，中）将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线l：

2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解：

（1）设（x1，y1）为圆上的点，经变换为C上点（x，y），依题意，得

由x＋y＝1得x2＋＝1.

即曲线C的方程为x2＋＝1.

故C的参数方程为（t为参数）．

（2）由解得或

不妨设P1（1，0），P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝.化为极坐标方程，并整理得

2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，

即ρ＝.

（2）（2015·二模，23，10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

①写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

②设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

【解析】　

（1）将2ρcos2θ＝sinθ两边同乘以ρ，得2（ρcosθ）2＝ρsinθ，化为直角坐标方程为2x2＝y，①

C2：

ρcosθ＝1化为直角坐标方程为x＝1，②

联立①②可解得

所以曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．

（2）①∵ρcos＝1，

∴ρcosθ·cos＋ρsinθ·sin＝1.

又∴x＋y＝1，

即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.

∴M（2，0），N.

∴M的极坐标为（2，0），N的极坐标为.

②M，N连线的中点P的直角坐标为，

P的极角为θ＝.

∴直线OP的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

注：

极坐标下点的坐标表示不唯一．

【点拨】　解答题

（1）的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题

（2）先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标．

（2013·课标Ⅰ，23，10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

【解析】　

（1）将消去参数t，化为普通方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，

即C1：

x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得

ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

（2）C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

联立C1，C2的方程

解得或

所以C1与C2交点的极坐标分别为，.

【点拨】　本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．

（2012·，23，10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：

x2＋y2＝4，圆C2：

（x－2）2＋y2＝4.

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；

（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

解：

（1）由知圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

解得ρ＝2，θ＝±，

故圆C1与圆C2的交点坐标为，.

注：

极坐标系下点的表示不唯一．

（2）方法一：

由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为（1，），（1，－）．

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为（－≤t≤）．

方法二：

将x＝1代入

得ρcosθ＝1，从而ρ＝.

于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为

.

5．（2015·二模，23，10分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为，设直线l与圆C交于点P，Q.

（1）写出圆C的直角坐标方程；

（2）求|AP|·|AQ|的值．

解：

（1）因为圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，

所以ρ2＝2ρcosθ，

将其转化成直角坐标方程为x2＋y2＝2x，

即（x－1）2＋y2＝1.

（2）由点A的极坐标得直角坐标为A.

将直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x－1）2＋y2＝1，得t2－t－＝0.

设t1，t2为方程t2－t－＝0的两个根，则t1t2＝－，

所以|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝.

2．（2015·课标Ⅱ，23，10分，中）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2sinθ，C3：

ρ＝2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解：

（1）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立

解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为（0，0）和.

（2）曲线C1的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α<π.

因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．

所以|AB|＝|2sinα－2cosα|

＝4.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

3．（2015·，23，10分，易）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）写出⊙C的直角坐标方程；

（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

解：

（1）由ρ＝2sinθ，得

ρ2＝2ρsinθ，

从而有x2＋y2＝2y，

所以x2＋（y－）2＝3.

（2）设P，又C（0，），

则|PC|＝＝，

故当t＝0时，|PC|取得最小值，

此时，P点的直角坐标为（3，0）．

5．（2014·课标Ⅱ，23，10分，中）在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：

y＝x＋2垂直，根据

（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：

（1）C的普通方程为（x－1）2＋y2＝1（0≤y≤1）．

可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．

（2）设D（1＋cost，sint）．由

（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝，t＝.

故D的直角坐标为，即.

7．（2013·课标Ⅱ，23，10分，中）已知动点P，Q都在曲线C：

（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0<α<2π），M为PQ的中点．

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

解：

（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），

因此M（cosα＋cos2α，sinα＋sin2α）．

M的轨迹的参数方程为

（α为参数，0<α<2π）．

（2）M点到坐标原点的距离

d＝＝（0<α<2π）．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

（2014·课标Ⅰ，23，10分）已知曲线C：

＋＝1.直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

【思路导引】　

（1）由基本关系式可消参求出普通方程；

（2）把|PA|用参数θ来表示，从而求其最值．

【解析】　

（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）到l的距离为

d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.

则|PA|＝＝|5sin（θ＋α）－6|，其中α为锐角，且tanα＝.

当sin（θ＋α）＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin（θ＋α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

（2013·，23，10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.

（1）求C1与C2交点的极坐标；

（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．

【解析】　

（1）圆C1的直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝4，

直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

解得

所以C1与C2交点的极坐标为，.

注：

极坐标系下点的表示不唯一．

（2）由

（1）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0，2），（1，3）．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

由参数方程可得y＝（x－a）＋1＝x－＋1，

所以

解得a＝－1，b＝2.

【点拨】　解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题．

2011·课标全国，23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.

（1）求C2的方程；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

解：

（1）设P（x，y），

则由条件知M.

由于M点在C1上，所以

即

从而C2的参数方程为（α为参数）．

（2）C1化为普通方程为x2＋（y－2）2＝4，故曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，同理可得曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

射线θ＝与C1的交点A的极径为

ρ1＝4sin＝2，

射线θ＝与C2的交点B的极径为

ρ2＝8sin＝4.

所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.

5．（2014·一模，23，10分）已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos（θ－）＋6＝0.

（1）将极坐标方程化为普通方程；

（2）若点P（x，y）在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．

解：

（1）原方程变形为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，

化直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即（x－2）2＋（y－2）2＝2.

（2）设圆的参数方程为（α为参数），点P（x，y）在圆上，

则x＋y＝4＋2sin.

所以x＋y的最大值为6，最小值为2.

6．（2015·联考，23，10分）已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ＝1.

（1）写出点P的直角坐标及曲线