江苏省南京市六校联合体学年高三上学期联考数学试题Word格式文档下载.docx
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某商家在舂节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满50元,则可以从“福”字、春联和灯
笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有4名顾客都领取一件礼品,则他们中有且仅有2人领取的礼品
种类相同的概率是()
5479
A.B.
99
C.D.
1616
8.
5
在三棱锥P-ABC中,底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,且AB=2,PA=PC=,PB
与底面ABC所成的角的余弦值为
,则三棱锥P-ABC的外接球的体积为()
22
8989π
9π
26
C.9πD.
27π
二、多项选择题:
本题共4小题,每小題5分,共20分。
在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。
9.下列说法正确的是()
A.若X~B⎛n,1⎫,且EX=2,则n=6
ç
3⎪
⎝⎭
B.设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;
反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>
0),则P(ξ>
1)=0.5
10.若函数(fx)=sin2x的图象向右平移π个单位得到的图象对应的函数为g(x),则下列说法中正确的
6
是()
A.g(x)图象关于x=5π对称
12
B.当x∈⎡0,π⎤时,g(x)的值域为⎡-
3,3⎤
⎣⎢2⎥⎦
⎢22⎥
⎣⎦
⎡5π11π⎤
C.g(x)在区间⎢,⎥上单调递减
⎣1212⎦
D.当x∈[0,π]时,方程g(x)=0有3个根
11.如图,直角梯形ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=1,AB=1,E为AB中点,以DE为
折痕把ADE折起,使点A到达点P的位置,且PC=,则()
A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥ED
π
C.二面角P-DC-B的大小为
4
D.PC与平面PED所成角的正切值为
12.已知抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点,设线段AB的中点为P,则()
A.OA⋅OB=-
3p24
B.
若|AF|⋅|BF|=4p2,则直线AB的斜率为
C.若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3,则抛物线的方程为y2=8x
1
D.若点F到抛物线准线的距离为2,则sin∠PMN的最小值为
三、填空题:
本大题共4小題,毎小题5分,共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13,在Rt∆ABC中,∠C=90,AC=4,D为AB边上的中点,则CD⋅AC等于。
14.(x-2y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为。
(用数字填写答案)
15.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上递减,若不等式f(-ax+lnx+1)+f(ax-ln-1)≥2f
(1)
对x∈⎡⎣1,e2⎤⎦恒成立,则实数a的取值范围为。
6.已知函数f(x)=3cos⎛2x+π⎫,当x∈[0,9π]时,把函数F(x)=f(x)-1的所有零点依次记为x,
3⎪1
x2,x3,,xn,且x1<
x2<
x3<
<
xn,记数列{xn}的前n项和为Sn,则2Sn-(x1+xn)=。
四、解答题:
本大题共6小題,共70分。
解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。
(
17.(本小题满分10分)
222
在①AC⋅AB=b
ab,②atanC=2csinA,③S=
a+b
c)这三个条件中任选一个,
补充在下面的问题中,并解决该问题。
锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,ABC的面积为S,已知。
(1)求角C的大小;
(2)求sinA+sinB的取值范围。
18.(本小题满分12分)
已知数列{a},{b}的前n项和分别为S,T,且a>
0,6S=a2+3a。
nnnnnnnn
(1)求数列{an}的通项公式;
=S
(2)记bn
n
,若k>
Tn恒成立,求k的最小值。
19.(本小题满分12分)
7
如图,点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A,B),已知AB=2,AC=,AE=,四边形BEDC为矩形,平面ABC⊥平面BEDC.设平面EAD与平面ABC的交线为l。
(1)证明:
l∥BC;
(2)求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。
20.(本小题满分12分)
∑
-x)=80,∑(y
垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,所以需要无害化、减量化处理。
某市为调査产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,,20),其中xi和yi分别表示第i个县城的人口(单位:
万人)和该县年
20
垃圾产生总量(单位:
吨),并计算得xi
i=1
=80,yi
=4000,∑(xi
i
-y)2=8000,
∑(xi-x)(yi-y)=700。
j=1
(1)请用相关系数说明该组数据中y与ⅹ之间的关系可用线性回归模型进行拟合;
(2)求y关于x的线性回归方程;
(3)某科硏机构硏发了两款垃圾处理机器,下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:
使用年限台数
款式
1年
2年
3年
4年
5年
甲款
15
10
50
乙款
某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器,以使用年限的频率估计概率。
根据以往经验估计,该机构选择购买哪一款垃圾处理机器,才能使用更长久?
∑(xi-x)(yi-y)
∑(xi-x
)∑
(yi-y)
参考公式:
相关系数r=i=1
对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,,n),其回归直线yˆ=bˆx+aˆ的斜率和截距
的最小二乘估计分别为:
bˆ=i=1,aˆ=y-bˆx
∑(xi-x)
21.(本小题满分12分)
x2y2
32⎛31⎫
已知椭圆C:
+
a2b2
b>
0)的一条准线方程为x=
2,点ç
⎪在椭圆C上。
⎝22⎭
(1)求椭圆C的方程;
2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求AOB面积(O为原点)的最大值。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=tetx(t>
0),g(x)=lnx.
(1)若f(x)在x=0处的切线与g(x)在x=1处的切线平行,求实数t的值;
(2)设函数ϕ(x)=f(x)-g(x).
①当t=1时,求证:
ϕ(x)在定义域内有唯一极小值x,且ϕ(x)∈⎛2,5⎫;
00ç
2⎪
②若ϕ(x)恰有两个零点,求实数t的取值范围。
2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学
在毎小题给岀的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】B
5.【答案】C6.【答案】D
7.【答案】B
解:
4名顾客都领取一件礼品,基本事件总数34=81
43
他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数C2A3=36
∴P=36=4,选B.
819
8.【答案】A
取AC中点D,连BD,PD
BC=AB,PA=AC,
∴AC⊥BD,AC⊥PD,PD⋂BD=D,PD,BD⊂平面PBD,
∴AC⊥平面PBD
又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBD
∴∠PBD为PB与底面ABC所成锤子数学的角,
即cos∠PBD=,
∵AC=2AB=2,
PA2-AD2
∴BD=,PD=
令PB=x,则3=2+x2-2⋅
解得x=3
取PB中点O,连接OD
=
2⋅x⋅
OD2=9+2-2⋅⋅3⋅22=1
4234
∴OD2+DB2=OB2,∴OD⊥DB,
∴O为ABC外接球锤子数学的球心
r=3,∴V=4π⋅27=9π,
选A.
382
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在毎个小题给出的四个选项中,有多项符合题目
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】AC
AE2+DE2
22+22
A中,PD=AD===2,
在三角形PDC中,PD2+CD2=PC2,所以PD⊥CD,又CD⊥DE,
可得CD⊥平面PED,CD⊂平面EBCD,所以平面PED⊥平面EBCD,A选项正确;
B中,若PC⊥ED,又ED⊥CD,可得ED⊥平面PDC,
则ED⊥PD,而∠EDP=∠EDA,显然矛盾,故B选项错误;
C中,二面角P-DC-B的锤子数学平面角为∠PDE,
根据折前着后不变知∠PDE=∠ADE=45,故C选项正确;
D中,由上面分析可知,∠CPD为直线PC与平面PED所成角,
CD
在RtPCD中,tan∠CPD==,故D选项错误。
PD2
故选:
AC.
12.【答案】AD
p
设AB:
x=my+,A(x,y),B(x,y)
21122
⎧y2=2px,
⎪
⎨x=my+p,
消x可得y2-2pmy-p2=0
⎩⎪
y+y
=2pm,yy
=-p2
1212
y2y2p4p2
x1x2=1-2==
2p2p4p2
2p232
∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=-p+
=-p
44
,A正确
⎝⎭⎝⎭
⎛p⎫⎛p⎫
pp2
|AF‖BF|=ç
x1+2⎪ç
x2+2⎪=x1x2+2(x1+x2)+4
p+p
=⎡m(y+y
)+p⎤=p2+pm⋅2pm
22⎣12⎦2
=p2+p2m2=4p2
∴m2=3,∴m=±
AB的斜率为±
,B错误
抛物线上一点E(2,t)到焦点的距离为3,则E到锤子数学准线距离为3
∴3=2+p,∴p=2
抛物线方程:
y2=4x,C
错误此时答案已知AD再判断D
F到锤子数学抛物线准线距离为2,∴p=2
x+x=4m2+2,y+y
=4m,
12
2r=AB=x+x
+2=4m2+4
∴r=2m2+2,
d2m2+12m2+2-11
∴sin∠PMN====1-
r2m2+22m2+22m2+2
∵2m2+2≥2,
∴1∈⎛0,1⎤,∴sin∠PMN∈⎡1,1⎫
2m2+2
即sin∠PMN
⎭
⎝
min
2⎥⎦
=1,D正确。
⎢⎣2⎪
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.【答案】-8
14.【答案】-48
15.【答案】1≤a≤4
ee2
f(x)为偶函数,
∴f(-ax+lnx+1)=f(ax-lnx-1)
∴f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1)≥2f
(1)⇔f(ax-lnx-1)≥
f
(1),
f(x)在[0,+∞)
∴|ax-lnx-1|≤1在x∈⎡1,e2⎤恒成立,lnx≤a≤lnx+2
xx
令g(x)=lnx,g'
(x)=1-lnx=0,x=e
xx2
g(x)在[1,e),(e,2],∴g(x)
max
=g(e)=1
e
令h(x)=lnx+2,h'
(x)=-1-lnx<
0,∴h(x)在⎡1,e2⎤
xx2⎣⎦
h(x)
=h(e2)=4,∴1≤a≤4。
16.【答案】
e2
221π
F(x)=0,则f(x)=1,即cos⎛2x+π⎫=1
3⎪3
令g(x)=cos⎛2x+π⎫,g(x)的周期为π
在一个周期[0,π]内g(x)=1有两个根x,x
312
则在[0,9π]内共有18个根,即n=18
相邻的两个根都关于锺子数学对称轴对称,
而g(x)的对称轴
πkπ
x
=-+
62
即x,x关于x=π对称,x,x关于x=5π对称
123236
x,x关于x=25π对称
17183
2Sn-(x1+xn)=(x1+x2)+(x2+x3)++(x17+x18)
17⎛π+25π⎫
33⎪
=⎝⎭=。
23
本大题共6小题,共70分。
。
17.解:
选①
(1)∵AC⋅AB=b
2-1
ab,
∴bc⋅cosA=b2-1ab,
b2+c2-a221
即bc⋅=b
2bc
ab⇒a
+
b-c
=ab
a2+b2-c21
=,
2ab2
∴cosC=1,C=π。
⎧0<
A<
π
(2)∵ABC为锐角三角形且⎨
2⇒π<
ππ62
⎪0<
π-A-<
⎩⎪32
∴sinA+sinB=sinA+sin⎛A+π⎫=sinA+1sinA+3cosA
3⎪22
=3sinA+3cosA=3sin⎛A+π⎫
22ç
6⎪
∴π<
A+π<
2π,∴3<
sin⎛A+π⎫≤1,
363
2ç
∴sinA+sinB∈⎛3,3⎤,
2⎥
⎝⎦
即sinA+sinB的锤子数学取值范围为⎛3,3⎤。
18.解:
(1)6S
nnn
=a2+3a①
∵当n≥2时6S
n-1
=a
+3an-1②
①-②得6a=a2-a2+3a-3a
nnn-1nn-1
∴(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0
∴(an+an-1)(an-an-1-3)=0
∵an>
0,∴an+an-1>
0,an-an-1=3
∴{an}为等差数列,且公差为3,在①式中令n=1,得a1=3
∴an=3+3(n-1)=3n。
(2)Sn=
9n2+9n6
=n(n+1),
∴b=1
=2⎛1-1⎫
S
n3ç
nn+1⎪
∴T=b+b
++b=2⎛1-1+1-1++1-1⎫
n12
223nn+1⎪
=2⎛1-1⎫
3ç
n+1⎪
∵{T}关于n单调递增,且对∀n∈N*,T<
2
nn3
∴k≥2,所以k的最小值为2。
33
19.解:
四边形BEDC为矩形,
∴DE∥BC,∴DE∥平面ABC
又∵DE⊂平面ADE,平面ADE⋂平面ABC=l,
∴l∥BC。
(2)
过A作AM∥CB交圆于点M,连接BM,EM
∴四边形AMBC为矩形,∴AM∥BC∥DE
平面ADE与平面AMED为同一平面
∵平面ABC⊥平面BEDC,平面ABC⋂平面BEDC=BC,
BE⊂平面BEDC,BE⊥BC,
∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AM,又∵AM⊥BM,BE⋂BM=B,
∴AM⊥平面BEM,∴AM⊥EM
平面ADE⋂平面ABC=AM,
∴∠EMB即为所求二面角锤子数学的平面角
∵AE=7,AB=2,
7-4
∴BE==3,BM=AC=,∴EM=
∴cos∠EMB==。
20.解:
(1)由题意知相关系数
∑(xi-x)(yi-y
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