基于APOS理论的函数概念教学设计Word文件下载.docx
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如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强。
但如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然。
笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳老师设计的《函数的概念》基础上进行思考,尝试用APOS理论来设计高中函数概念的教学。
(一)创设问题情境,引出课题
教师提出问题1:
我们在初中学习过函数的概念,它是如何定义的呢?
在初中已经学过哪些函数?
(在学生回答的基础上出示投影)
我们已经学习了一些具体的函数,那么为什么还要学习函数呢?
先请同学们思考下面的问题:
问题2:
由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数?
函数y=x与函数表示同一个函数吗?
学生思考、讨论后,教师点拨:
仅用上述函数概念很难回答这些问题,我们需要从新的角度来认识函数概念。
(二)生活实例演示,操作练习[活动(A)]
问题3:
下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?
请你为剩下的那个图像写出一件事.
(1)我离开家不久,发现自己把作业本可能忘在家里了,于是停下来找,没找到,就返回家里找到了作业本再上学;
(2)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
活动小结:
每一个时刻,按照图像,都有唯一确定的距离与它对应。
(三)借助信息技术,讨论归纳[过程(P)]
师:
(实例1)演示动画,用《几何画板》动态地显示炮弹高度关于炮弹发射时间的函数。
启发学生观察、思考、讨论,尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系:
在的变化范围内,任给一个,按照给定的解析式,都有唯一的一个高度与之相对应。
生:
用计算器计算,然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
(实例2)引导学生看图,并启发:
在的变化范围内,任给一个t,按照给定的图象,都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。
动手测量,然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
师生:
(实例3)共同读表,然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
(四)从特殊到一般,引出函数概念[对象(O)]
问题4:
分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同特点?
分组讨论三个实例的共同特点,然后归纳出函数定义,并在全班交流。
由学生概括,教师补充,引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为:
对于数集中的每一个,按照某种对应关系,在数集中都有唯一确定的与它对应,记作
教师强调指出“”仅仅是数学符号。
为了更好地理解函数符号的含义,教师提出下一个问题:
问题5:
一定就是函数的解析式吗?
函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。
问题6:
函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢?
如果能,怎样给函数重新下一个定义呢?
(在学生回答的基础上教师归纳总结)
补充练习:
下列图象中不能作为函数的图象的是()
例1.已知函数,
(1)求函数、的定义域;
(2)求的值;
(3)当时,求的值。
(4)求
(5)求
让学生思考,并提问个别学生。
师问:
怎样求函数的定义域?
追问:
与有何区别与联系?
点拨:
表示当自变量时函数的值,是一个常量,而是自变量的函数,它是一个变量,是的一个特殊值。
如何求,又如何求一般情况的?
具体地,可以将2带入函数求出具体值,再代入求出函数值。
对于抽象的,应该将看成一个整体,带入的解析式,求出的解析式。
问题7:
函数的三要素是什么?
教师引导学生归纳总结:
函数的三要素是定义域、值域及对应法则。
在函数的三要素中,当其中的两要素已确定时,则第三个要素也就随之确定了。
如当函数的定义域,对应法则已确定,则函数的值域也就确定了。
如何判断两个函数是否相同?
以学生已解决的问题出发创设情境,引起学生的学习兴趣,再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”,并通过独立思考后的讨论,培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。
例2.下列函数中哪个与函数相等?
(1)
(2)
(3)
(4)
判断函数相等的依据是什么?
变式:
若改
(2)为呢?
思考:
你能举出一些函数相等的具体例子吗?
启发并引导学生思考、讨论、交流,教师归纳总结出函数的要点:
1.函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应;
2.函数的核心是对应法则,通常用记号表示函数的对应法则,在不同的函数中,的具体含义不一样。
函数记号表明,对于定义域的任意一个在“对应法则”的作用下,即在中可得唯一的.当在定义域中取一个确定的,对应的函数值即为.集合中并非所有的元素在定义域中都有元素和它对应;
值域;
3.函数符号
的说明:
(1)“”即为“是的函数”的符号表示;
(2)不一定能用解析式表示;
(3)与是不同的,通常,表示函数
当时的函数值;
(4)在同时研究两个或多个函数时,常用不同符号表示不同的函数,除用符号外,还常用、、等符号来表示。
4.定义域是函数的重要组成部分,如与是不同的两个函数。
(五)借助熟悉的函数,加深对函数概念的理解[图式(S)]
问题8:
集合A(A=R)到集合B(B=R)的对应:
:
A&
rarr;
B,使得集合B中的元素与集合A中的元素对应,如何表示这个函数?
定义域和值域各是什么?
函数呢?
教师演示动画,用《几何画板》显示这三种函数的动态图象,启发学生观察、分析,并请同学们思考之后填写下表:
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
对应关系
a>0
a<0
定义域
值域
用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数,使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。
同时利用信息技术工具画出函数的图象,是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用,更好地帮助理解上述函数的三个要素,从而加强学生对函数概念的理解,进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。
明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素,这是一个整体,以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。
(六)再创情境,引导探究函数概念的新认识[图式(S)]
问题9:
比较函数的近代定义与传统定义(即初中课本函数的定义)的异同点,你对函数有什么新的认识?
学生思考、讨论,教师点拨:
函数近代定义与传统定义在实质上是一致的,两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。
两个定义中的对应法则实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
问题10:
学生在前面学习的基础上,反思对问题2的解答,重新思考问题2,谈谈自己的认识。
教师启发、引导学生画图,以形求数。
是函数;
与不是同一个函数。
引导学生对问题2进行反思和总结,并将之一般化,利用数学语言来表达,培养学生反思问题、总结归纳的习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论的能力。
(七)举例应用,深化目标[图式(S)]
例3.已知函数
(1)画出函数的图象;
(2)求的值;
(3)你从
(2)中发现了什么结论?
(4)求函数的值域。
为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法,同时也后面研究函数的性质(奇函数)作准备。
教师引导学生解决此题的关键点,并进行变式:
变式1:
已知,①当时,求函数的值域;
②当时,求函数的值域。
变式2:
已知,①当函数值域为时,求函数定义域;
②当函数值域为时,求函数定义域。
变式3:
(1)已知,求的值。
(2)已知,求函数.
变式4:
已知,,求①的解析式;
②
的解析式;
③的解析式。
以一个问题为背景,一题多用,一题多变,由浅入深,体现梯度,使不同程度的学生都有发展。
通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识,培养学生探究问题的能力,从而提升学生的思维品质。
借助三个变式层层深入,是理论到实践的升华,使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底,得到再次认同,初步掌握与应用能力也就自然形成了。
(八)练习交流,反馈巩固
以学生回答、板演的形式进行课堂练习,充分发挥师与生、生与生的互动,以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。
(九)学生归纳小结,教师评价
以同桌之间一人小结一人倾听的方式,以四人为一小组进行小组讨论,对本节课所学的内容进行自主小结,教师及时进行归纳总结:
1.函数的近代定义与传统定义的异同点;
2.集合与函数的联系、区别;
3.函数的三要素;
4.数形结合的思想。
三、几点启示
APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析,可以预测学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构,从而推知学生对函数概念的掌握起点。
基于APOS理论的理念设计数学性质教学,实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现,有利于学生理解函数的概念。
教学中教师要关注数学本身的特点,更重要的是要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况,将数学知识和学生探究活动有机结合,要求教师要重视学生的学习活动,让学生亲身创设问题情境。
数学教师要意识到:
一个数学概念由“过程”到“对象”的建立,有时既困难又漫长,需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升,直至学生真正理解,“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。
要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。
学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的,这就要要教师在教学过程中整体处理教材,把握教学的度,结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中,帮助学生逐步形成函数完整的知识链。
在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立,即加强知识间的联系和应用,如在讲解具体的指数函数、对数函数、幂函数时,可以以具体函数为载体,在一般函数概念的指导下对其性质进行研究,体现了“具体──抽象──具体”的过程,是函数概念理解的深化。
又如,在讲解不等式、方程的求解及应用后,可以与函数相结合,进行对比,从而加深对函数概念的理解,帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。
我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:
乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:
“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨,我问:
“雨下得怎样?
”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:
“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。
我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀―样,给大树开刀治病。
通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼,从最初的门馆、私塾到晚清的学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书,最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也?
”;
《论语》中的“有酒食,先生馔”;
《国策》中的“先生坐,何至于此?
”等等,均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者,有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意,倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来,“先生”之本源含义在于礼貌和尊称,并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载,首见于《礼记?
曲礼》,有“从于先生,不越礼而与人言”,其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”,与教师、老师之意基本一致。
当然,APOS理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中,也不是每一课都必须遍历四个阶段,它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。
比如,函数图式的形成是需要一个长期实践与反思。
有些学生需要在接触了大量的具体的函数模型以后,甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后,才能渐渐地实现从“过程”到“对象”的理解,再由“对象”到“图式”的发展。
作为老师,我们应该理解学生的实际,作为数学的学习过程,也是允许学生有折返的现象。
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