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向量
中,可
以
作为基底的是
A
0=(0,0)(2
十2,1)
B$二(4,6)(2二(6,9)C
.◎二(2,-5),e?
二(-6,4)
13
8=(2,-3),62=(,)
24
6.已知向量a,b的夹角为120,且|a|=2,|b|=5,贝U(2a-b)•a=
C.12
7.已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若OAOBOC=0,则点O
是
三角
形
ABC
的
()
A.重心
B.内心
C.垂心
D.
外心
8.设
a=(2,—3),b=(x,2x),
且3a•b=4,贝Ux
等于
A.—3
B.3
c.
3
9.已知AB=
(6,1),BC=(x,y),CD二
(-2,-3),且BC//
DA,贝Ux+2y
的值为
A.0
B.2
c.—
D
).—2
10.已知向量
a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直,且|a|z
0,|b|z0,贝Ua与b的
夹角为()
兀
2■:
A.-
B.-
C.—
6
、填空题(共4个小题,每题5分,共20分)
11.在三角形ABC中,点D是AB的中点,且满足〔CD,则
CACB=
12.设e],e2是两个不共线的向量,贝U向量b=©
…仓仏:
-R)与向量a=2e^-e2共线的充要条件是
13.圆心为O,半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P,若以PO为方
向的单位向量为b,且|poi=2,贝ypA+pB+pC+pD=
14.已知O为原点,有点A(d,0)、B(0,d),其中d>
0,点P在线段AB上,且
AP=tAB(0wtw1),则OAOP的最大值为
三、解答题
15.(12分)设a,b是不共线的两个向量,已知
忑=2akb,BC二ab,C6二a-2b,若A、B、C三点共线,求k的值.
d__yaxb若a_b,c_d且|C徑,T0.
⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)及其定义域;
⑵若[1,2]时,不等式f(x)_mx-16恒成立,求实数m的取值范围.
16.(12分)设向量
a,b满足ai=|b|=1及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值
17.(14分)已知|a|=<
2,|b|=3,a与b夹角为45,求使向量a+■b与’a+b
的夹角是锐角时,■的取值范围
附加题(可不做)
1.已知点P分R1P2所成的比为一3,那么点R分P2P所成比为
2B.
1C.
3D.
2.
点(2,—1)按向量
a平移后得
(—2,1),它把点(一2,1)平移到
.(2,—1)
B.(—2,1)
C.(6,—3)
D.(—6,3))
20.已知向量a、
d及实数x、
y满足|a|=|b|=1.
c=a(x-3)b
•••cos〈a,b>
高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
一、选择题
1.(文)(2010东北师大附中)已知a|=6,|b|=3,ab=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()
A.-4B.4
C.-2D.2
[答案]A
[解析]a在b方向上的投影为
ab—12.
—=—4.
|b|3
(理)(2010浙江绍兴调研)设ab=4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1,贝Ua与b的夹角等于()
n、2n
d・3或3
[答案]B
abab
[解析]由条件知,=2,商=1,ab=4,
•-|a|=4,|b|=2,
ab=4=1
|a||b|=4X2=2
99
A.—2B运
C.—2D.2
[答案]C
[解析]由条件知倚|=@2|=1,e1e2=0,
•-ab=3x+6=0,二x=—2.
(理)(2010四川广元市质检)已知向量a=(2,1),b=(—1,2),且m=ta+b,n=a—kb(t、k€R),贝Um±
n的充要条件是()
A.t+k=1B.t—k=1
C.tk=1D.t—k=0
[答案]D
[解析]m=ta+b=(2t—1,t+2),n=a—kb=(2+k,1—2k),vm丄n,•mn=(2t—1)(2+k)+(t+2)(1—2k)=5t—5k=0,二t—k=0.
3.(文)(2010湖南理)在RtAABC中,/C=90°
AC=4,则ABAC等于()
A.—16B.—8
C.8D.16
[解析]因为/C=90°
所以ACCB=0,所以ABAC=(AC+CB)AC=|AC|+ACCB=AC2=16.
(理)(2010天津文)如图,在△ABC中,AD丄AB,BC=.3BD,|AD|=1,则
n
•••〈a,b〉=n
3'
2.(文)(2010云南省统考)设e1,e2是相互垂直的单位向量,并且向量a=3&
+2e2,b=x&
+3e2,如果a丄b,那么实数x等于()
ACAD=()
[解析]•••a+b=c,|a|=|b|=|c|z0,
•••|a+b|2=|c|2=|a|2,「.|b|2+2ab=0,
•|b|2+2|a||b|cos〈a,b>
=0,
•cos〈a,b>
=—~,
•••〈a,b〉€[0°
180°
•••〈a,b>
=120°
5.(2010四川双流县质检)已知点P在直线AB上,点O不在直线AB上,
且存在实数t满足Op=2tPA+tOB,则止号=()
|PB|
6.(文)平面上的向量MIA、M1B满足|MlA|2+|MIB|2=4,且MAMB=0,若向量
MIC=1MA+-2MB,则|MC|的最大值是()
A.-
C.2
B.1
D.3
[解析]•/MlAM1B=0,•mA丄Mfe,又•/|MA|2+|MB|2=4,
•|AB|=2,且M在以AB为直径的圆上,如图建立平面直角坐标系,则点
•••—1wXW1,.・.x=-1时,IMC|2取得最大值为
7.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=i7,则AOBC
•|MC|的最大值是3.
(理)(2010山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点,N是边BC的中点,贝UAN/mM的最大值为()
A.8B.6
C.5D.4
[解析]建立直角坐标系如图,•••正方形ABCD边长为2,
•A(0,0),N(2,-1),AN=(2,-1),设M坐标为(x,y),Am=(x,y)由坐标系可知
A3m5
A."
B.?
C.2D.3
[解析]aObC=Ao(aC—AB)=aoaC-AOAb,因为oa=ob所以AO在
—m—丄◎/1—m—m—m1—m—m—m—m1—m—m9
AB上的投影为2|AB|,所以AOAB=?
|AB||AB|=2,同理AOAC=?
AC||AC|=?
故AOBC=2-2=;
8.(文)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,a(b—a)=—1,则向量a与向量b的夹角为(
~~n%
•••ABBOO」a为锐角,•••6—笃.
A・6
冗
B.4
10.(理)(2010南昌市模考)如图,BC是单位圆A的一条直径,
上的点,且BF=2FA,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则
F是线段AB
FDFE的值
C.3
D.2
[答案]
[解析]
ah
根据向量夹角公式“cos〈a,b>
=丽|求解”
ab
由条件得aI2—1即ab—3,设向量a,b的夹角为a,则cosa=丽
总=2,所以a=n
~~3
9.(理)(2010黑龙江哈三中)在厶ABC中,ABBC€-,
-8
其面积s=16,
则AB与BC夹角的取值范围是()
n_n
6,4
咋,
"
n3n
」6,4一
D.不确定
[解析]•/bF=2Fa,aFa=£
ba,
-|FA|=3|BA|=1
—>
—>
FDFE=(FA+AD)(・FA+AE)
71
[解析]设〈AB,BC>
=a,•/ABBC=|AB||BC|cosa,S=-|AB||BC|•sin(
=(FA+AD)(FA—AD)
TFAf-IADI2*-仁-9
-T—T3~T—T3
—a=2|AB||BC|sina=亦,二|AB||BC|=研,
弋T3cosa3
:
ABeC=8Sn:
=8cota,
由条件知3W3cota<
岂3,二1WCOtaW.3,
88
[解析]Pa=Po+OA,Pb=Po+OB,
由条件知,|OA|2=49,|OB|2=25,|PA|=|PB|,•••|PO+OA|2=|PO+OB|2,
即|PO|2+|OA|2+2POOa=|PO|2+OBf+2POOB,•PO(OA—OB)=—12,
、填空题
•OP
11.(2010苏北四市)如图,在平面四边形ABCD中,若AC=3,BD=2,则
(Ab+DC)(AC+BD)=.
(OA—
OB)=12.
13.(理)(2010广东茂名市)O是平面a上一点,A、B、C是平面a上不共线的三点,平面a内的动点p满足Op=OA+xAB+AC),贝y匕2时,Pa(pB+pc)
的值为
[答案]5
[解析]设AC与BD相交于点O,则
(AB+DC)(AC+BD)
[答案]0
[解析]由已知得OP—OA=XAB+Ac),
~>
即AP=XAB+AC),
当入=2时,得Ap=£
(aB+AC),
•2AP=AB+AC,即卩AP—AB=AC—AP,
=[(OB—OA)+(OC—OD)](AC+BD)
=[(OB—OD)+(OC—OA)](AC+BD)
•BP=PC,aPB+PC=PB+BP=0,
•PA(PB+PC)=RA0=0,故填0.
2~2
=(DB+AC)(AC+BD)=|AC|—|BD|=5.
12.(文)(2010江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点,设P
为线段AB垂直平分线上任意一点,若|OA|=7,|OB|=5,则OP(OA—Ofe)的值
为.
16.(文)(延边州质检)如图,在四边形ABCD中,AD=8,CD=6,AB=13,/ADC=90°
且ABAC=50.
[答案]12
1252
(2)Sabad=2ABADsin/BAD=可,
1—0bac=qABACsin/BAC=60,0acd=24,
贝VSabcd=
SaABC+SaACD—Sxbad=
168
v,
(1)求sin/BAD的值;
⑵设△ABD的面积为Saabd,△BCD的面积为S^bcd,求的值.
Sabcd
[解析]⑴在Rt△ADC中,AD=8,CD=6,则AC=10,cos/CAD=5,sin/CAD=5,
.Saabd3
SaBCD2.
2222
(理)点D是三角形ABC内一点,并且满足AB+CD=AC+BD,求证:
AD丄BC.
又•••ABAC=50,AB=13,
/•cos/BAC=
ABAC
|AB||AC|
5_
13’
•••0<
/BAC/180°
•••sin/BAC=芳
•••sin/BAD=sin(/BAC+/CAD)=
63
65.
[分析]要证明AD丄BC,则只需要证明ADBC=0,可设AD=m,Ab=c,
AC=b将BC用m,b,c线性表示,然后通过向量的运算解决.
证明:
设AB=c,AC=b,AD=m,
则Bd=Ad—Ab=m—c,Cd=Ad—Ac=m—b.
•/AB2+CD2=AC2+BD2,
•c2+(m—b)2=b2+(m—c)2,即
c2+m2—2mb+b2=b2+m2—2mc+c2,
•-m(c—b)=0,即AD(AB—AC)=0,
•AdCB=0,「.AD丄BC.
17.(文)(2010江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(—1,—2),B(2,3),
C(—2,—1)
设Mg,y“、N(x2,y2),
高中数学平面向量章末复习题
(二)【提高篇】
1、下面给出的关系式中正确的个数是(C)
.22
①0,a=0②ab=ba③a=|a④(ab)c=a(bc)⑤
ab<
(A)0(B)1(C)2(D)3
fTfTf
2.已知ABCD为矩形,E是DC的中点,且AB=a,AD=b,则BE=(B)
TTTTTTTT
(A)b+ia(B)b—ia(C)a+今b(D)a—今b
(A)AD=BC(B)AD=2BC(C)AD=—BC(D)aD=
—2BC
5.
6.
设e1与e2是不共线的非零向量,且ke1+e2与©
+共线,则k的值
(C)
(A)1
(B)—1
(C)
-1(D)任意不为零的实数
在ABC中,M是BC的中点,
AM=1,点
P在AM上且满足—PA=2PM,
PA(PBPC)等于(
iTiTi
3.已知ABCDEF是正六边形,且AB=a,AE=b,贝yBC=(D)
(A)2(a-b)(B)吉(b-a)(C)a+舟b(D)弓(ab)
A.—
9
B.—
C.-
7.
已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60。
,那么丨
a+3b1=(c)
A.■-7B..10C.<
13D.4
&
已知|"
=4,|b|=3,与b的夹角为60°
则|「丿+b|等于(D)。
4.设a,b为不共线向量,
ab=a+2b,bc=—4a—bcd=—5a—3
B、•匸C、工D、厂
b,
则下列关系式中正确的是(B)
9.已知向量a=2,1,ab=10,|ab5、2,则|b(C)
A.乜B..10C.5D.25
10.若|a-b|=,41—20,3,|a|=4,|b|=5
,则向量a•b=(A)
A.
65
-13
11.O是厶ABC所在平面上一点,且满足条件一...1.1……一,则
点0是△ABC的(B)
A、重心B、垂心C、内心D、外心
12.已知M(—2,7)、N(10,—2),点P是线段MN上的点,且PN=-2PM,则P点的坐标为(D)
(A)(—14,16)(B)(22,—11)(C)(6,1)(D)(2,
4)
13.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、QR三点共线,则R点的横坐标为(D)
A、-9B、-6C、9D、6
14.已知a=(1,2),b=(—2,3),且ka+b与a—kb垂直,贝Uk=(A)
(A)-1-2(b)血±
1(c)V2±
3(d)3±
V2
15•已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为(a)
二、填空题
16.已知向量a=3,b=(1,2),且a丄b,则a的坐标是。
17.△ABC中,A(1,2),B(3,1),重心G(3,2),贝UC点坐标为。
18.已知|a|=3,|b|=5,如果a//b,贝Ua•b=。
19.在菱形ABCD中,(AB+AD)•(AB-AD)=。
20.将点A(2,4)按向量a=(—5,—2)平移后,所得到的对应点A'
的坐
标是.
21.设向量a=(2,-1),向量b与a共线且b与a同向,b的模为2,5,贝Ub=—
22.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直,且旧产0,冋工0,则a与b的夹
角为
23.在厶ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则OAOBOC的最小值是.
24.如图,D是厶ABC中BC边的中点,AB=a,AC=b.
(1)试用a,b表示AD;
(2)若点G是厶ABC的重心,能否用a,b表示AG;
(3)若点G是厶ABC的重心,那么GA+GB+GC=?
〔第虧题圈)
26.已知丨a1=3,1bi=2,a与b的夹角为60°
c=3a+5b,d=
ma—3b.
(1)当m为何值时,C与d垂直?
(2)当m为何值时,C与d共线?
—■1—■
25.如图,在△ABC中,AD=AB,DE//BC,与边AC相交于点E,AABC4
的中线AM与DE相交于点N.设AB=a,AC=b,试用a和b表示DN.
27、已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足AP=AB+■AC
(…R)
(1)'
为何值时,点P在正比例函数y=x的图像上?
(2)若点P在第三象限,求’的取值范围
参考答案:
12
3456
78
10
11121314
15
CB
DBCA
CD
BDDA
第16题:
(-65,3'
5)或
(6-5
3一5)
第17题:
(5,
55
3)
第18题:
15或—15
第19题:
0
第20题:
'
(—3,2)
第21题:
(4,
—2)
第22题:
60°
第23题:
—2
第24题:
(1)—(a+b);
(2)1
(a
+b);
(3)GA+GB+
GC
、选择题
=0
第25题:
DN=—(b—a)
8
【25题解析】
第26题:
14
(2)
m=
第28题:
存在点P(1,—2)
第27题:
(1)•=丄;
(2),V—1
【28题解析】
ijlrTT*£
*
竺问屯冬上件住虑尸.梗爵及丄両.^OP=tOC^{2i,~4t),(0<
/<
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f™I«
2/.»
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因为冠丄亦所瞇(-1-201-女)+(-2+呗皿)«
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■-.2,(會由)*“・八2井
210
所如在点F4—2〕滴足盘盘一*]分
第29题:
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