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基本初等函数
第六讲
基本初等函数
一、知识和数学思想梳理:
1.指数式和对数式:
①根式概念;②分数指数幂;③指数幂的运算性质;④对数概念;⑤对数运算性质;⑥指数和对数的互化关系;
2.指数函数:
①指数函数的概念;②指数函数的图象与性质;③指数函数图象变换;④指数函数性质的应用(单调性、指数不等式和方程);
3.对数函数:
①对数函数的概念;②对数函数的图象与性质;③对数函数图象变换;④对数函数性质的应用(单调性、指数不等式和方程);
4.解指数不等式、指数方程、对数不等式、对数方程,先要化同底,即
,
,
;
5.要明确区分指数函数、对数函数与指数型函数、对数型函数;
6.反函数:
①反函数概念;②互为反函数定义域和值域的关系;③求反函数的步骤;④互为反函数图象的关系;
7.函数应用:
①解应用题的基本步骤;②几种常见函数模型(一次型、二次型、指数型(利息计算)、几何模型、物理和生活实际应用型);
8.学会灵活应用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决问题。
二、典型示例
(一)函数定义域和值域
例1.求下列函数的定义域
(1)(2010湖北文)函数的定义域为()
(A).(,1)(B)(,∞)(C)(1,+∞)(D).(,1)∪(1,+∞)
(2)已知,求的定义域
例2.求下列各函数的值域
(1)、(2010重庆文数)已知,则函数的最小值为____________.
(2)(2010湖北文)已知函数,则
(A).4(B).(C).-4(D)-
(二)求下列函数的增区间
例3.
(1)
(2)
(三)函数奇偶性
例4.1、(2010山东理4)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=+2x+b(b为常数),则f(-1)=()(A)3(B)1(C-1(D)-3
2、(2010江苏卷)设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=________________
(四)指对数函数
例5.
(1)(2010辽宁文)设,且,则
(A)(B)10(C)20(D)100
(2)(2010安徽文)设,则a,b,c的大小关系是
(A)a>c>b(B)a>b>c(C)c>a>b(D)b>c>a
(3).已知f(x)=-x+log2.
(1)求f()+f(-)的值;
(2)当x∈(-a,a](其中a∈(0,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由.
(五)函数与方程
例6
(1)(2010上海文)若是方程式的解,则属于区间()
(A)(0,1).(B)(1,1.25).(C)(1.25,1.75)(D)(1.75,2)
(2)(2010浙江文)(9)已知x是函数f(x)=2x+的一个零点.若∈(1,),
∈(,+),则(A)f()<0,f()<0(B)f()<0,f()>0
(C)f()>0,f()<0(D)f()>0,f()>0
(3)(2010天津文)(4)函数f(x)=
(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)
(六)函数综合
例7.
(1)已知x满足,函数y=
的值域为,求a的值
(2)如图,A,B,C为函数的图象
上的三点,它们的横坐标分别是t,t+2,t+4(t1).
(1)设ABC的面积为S求S=f(t);
(2)判断函数S=f(t)的单调性;
(3)求S=f(t)的最大值.
三、巩固并提高
1.(湖南卷)f(x)=的定义域为;
2.(江苏卷)函数的定义域为;
3.(2006年广东卷)函数的定义域是;
4.(2010陕西文)13.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a=;
5.(2010山东文)(3)函数的值域为();
A.B.C.D.
6.(2010天津理数)(16)设函数,对任意,恒成立,则实数的取值范围是;
7.(2010山东理)函数y=2x-的图像大致是
8.已知,求;
9.若在区间递减,求取值范围;
10.(2010山东文)设为定义在上的奇函数,当时,f(x)=+2x-b(为常数),则(A)-3(B)-1(C)1(D)3
11.(2010天津文)(6)设
(A)a 12.(2010天津理)若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 (A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞)(D)(-∞,-1)∪(0,1) 13.(2010四川理)(3)2log510+log50.25=(A)0(B)1(C)2(D)4 14.(2010天津理) (2)函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 15.(2010福建文)7.函数的零点个数为() (A).3(B).2(C).1(D).0 16.已知函数f(x)=x+x-2. (1)判断函数f(x)的单调性; (2)求函数的值域;(3)解方程f(x)=0;(4)解不等式f(x)>0. 17.已知函数的反函数为,. (1)若,求的取值范围D; (2)设函数,当D时,求函数的值域. 函数专题复习教师版 知识梳理: 1、函数: ①函数概念;②三要素;③映射概念 2、函数的单调性: ①定义;②判断证明单调性方法;(定义法;图象法;复合函数单调性;)③单调性性应用;(解(证)不等式;比较大小;求函数的值域和最值) 3、反函数: ①反函数概念;②互为反函数定义域和值域的关系;③求反函数的步骤;④互为反函数图象的关系。 4、指数式和对数式: ①根式概念;②分数指数幂;③指数幂的运算性质;④对数概念;⑤对数运算性质;⑥指数和对数的互化关系。 5、指数函数: ①指数函数的概念;②指数函数的图象与性质;③指数函数图象变换;④指数函数性质的应用(单调性、指数不等式和方程)。 6、对数函数: ①对数函数的概念;②对数函数的图象与性质;③对数函数图象变换;④对数函数性质的应用(单调性、指数不等式和方程)。 7、函数应用: ①解应用题的基本步骤;②几种常见函数模型(一次型、二次型、指数型(利息计算)、几何模型、物理和生活实际应用型) 典型示例 (二)函数定义域和值域 【例1】求下列函数的定义域 (1)(2010广东文)函数的定义域是(B) A.B.C.D. (2)(2010湖北文)函数的定义域为()A A.(,1)B(,∞)C(1,+∞)D.(,1)∪(1,+∞) (3)(2010广东理)9.函数=lg(-2)的定义域是. 答案(1,+∞).【解析】∵,∴. (4)已知,求的定义域() 【变式】1、(湖南卷)f(x)=(-∞,0] ) 2、(江苏卷)函数的定义域为 3、(2006年广东卷)函数的定义域是 【例2】求下列各函数的值域 1、(2010重庆文数)(4)函数的值域是 (A)(B)(C)(D) 答案B解析: 2、(2010重庆文数)(12)已知,则函数的最小值为____________. 答案-2解析: ,当且仅当时, 3、(2010湖北文)3.已知函数,则 A.4B.C.-4D- 【答案】B【解析】根据分段函数可得,则, 【变式】1、(2010陕西文)13.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a=. 答案2【解析】f(0)=2,f(f(0))=f (2)=4+2a=4a,所以a=2 2、(2010山东文)(3)函数的值域为(A) A.B.C.D. 3、(2010天津理数)(16)设函数,对任意,恒成立,则实数的取值范围是. 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 依据题意得在上恒定成立,即在上恒成立。 当时函数取得最小值,所以,即,解得或 (三)函数的表达式 【例3】 (1)(04湖北卷)已知,求 解: (1)令 (2)函数的图象 A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称 答案D解析: 是偶函数,图像关于y轴对称 【变式】1、(2010山东理)(11)函数y=2x-的图像大致是 【答案】A【解析】因为当x=2或4时,2x-=0,所以排除B、C;当x=-2时,2x-=,故排除D,所以选A。 (2)已知,求() (三)求下列函数的增区间 【例4】 (1) (2) 答案: (1)∴ (2)作图 ∴ 【变式】若在区间递减,求取值范围。 解: ①,成立 ②∴ (四)函数奇偶性 【例5】1、(2010山东理4)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=+2x+b(b为常数),则f(-1)=()(A)3(B)1(C)-1(D)-3 2、(2010江苏卷)5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=________________ 答案a=-1【解析】考查函数的奇偶性的知识。 g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。 【变式】(2010山东文)(5)设为定义在上的奇函数,当时,f(x)=+2x-b(为常数),则A (A)-3(B)-1(C)1(D)3 (五)指对数函数 【例6】1、(2010辽宁文)(10)设,且,则 (A)(B)10(C)20(D)100 答案A【解析】选A.又 2、(2010安徽文)(7)设,则a,b,c的大小关系是 (A)a>c>b(B)a>b>c(C)c>a>b(D)b>c>a 答案A【解析】在时是增函数,所以,在时是减函数,所以。 3、(2010全国卷1文)(7)已知函数.若且,,则的取值范围是 (A)(B)(C)(D) 【解析】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或,所以a+b= 又0f (1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).答案C 【变式】1、(2010天津文)(6)设 (A)a 【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法,属于容易题。 因为答案D 2、(2010天津理)(8)若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 (A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞) (C)(-1,0)∪(1,+∞)(D)(-∞,-1)∪(0,1) 【答案】C【解析】由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论。 [ 3、(2010四川理)(3)2log510+log50.25= (A)0(B)1(C)2(D)4 解析: 2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2答案C (六)函数与方程 【例7】1、(2010上海文)17.若是方程式的解,则属于区间() (A)(0,1).(B)(1,1.25).(C)(1.25,1.75)(D)(1.75,2) 答案D【解析】 知属于区间(1.75,2) 2、(2010浙江文
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