上海市静安区中考数学一模试题有答案精析文档格式.docx
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三、解答题(共78分)
19.计算:
.
20.解方程组:
21.已知:
如图,第一象限内的点A,B在反比例函数的图象上,点C在y轴上,BC∥x轴,点A的坐标为(2,4),且cot∠ACB=
求:
(1)反比例函数的解析式;
(2)点C的坐标;
(3)∠ABC的余弦值.
22.将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°
(如图1),侧面示意图为图2;
使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.
(1)求点O′的高度O′C;
(精确到0.1cm)
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?
(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?
参考数据:
(sin65°
=0.906,cos65°
=0.423,tan65°
=2.146.cot65°
=0.446)
23.已知:
如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE
(1)求证:
DE•AB=AC•BE;
(2)如果AC2=AD•AB,求证:
AE=AC.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上,点D在此抛物线上,CD⊥x轴,且∠DCB=∠DAB,AB与CD相交于点E.
△BDE∽△CAE;
(2)已知OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.
25.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AC=BC,点E在DC的延长线上,∠BEC=∠ACB,已知BC=9,cos∠ABC=.
BC2=CD•BE;
(2)设AD=x,CE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果△DBC∽△DEB,求CE的长.
参考答案与试题解析
【考点】分数指数幂;
负整数指数幂.
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数,分数指数幂,可得答案.
【解答】解:
a===,
故选:
C.
【考点】实数范围内分解因式.
【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可.
A、原式不能分解;
B、原式=(x+y)2﹣2=(x+y+)(x+y﹣);
C、原式=(x+y)(x﹣y)+4(x+y)=(x+y)(x﹣y+4);
D、原式=x2﹣(y﹣2)2=(x+y﹣2)(x﹣y+2),
故选A
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】先求出比例式,再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC,根据相似推出∠ADE=∠B,根据平行线的判定得出即可
只有选项D正确,
理由是:
∵AD=2,BD=4,=,
∴==,
∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC,
故选D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】根据余角函数是邻边比斜边,可得答案.
由题意,得
cosA=,
AC=AB•cosA=m•cosα,
B.
【考点】锐角三角函数的增减性.
【分析】正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),可得答案.
由<<,得
30°
,
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律,易得点A′的坐标.
∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是(0,﹣1),抛物线y=a(x﹣1)2的顶点坐标是(1,0),
∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到抛物线y=a(x﹣1)2,
∴将点A(2,3)向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到点A′的坐标为(3,4),
A.
7.16的平方根是 ±
4 .
【考点】平方根.
【分析】根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题.
∵(±
4)2=16,
∴16的平方根是±
4.
故答案为:
±
8.如果代数式有意义,那么x的取值范围为 x>﹣2 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式即可.
由题意得,x+2>0,
解得,x>﹣2,
x>﹣2.
9.方程+=1的根为 x=2 .
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
去分母得:
x﹣5+2x+2=x2﹣1,
整理得:
x2﹣3x+2=0,即(x﹣2)(x﹣1)=0,
解得:
x=1或x=2,
经检验x=1是增根,分式方程的解为x=2,
x=2
10.如果一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么常数m的取值范围为 m<2 .
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】根据一次函数的性质,一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么图象一定与y轴的负半轴有交点,即可解答.
∵一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,
∴图象一定与y轴的负半轴有交点,
∴m﹣2<0,
∴m<2,
m<2.
11.二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是 (4,﹣6) .
【考点】二次函数的性质.
【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标.
∵y=2x2﹣8x+10=2(x﹣4)2﹣6,
∴顶点坐标为(4,﹣6),
(4,﹣6).
12.如果点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,那么m的值为 3 .
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称,可得答案.
由点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,得
(﹣1,4)与(m,4)关于对称轴x=1对称,
m﹣1=1﹣(﹣1),
解得m=3,
3.
4,那么△ABC与△DEF的面积比为 1:
16 .
【考点】相似三角形的性质.
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论.
∵△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:
4,
∴△ABC与△DEF的面积比=()2=1:
16.
1:
14.在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB=,那么△ABC的重心到底边的距离为 2 .
【考点】三角形的重心;
等腰三角形的性质;
解直角三角形.
【分析】根据等腰三角形的三线合一,知三角形的重心在BC边的高上.根据勾股定理求得该高,再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍,求得G到BC的距离.
∵AB=AC=10,
∴△ABC是等腰三角形
∴三角形的重心G在BC边的高
∵cosB=,
∴在BC边的高=6,
根据三角形的重心性质
∴G到BC的距离是2.
2
15.已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点F,设=,=,那么= ﹣ (用,的式子表示)
【考点】*平面向量;
平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC,再证△ADF∽△CEF得=,根据==﹣=﹣()可得答案.
∵四边形ABCD是平行四边形,点E是边BC的中点,
∴BC∥AD,BC=AD=2EC,
∴△ADF∽△CEF,,
∴==2,
则=,
∴=
=﹣
=﹣()
=﹣(+)
=﹣,
﹣.
【分析】根据题意画出图形,根据相似三角形的性质求出DE及AE的长,进而可得出结论.
如图,∵△ADE∽△ABC,
∴==,即==,解得DE=,AE=,
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=;
AE等于 3:
2 .
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】由DE∥BC,推出∠EDC=∠BCD,=,由△BDC∽△CED,推出===,由此即可解决问题.
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠BCD,=
∵∠BDC=∠DEC,
∴△BDC∽△CED,
∴===,
∴=.
故答案为3:
2.
,AB=24,tanB=(如图),将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合,那么折痕的长为 13 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】根据直角三角形的性质求出CD,得到∠DCB=∠B,根据垂直的定义、等量代换得到∠OEC=∠B,根据正切的定义、勾股定理计算即可.
∵CD是斜边AB上的中线,
∴DC=DB=AB=12,
∴∠DCB=∠B,
由题意得,EF是CD的垂直平分线,
∴∠OEC+∠OCE=90°
,又∠DCB+∠OCE=90°
∴∠OEC=∠B,
设CF=2x,则CE=3x,
由勾股定理得,EF=x,
×
2x×
3x=×
x×
6,
解得,x=,
∴EF=×
=13,
13.
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案.
原式=
=
=.
【考点】高次方程.
【分析】由②得出x﹣3y=±
2,由①得出x(x﹣y+2)=0,组成四个方程组,求出方程组的解即可.
由②得:
(x﹣3y)2=4,
x﹣3y=±
2,
由①得:
x(x﹣y+2)=0,
x=0,x﹣y+2=0,
原方程组可以化为:
,,,,
解得,原方程组的解为:
,,,.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式;
【分析】
(1)待定系数法求解可得;
(2)作AE⊥x轴于点E,AE与BC交于点F,则CF=2,根据cot∠ACB==得AF=3,即可知EF,从而得出答案;
(3)先求出点B的坐标.继而由勾股定理得出AB的长,最后由三角函数可得答案.
(1)设反比例函数解析式为y=,
将点A(2,4)代入,得:
k=8,
∴反比例函数的解析式y=;
(2)过点A作AE⊥x轴于点E,AE与BC交于点F,则CF=2,
∵cot∠ACB==,
∴AF=3,
∴EF=1,
∴点C的坐标为(0,1);
(3)当y=1时,由1=可得x=8,
∴点B的坐标为(1,8),
∴BF=BC﹣CF=6,
∴AB==3,
∴cos∠ABC===.
【考点】解直角三角形的应用.
(1)解直角三角形即可得到结论;
(2)如图2,过B作BD⊥AO交AO的延长线于D,根据三角函数的定义即可得到结论;
(3)如图4,过O′作EF∥OB交AC于E,根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°
,于是得到结论.
(1)∵B′O′⊥OA,垂足为C,∠AO′B=115°
∴∠AO′C=65°
∵cos∠CO′A=,
∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°
=8.46≈8.5(cm);
(2)如图2,过B作BD⊥AO交AO的延长线于D,
∵∠AOB=115°
∴∠BOD=65°
∵sin∠BOD=,
∴BD=OB•sin∠BOD=20×
sin65°
=18.12,
∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3(cm),
∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm;
(3)如图4,过O′作EF∥OB交AC于E,
∴∠FEA=∠BOA=115°
∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°
﹣90°
=25°
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度.
(1)由BA•BD=BC•BE得,结合∠B=∠B,证△ABC∽△EBD得,即可得证;
(2)先根据AC2=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B,再由证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD,根据∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE,即可得证.
【解答】证明:
(1)∵BA•BD=BC•BE,
∴,
又∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△EBD,
∴DE•AB=AC•BE;
(2)∵AC2=AD•AB,
∵∠DAC=∠CAB,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠ACD=∠B,
∵,∠B=∠B,
∴△BAE∽△BCD,
∴∠BAE=∠BCD,
∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD,
∴∠AEC=∠ACE,
∴AE=AC.
【考点】二次函数综合题.
(1)根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA,根据相似三角形的性质定理得到=,根据相似三角形的判定定理证明即可;
(2)设AC=m,根据正切的定义得到DC=3m,根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°
,根据勾股定理列出算式,求出m的值,利用待定系数法求出抛物线的解析式.
【解答】
(1)证明:
∵∠DCB=∠DAB,∠BEC=∠DEA,
∴△BEC∽△DEA,
∴=,又∠BED=∠CEA,
∴△BDE∽△CAE;
(2)解:
∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B,
∴点B的坐标为(0,4),即OB=4,
∵tan∠DAC=3,
∴=3,
设AC=m,则DC=3m,OA=m+2,
则点A的坐标为(m+2,0),点D的坐标为(2,3m),
∵△BDE∽△CAE,
∴∠DBA=∠DCA=90°
∴BD2+BC2=AD2,即22+(3m﹣4)2+(m+2)2+42=m2+(3m)2,
解得,m=2,
则点A的坐标为(4,0),点D的坐标为(2,6),
解得,,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4.
【考点】相似形综合题.
(1)只要证明△DAC∽△CEB,得到=,再根据题意AC=BC,即可证明.
(2)过点C作CF⊥AB于F,AG⊥BC于G,DH⊥BC于H.由△CEB∽△DAC,得=,由此即可解决问题.
(3)首先证明四边形ABCD是等腰梯形,再证明△ABG≌△DCH,推出CH=BG=2,推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5,再利用
(2)中即可即可解决问题.
(1)∵∠DCB=∠ACD+∠ACB,∠DCB=∠EBC+∠BEC,∠ACB=∠BEC,
∴∠ACD=∠EBC,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=∠CEB,
∴△DAC∽△CEB,
∴=,
∴BC•AC=CD•BE,
∵AC=BC,
∴BC2=CD•BF.
(2)过点C作CF⊥AB于F,AG⊥BC于G,DH⊥BC于H.
在Rt△CBF中,BF=BC•cos∠ABC=9×
=3,
∴AB=6,
在Rt△ABG中,BG=AB•cos∠ABC=6×
=2,
∵AD∥BC,DH=AG,
∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32,
∵AG∥DH,
∴GH=AD=x,
∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x,
∴CD===,
∵△CEB∽△DAC,
∴y=,
∴y=(x>0且x≠9).
(3)∵△DBC∽△DEB,∠CDB=∠BDE,∠CBD<∠DBC,
∴∠DBC=∠DEB=∠ACB,
∴OB=OC,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,
∵∠AGB=∠DHC=90°
∴△ABG≌△DCH,
∴CH=BG=2,
∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5.
∴CE=y=.
2020年2月12日
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