第7讲不定积分.docx
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第7讲不定积分
第8讲不定积分内容精要
1.原函数:
设f(X)在I上连续,如果存在一个F(x),使得F'(X)=f(X)或者dF(x)=f(x)dx,则称F(x)
为f(x)的一个原函数。
注意:
①存在性:
连续函数存在原函数,且连续函数的原函数也是连续函数;
②无穷多性:
如果F(x)是f(x)的一个原函数,那么F(x)+c仍是f(x)的原函数。
2.不定积分:
如果F(x)是f(x)的一个原函数,则称F(x)+c是f(x)的不定积分,用记号Jf(x)dx表示。
即Jf(x)dx=F(x)+C°
3.积分与微分的关系
①2(ff(x)dx)=f(x);dx‘
4.不定积分的性质
①[Jkf(x)dx=kJf(x)dx;②J[f(X)+g(x)]dx=Jf(x)dx+Jg(x)dx°
5.基本积分表
Jkdx=kx+C
=——十+C,(aH-1)
•ot+1
1
J-dx=lnx+C
•X
X
JaXdX孟+C
Jsinxdx=cosx+C
Jcosxdx=—sinx+C
2
Jsecxdx=tanx+C
2
Jcscxdx=-cotx+C
Jsecxtanxdx=secx+C
Jcscxcotxdx=-cotX+C
1
f2dx=arctanx+C
'1+x
第一类换元法主要用于Jf(x)dx不易计算,而Jg(®(x))d®(x)=Jg(u)du容易求出的情形。
7.第二类换元法
设X=^(t)单调可微,且0(t)H0,若Jfh(t)4(t)dt=F(t)+C,则
Jf(x)dx=F
第二类换元法主要用于Jf(x)dx不易计算,而Jf(®(x))®'(t)dt=Jh(t)dt容易求出的情形。
8.分部积分法
Judv=uv-fvdu
9.有理函数的积分
有理函数的积分,关键是将真分式分解成几个部分分式之和,首先要正确地写出部分分式的形式,然后确
定系数,应该注意:
分母分解成一次因式与二次质因式的乘积后,若分母中含有因子
k
(x+a),则部分分
式中应有k项
A1+A2+…+Ak
(x+a)k(x+a)2x+a
若分母中含有因子(x?
+px+q)s,则部分分式中应有s项
M1X+N1十M2X+N2十…+Msx+Ns(X2+px+q)s(X2+px+q)s°x2+px+q
10.三角有理函数的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之三角有理函数.一般记为
R(sinx,cosx)
x
令^tan-,x曲如u,则有
o
2u1—u
sinx=,cosx=,dx
1+u21+u2
=」^du
1+u2
fR(sinx,cosx)dx=
•.11+u
1-u2”
1+u2丿
典型例题
题型1:
有关不定积分概念及性质的命题
例1:
设函数f(x)的一个原函数为
sin(2x+1),则f\x)=()
(A)2cos(2x+l)
(B)—2cos(2x+1)
解:
由题意可知[sin(2x+1)]'=f(X),即f(X)=2cos(2x+1)
所以f(X)=/sin(2x+1),故选D。
例2:
设函数f(x)有连续导数,则[f'(3x)dx等于()
(C)f(3x)+C
11
解:
Jf'(3x)dx=-Jf'(3x)d(3x)=-f(3x)+C,故选B.
33
题型2:
分段函数不定积分的计算
11Ovx<1
例1:
设f'(lnx)=「■,及f(0)=1,求f(x).
X,Xa1
「1t<0
解:
设|nx=t,x』于是原式变为5和,二0所以,当t<0时,f(t)=Jf(t)dt=J1dt=t+G.
当t>0时,f(t)=Jf'(t)dt=Jddt=6+C2.
由于f(t)=Jf'tdt=jddt=6+C2在(w,兄)内连续(包括t=0),所以其原函数f(x)在
(Y,P)内存在且连续,由f(x)在t=0连续,有imf⑴二!
imf(t)二f(0),而f(0)=1,
即得
C1=1+C2=1.
故得
C1=1,C2=0.
所以
lx+1,Xf(x)門X、
题型3:
利用第一换元法计算不定积分
x
<0
解:
fcosxf(sinx)dx=Jf(sinx)d(sinx)=F(sinx)+C,故选B.
1
例2:
设F(x)是f(x)的一个原函数,则Jf(lnx)dx=()
X
解:
1
f-f(lnx)dx=ff(lnx)d(lnx)=F(lnx)+C,故选B.、x、
1
求不定积分J^dx.
=-e」—x+ln(1+eX)+C
1
1+x
313
cosX)+C=-cosx+—cosX+C
3
Jf(arctanx)—dx=Jf(arctanx)darctanx
小结:
一般地,对于正的奇数n,jsinnxdx和Jcosnxdx都采用类似的方法计算。
例6:
求不定积分Jcos4xdx
解:
因为cos4X=(cos2X)2=(2
1中cos2x)2=1(cos22x+2cos2x+1)
4
1,1+cos4x丄cc丄八1,丄1c丄3
+2cos2x+1)=—cos4x+—cos2x+828
蔦(—2
所以
[cos4xdx=!
-8
1
Jcos4xdx+-
3113
fcos2xdx+-fdx+C=——sin4x+-sin2x+—x+C‘8‘3248
小结:
一般地,
对于正的偶数
n,fsinnxdx和Jcosnxdx都采用类似的方法计算。
例7:
求不定积分Jx'J4-x2dx
)-4]j4-x2d(4-x2)
解:
JxJ4一X2dx=1Jx2J4—x2d(x2)=1J(4-X2
=1j[(4—x2)3/2一4(4—X2)2]d(4—X2)
题型4:
利用第二换元积分法求不定积分
(I)三角换元
原理:
利用公式
sin2X+cos2X=1,
22
1+tanx=secx去根式;
对象:
被积函数
f(x)含有Ja2-X2
JI
令X=asint,t亡(0,—)
2
被积函数
f(x)含有Ja2+X2
兀
令X=atant,t€(0,—)
2
被积函数
f(x)含有Jx2-a2,令X=asect,t忘(0,二)
2
dx
例1:
求不定积分J
x2Jx2-4
兀
解:
令X=2sect,0Ctc—
dx
2
X
解:
设X=2sint,取t=arcsin-,贝U
2
fXJ4—X2dx=f(2sint)32cost^Zcostdt=32Jsin3tcos2tdt
2222
=-32fsintcostd(cost)=J2J(1—cos)costd(cost)
24costcost
=-32Hcos2t-cost)d(cost)=-32(——
3
「174
=£2-(—
L3
=_4(4-x2)3/2+-(4-x2)5/2+C
35
(n)简单无理函数的代换
原理:
把无理函数的积分变成有理函数的积分对象:
被积函数f(X)含有』竺竺,令4竺竺=t
Vcx+dVcx+d
1
例1:
求不定积分J.dx.
J1+依
1dx咅j^dt"—2dt
x=t2'J1+t、V1+t
(川)指数代换
原理:
令e'X=t,
则令含有e)x根式整体为t。
解:
令eX=t,则X=1nt,
例1:
求不定积分rdx
'1+eX
1
dx=-dtt
111
一严訥1+t)-|nt+C=|n(1+eX)-x+C
当X>0时,有
2-X
1
2a2
当Xco时,有相同的结果。
解:
令x=l,当心时,”1
dx
JR
被积函数f(x)含有arcsinx,又含有〒^=,则令arcsinx=t,从而x=sint;
求不定积分rarcsinxdx
解:
令arcsinx=t,贝Ux=sint,于是
x2J1-x2
arcsinxd^—costdt=ftesctdt
'sintcost
=-Jtd(cott)=-(tcott—Jcottdt)=—tcott+lnsint+C
arcsinx+lnx+C
解:
令arctanx=t,贝Ux=tant,于是
t2
=ttant-伽tdt-2
(I)直接利用分部积分
u,其余为dv;
u,其余为dv;
u,其余为dv;
选取反三角函数为u,其余为dv;
对象:
当被积函数为幕函数与三角函数之积时,选取幕函数为当被积函数为幕函数与指数函数之积时,选取幕函数为当被积函数为幕函数与对数函数之积时,选取对数函数为当被积函数为幕函数与反三角函数之积时,
例1:
求不定积分Jxtan2xdx
22212
解:
fxtanxdx=J(xsecX-x)dx=JxsecxdxX
12,_i12
=Jxd(tanx—^x=xtanx-Jtanxdx-^x
12
=xtanx+lnlcosxl-^x+C
例2:
求不定积分Jxe^dx解:
Jxe」dx=-fxde^=-xe」+Je^dx=-xe」一Je^d—x)
=一xe」一e」+C=-(X+1)e」+C
I3
求不定积分J巴Jdx
、x
解:
兽dx=-[In3xd(1^--ln3x+34ln2xdx
X,XX,
11
=-—In3X-3JIn2xd(-)=-
XX
1.3
1,33,-lnx——ln
xx
=—^ln3X-3ln2X-6Jlnxd
(1)
xxX
=-丄1n3x-3ln2x-6lnx+6f2dx
XXX‘X
1.33.26.6,.
=一一InX--lnx-—|nx--+C
XX
=-^(ln3x+3ln2
X
x+6lnx+6)+C
x+6f丄Inxdx
•x
求不定积分J(arcsinx)2dx
dx
1解:
f(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-fx'2arcsinx
-x
V1
=x(arcsinx)2
+2farcsinxdJi-x2
=x(arcsinx)2
+2/—X2arcsinx-2JJ1-x
1
J1-X2
dx
=x(arcsinx)2
=x(arcsin
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- 不定积分