最新高中数学圆锥曲线知识点总结优秀名师资料文档格式.docx
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,-);
22
当D2+E2-4F,0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则,MC,,r?
点M在圆C内,,MC,=r?
点M在圆C上,,MC,,r?
点M在圆C内,其中,MC,=(x0-a)2?
(y0-b)2。
(4)直线和圆的位置关系:
直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与
-1-
圆相交?
有两个公共点;
直线与圆相切?
有一个公共点;
直线与圆相离?
没有公共点。
直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;
(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d?
Aa?
Bb?
CA?
B
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0,e,1时,轨迹为椭圆;
当e=1时,轨迹为抛物线;
当e,1时,轨迹为双曲线。
-2-
【备注1】双曲线:
-3-
等轴双曲线:
双曲线x2?
y2?
a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y?
x,离心率e?
2.
共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲
x2y2x2y2
线的共轭双曲线.2?
2?
与2?
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
abab
x2a
y2b
0.
共渐近线的双曲线系方程:
(?
0)的渐近线方程为
0如果双曲线的
x2y2xy
渐近线为?
0时,它的双曲线方程可设为2?
0).
【备注2】抛物线:
(1)抛物线y2=2px(p&
gt;
0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向
右;
抛物线y2=-2px(p&
0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,开口向左;
抛物线x2=2py(p&
0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=-,开口向上;
抛物线x2=-2py(p&
0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下.
(2)抛物线y2=2px(p&
0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?
x0?
;
抛物线
y2=-2px(p&
p
x02
p2
p2p2
(3)设抛物线的标准方程为y2=2px(p&
0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p.
(4)已知过抛物线y2=2px(p&
0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长AB=x1?
x2+p或AB?
p2p
倾斜角),y1y2?
p,x1x2?
AF?
x1?
(AF叫做焦半径).
42
2p
(α为直线AB的sin2?
五、坐标的变换:
-4-
(1)坐标变换:
在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
(2)坐标轴的平移:
坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
(3)坐标轴的平移公式:
M,xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x′O′y′中的坐标是(x&
#39;
y&
.O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则
x?
x&
hy?
y&
k
或
hy&
y?
叫做平移(或移轴)公式.
(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
-5-
六、椭圆的常用结论:
1.点P处的切线PT平分?
PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分?
PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
xxyyx2y2
5.若P0(x0,y0)在椭圆2?
1上,则过P0的椭圆的切线方程是02?
02?
1.
x2y2
6.若P0(x0,y0)在椭圆2?
1外,则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦
ab
P1P2的直线方程是
x0xy0y
1.a2b
7.椭圆2?
1(a,b,0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点
F1PF2?
,则椭圆的焦点角形的面积为S?
b2tan
8.椭圆2?
1(a,b,0)的焦半径公式
.
|MF1|?
a?
ex0,|MF2|?
ex0(F1(?
c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF?
NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF?
x2y2b2
11.AB是椭圆2?
1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM?
kAB?
2,
aba
即KAB
b2x0
2。
ay0
12.若P0(x0,y0)在椭圆2?
1内,则被Po所平分的中点弦的方程是
abx0xy0yx02y02
2;
2abab
-6-
【推论】:
x2y2x2y2x0xy0y1、若P0(x0,y0)在椭圆2?
1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是2?
abababx2y2
椭圆2?
1(a,b,o)的两个顶点为A1(?
a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆
abx2y2
于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?
2、过椭圆2?
1(a,0,b,0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交
椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且kBC
2(常数).ay0
3、若P为椭圆2?
1(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,
PF1F2?
?
PF2F1?
,则
c?
tancot.a?
c22
4、设椭圆2?
1(a,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任
意一点,在?
PF1F2中,记?
F1F2P?
,则有
sin?
c
e.
a
5、若椭圆2?
1(a,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0,e
1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6、P为椭圆2?
1(a,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则
2a?
|AF2|?
|PA|?
|PF1|?
|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.
(x?
x0)2(y?
y0)2
1与直线Ax?
By?
C?
0有公共点的充要条件是7、椭圆a2b2
A2a2?
B2b2?
(Ax0?
By0?
C)2.
8、已知椭圆2?
1(a,b,0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP?
OQ.
ab4a2b2111122?
(2)|OP|+|OQ|的最大值为22;
(3)S?
OPQ的最小值
(1)
b|OP|2|OQ|2a2b2a2b2
是22.a?
b
-7-
x2y29、过椭圆2?
1(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MNab
的垂直平分线交x轴于P,则|PF|e?
.|MN|2
x2y210、已知椭圆2?
1(a,b,0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分ab
a2?
b2a2?
b2
线与x轴相交于点P(x0,0),则?
.aa
x2y211、设P点是椭圆2?
1(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点ab
2b2记?
,则
(1)|PF1||PF2|?
.
(2)S?
b2tan.21?
cos?
PAB?
12、设A、B是椭圆2?
1(a,b,0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,ab
2ab2|cos?
|?
PBA?
BPA?
,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有
(1)|PA|?
222.
(2)a?
ccos?
tan?
1?
e.(3)S?
PAB22a2b2?
2cot?
.2b?
x2y213、已知椭圆2?
1(a,b,0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的ab
直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC?
x轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
-8-
七、双曲线的常用结论:
1、点P处的切线PT平分?
PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分?
PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴
为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:
P在右支;
外切:
P在左支)
x2y25、若P0(x0,y0)在双曲线2?
1(a,0,b,0)上,则过P0的双曲线的切线方程是ab
x0xy0y?
x2y26、若P0(x0,y0)在双曲线2?
1(a,0,b,0)外,则过Po作双曲线的两条切线切ab
点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0xy0y?
x2y27、双曲线2?
1(a,0,b,o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意ab
一点?
,则双曲线的焦点角形的面积为S?
FPF?
b2cot.12?
x2y28、双曲线2?
1(a,0,b,o)的焦半径公式:
(F1(?
c,0),F2(c,0))当M(x0,y0)在ab
右支上时,|MF1|?
ex0?
a,|MF2|?
a;
当M(x0,y0)在左支上时,
a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N
两点,则MF?
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶
点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF?
x2y211、AB是双曲线2?
1(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中ab
点,则KOM?
KAB
b2x0b2x0?
2,即KAB?
ay0ay0-9-
x2y212、若P0(x0,y0)在双曲线2?
1(a,0,b,0)内,则被Po所平分的中点弦的方程ab
x0xy0yx02y02是2?
2.abab
x2y213、若P0(x0,y0)在双曲线2?
1(a,0,b,0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是ab
x2y2x0xy0y?
2.2abab
x2y21、双曲线2?
1(a,0,b,0)的两个顶点为A1(?
a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线ab
x2y2交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?
1.ab
x2y22、过双曲线2?
1(a,0,b,o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线ab
交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBCb2x0?
x2y23、若P为双曲线2?
1(a,0,b,0)右(或左)支上除顶点外的
任一点,F1,F2ab
是焦点,?
,则c?
tancot(或?
tancot).c?
a22c?
a22
x2y24、设双曲线2?
1(a,0,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲ab
线上任意一点,在?
e.?
(sin?
)a
x2y25、若双曲线2?
1(a,0,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当ab
1,e
1时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为双曲线2?
1(a,0,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定ab
点,则|AF2|?
|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号-10-
成立.
1(a,0,b,0)与直线Ax?
0有公共点的充要条件是ab
C2.
x2y28、已知双曲线2?
1(b,a,0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且ab
OP?
4a2b2111122
(1);
OPQ的最小值?
(2)|OP|+|OQ|的最小值为2b?
a2|OP|2|OQ|2a2b2
a2b2是22.b?
x2y29、过双曲线2?
1(a,0,b,0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两ab
点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则|PF|e?
x2y210、已知双曲线2?
1(a,0,b,0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平ab
b2分线与x轴相交于点P(x0,0),则x0?
或x0?
a,0,b,0)上异于实轴端点的任一x2y211、设P点是双曲线2?
1(
点,F1、F2为其焦ab
2b2点记?
b2cot.21?
x2y212、设A、B是双曲线2?
1(a,0,b,0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,ab
,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有2ab2|cos?
|
(1)|PA|?
222.|a?
|
(2)tan?
x2y213、已知双曲线2?
1(a,0,b,0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦ab
点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC?
x轴,则直线AC经-11-
过线段EF的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.八、抛物线的常用结论:
4ac?
b2b
).?
ay?
by?
x顶点(
4a2a
2px(p?
0)则焦点半径PF?
P;
x2?
2py(p?
0)则焦点半径为PF?
P
通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法,并能正确计算;
能根据具体问题,估计运算的结果;
初步学会应用加减法解决生活中简单问题,感受加减法与日常生活的密切联系。
2pt2
③弓形:
弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
2px(或x?
2py)的参数方程为?
3.确定二次函数的表达式:
(待定系数法)?
2pt
(1)一般式:
1、熟练计算20以内的退位减法。
(或?
②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。
4、根据学生的知识缺漏,有目的、有计划地进行补缺补漏。
①互余关系sinA=cos(90°
-A)、cosA=sin(90°
-A))(t为参数).
-12-
-13-
-14-
圆锥曲线的性质对比
1、第一单元“加与减
(一)”。
是学习20以内的退位减法,降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。
退位减法是一个难点,学生掌握比较慢,但同时也是今后竖式减法的重点所在。
所以在介绍的:
数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器……这些方法中,孩子们喜欢用什么方法不统一要求,自己怎么快怎么算,但是要介绍这些方法。
-15-
一年级有学生人,通过师生一学期的共同努力,绝大部分部分上课能够专心听讲,积极思考并回答老师提出的问题,下课能够按要求完成作业,具有一定基础的学习习惯,但是也有一部分学生的学习习惯较差,学生上课纪律松懈,精力不集中,思想经常开小差,喜欢随意讲话,作业不能及时完成,经常拖拉作业,以致学习成绩较差,还需要在新学期里多和家长取得联系,共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。
-16-
- 配套讲稿:
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