三角函数的图象和性质典型例题Word格式.docx
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解:
在单位圆中,作出锐角α在正弦线MP,如图2-9所示
在△MPO中,MP+OM>OP=1即MP+OM>1
∴sinα+cosα>1
于P1,P2两点,过P1,P2分别作P1M1⊥x轴,P2M2⊥x轴,垂足分
k∈Z}
【说明】
学会利用单位圆求解三角函数的一些问题,借助单位圆求解不等式的一般方法是:
①用边界值定出角的终边位置;
②根据不等式定出角的范围;
③在[0,2π]中找出角的代表;
④求交集,找单位圆中重叠的部分;
⑤写出角的范围的表达式,注意加周期.
【例3】
求下列函数的定义域:
(1)为使函数有意义,需满足2sin2x+cosx-1≥0
由单位圆,如图2-12所示
求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.
(4)为使函数有意义,需满足:
取k=0和-1时,得交集为-4<x≤-π或0≤x≤π
∴函数的定义域为(-4,-π]∪[0,π]
求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步变形都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围.
【例4】
求下列函数的值域:
∴此函数的值域为{y|0≤y<1}
∵1+sinx+cosx≠0
∴t≠-1
求三角函数的值域,除正确运用必要的变换外,还要注意函数的概念的指导作用,注意利用正、余弦函数的有界性.
【例5】
判断下列函数的奇偶性:
【分析】
先确定函数的定义域,然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性.
∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)
(2)函数的定义域为R,且
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