不等式的概念与性质文档格式.docx
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若ab0,,则bcad
命题二:
若ab0,bcad则,
命题三:
若,bcad则ab0
由不等式的性质得知这三个命题均为真命题
例2有三个条件:
(1)ac2bc2;
(2)>;
(3)a2b2,其中能分别成为ab的充分条件的个数有()
A.0B.1C.2D.3
(1)由ac2bc2可知c20,即ab,故ac2bc2是ab的充分条件
(2)c0时,ab(3)a0时,ab,故
(2)、(3)不是ab的充分必要条件,故答案选B
例3若ab1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),试比较P,Q,R的大小
∵ab1,∴lgalgb0,
∴,即PQ
又∵,∴lg(),
∴lg(),即QR,PQR
例4设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,求f(-2)的取值范围
分析:
因为f(-1)=a-b,f
(1)=a+b,而1≤a-b≤2,2≤a+b≤4;
又a+b与a-b中的a,b不是独立的,而是相互制约的,因此,若将f(-2)用a-b与a+b,表示,则问题得解
设f(-2)=mf(-1)+nf
(1),(m,n为代定系数)
则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)
即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b于是得得:
∴f(-2)=3f(-1)+f
(1)
∵1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4
∴5≤3f(-1)+f
(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10,
另法:
以上解题过程简化如下:
由得
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f
(1)
点评:
严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证若先将参数a,b的范围求出,而后再求f(-2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(-1)及f
(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误
例5已知abc,a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1,x2
(1)证明:
-;
(2)若x12+x1x2+x22=1,求x12-x1x2+x22
(3)求
(1)abc,a+b+c=0,
∴∴a0,1
∴
(2)(方法1)a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根为1,
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0,
而x2=x1x2=0(3ca+b+c=0),∴x2=-1
∴x12-x1x2+x22=3
(方法2)x1+x2=-,x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2==1,
∴x12-x1x2+x22=x12+x1x2+x22-2x1x2=1-2x1x2=1+
(3)由
(2)知,∴-
小结:
在不等式的性质中,要特别注意下面4点:
不等式的传递性:
若ab,bc,则ac,这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则易产生这样的错误:
为证明ac,选择中间量b,在证出ab,cb,后,就误认为能得到a2同向不等式可相加但不能相减,即由ab,cd,可以得出a+cb+d,
但不能得a—cb—d不等式两边同时乘以一个数或式时,只有该数或式保证为正,才能得到同向的不等式,否则不能保证所乘之数或式为正,则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向;
不等式两边同偶次乘方时,也要特别注意不等式的两边必须是正
总之,不等式的概念和性质是本章内容的基础,是证明不等式和解不等式的主要依据,必须透彻理解,特别要注意同向不等式可相加,也可相乘,但相乘时,两个不等式都需大于零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式,如果需要去分母,一定要考虑所乘的代数式的正负
作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法,应引起高度注意
学生练习
1.已知ab|a|,则()
ABab1C1Da2b2
答案:
D
2.已知命题甲:
acbd;
命题乙:
ac,bd,则甲是乙的()
A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件
3.若|a+c||b|,则()
A-ba+cbB|a-c||b|C|a||b|+|c|D|a||b+c|
.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是()
AcbaBbcaCcabDacb
B若0ba,则()
ABCa+b+Daab
答案:
B
提示:
∵0ba,∴-=0
6.若b0a,dc0,则()
AacbdBCa+cb+dDa-cb-d
.已知1x3,M=3x2-x+1,N=4x2-5x+4,则()
AMNBM=NCMNDM与N大小不确定
C
提示:
M-N=-x2+4x-3=-(x-2)2-1,x∈(1,3),M-N0
8.已知ab≠0,则1是1的()条件
A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件
A
∵ab≠0,1,若a0,b0,则ba0,
∴1;
若a0,b0,则ba0,∴1
9.若a,b,c都是正数,且ab,则()
A1B≥C≤≤1D1
10下列函数中,其最小值为2的函数是()
Ay=x+By=sinθ+secθ(0θ)Dy=sinθ+cscθ(0θπ)
D
11.设a,b为实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()
A6B4C2D2
B
∵a+b=3,∴2a+2b≥22.已知k为实数,方程x2+(k+3)x+4+k=0有实根的充要条件是
Ak≥4B-3≤k≤3Ck=±
3Dk≠0
∵方程x2+(k+3)x+4+k=0有实根,∴x2+kx+4=0,且3x+k=0,x=-,代入到x2+kx+4=0中解得k=±
.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是()
AB10C9D5+2
方程x2+y2-2x+4y=0化为(x-1)2+(y+2)2=5,(x,y)为圆上一点,设x=1+sinα,y=-2+cosα,则x-2y=5+5sin(α+φ),∴最大值为10
14.若0ab,a+b=1,则,b,2ab,a2+b2中的最大值是()
ABbC2abDa2+b2
ba,b,2a1,2abb,a2+b2ab+b2=b(a+b)=b
15.若f(x)=|lgx|,且当abc时,有fAfCfB,则下列各式中()成立
A(a-1)(c-1)0Bac=1Cac1Dac1
用图象分析,a1,b1,c1,又fAfC,c,∴ac.不等式+2成立的充要条件是
ab0且a
17.若a0,b0,a+b=1,比较大小:
2
≤.已知lgx+lgy=2,则+的最小值是
xy=100,+≥2.当x≠0时,的最大值是
20.若直角三角形的周长为2,则它的最大面积是
3-2
设斜边为c,a=csinα,b=ccosα,a+b+c=2,c(1+sinα+cosα)=2,c[1+sin(α+)]=2,c≤=2(-1),S△=c2sin2α≤c2=3-2
21.若2x2+3y2=64,则x2+y2的最大值是
32
x2+y2=,x2≤32,∴x2+y2≤32
22.若不等式1对于x取一切实数都成立,则k值的范围是
1k3提示:
∵1,∴2x2+(6-2k)x+(3-k)0,对于x取一切实数都成立,∴0,解得k2-4k+30,∴1k3
23.要使不等式kx2-kx+10对于x的任意值都成立,则k值为
0≤k4
当k=0时,不等式成立,当k≠0时,要求k0且0,解得0k4,∴0≤k4
24.a,b,c为正数,(a+b+c)(++)的最小值为
9
(a+b+c)(++)=3+≥9
25.若8x2++=6,且xy0,则x答案:
x=±
y=±
1
∵xy0,∴8x2++≥3=6,当8x2==时,等号成立,∴x=±
26.设-1x0,则下列不等式成立的是()
A88x08xB8x08x8C08x88xD8x808x
27.若xy1,且0a1,给出下列四个不等式:
①xy;
②aa;
③logxlogy;
④loga()loga(),其中正确的个数为()
A1B2C3D4
28下列命题:
①a≥ba-b≥0;
②3≥5是矛盾不等式;
③x2-2x+20是条件不等式;
④a+11是绝对不等式其中真命题的个数为()
A0个B1个C2个D3个
C提示:
①、②是真命题
29设数轴(方向由左向右)上的点M、N分别对应于坐标xM、xN,且xMxN,则M、N的位置关系为()
AM在N右边B当M在原点左边时,N不可能也在原点左边在原点左边,N在原点右边DM在N左边
30下列判断:
①a1b,a2b则a1a2;
②若acbc,则c0;
③由lglg,21,有2lglg;
④ab,则,其中不能成立的个数是()
A1个B2个C3个D4个
D若a3-6,下列关系式中正确的是()
Aa4-6aBa2-6/aCa3-1-8Da
A
32下列命题:
①不等式两边减去同一个数或式子,不等号方向不变;
②两个不等式两边分别相加得到与被加式同向的不等式;
③不等式两边改变符合时,不等号反向;
④两个同向不等式的对应边相乘,方向不变;
⑤两个异向不等式的对应边相除新不等式与被除式同向其中正确命题的个数是()
A3个B4个C2个D5个
①,③正确设ab0,0xπ,则alg(sinx)与blg(sinx)的大小关系是()
Aalg(sinx)blg(sinx)Balg(sinx)blg(sinx)
Calg(sinx)≥blg(sinx)Dalg(sinx)≤blg(sinx)
D提示:
lg(sinx)≤0,∴alg(sinx)≤blg(sinx)若a-ba,a+bb,则有()
Aa0,b0Ba0,b0Ca0,b0Da0,b0
下列推导中,不正确的是()
Ac-ac-babB,c0ab
Cab0,cd0Dab
B若a、b、c、d四个数满足条件:
①dc;
②a+b=c+d;
③a+db+c,则有()
AbcdaBadcbCdbacDbdca
D下列命题中正确的是()
A由不等式M可以导出不等式N,则M是N成立的必要条件
BM≥N是MN成立的充分条不等式M与不等式N两者等价,则M是N的充要条件
D不等式M不成立时,不等式N也不成立,则M是N的充分条件
若a,b∈R,c∈Q,则使acbc成立的充分条件是()
Aab0,c0Bab,a0,c0Cba0,c0Dba0,c0
下列不等式在a、b0时一定成立的是()
A≤≤≤
B≤≤≤≤≤≤
D≤≤≤
40a0,a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P、Q的大小关系是()
APQBPQCP=QD不能确定
A在下列结论中错用重要不等式作依据的是()
Ax、y、z∈R+,则≥3B≥2
Clgx+logx10≥2Da∈R+,(1+a)(1+)≥4
C中要求x1,当0x1时,lgx+logx10≤-2
42设a、b、m都是正数,且ab,则下列各不等式中恒不成立的是()
B提示:
-=0,∴≥恒不成立下列说法正确的是()
An个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
B三个数的立方和不小于这三个数的积的三倍
C一个数与其倒数之和不小于2
D几个非负数之和也一定非负
D若a0b,则(填“”,“”或“=”)
若a0,b0,a+b0,则a、b、-a、-b的大小关系是
a-bb-a介于两个连续自然数之间,这两个数是
3,4提示:
=lg(24×
32×
7)=lg1008,
∴3若不等式A与不等式B等价,则A是B的条件;
若由不等式A可以导出不等式B,则A是B的条件
充要条件;
充分条当条件满足时,成立
ab0,ab或a0,b0在用分析法证明不等式过程中,前面的不等式是后面不等式的条件;
后面不等式是前面不等式的条件
必要条件;
充分条件
50使不等式a2b2,1,lg(a-b)0,2a2b-1都成立的a与b的关系式是
ab+1且b0
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- 不等式 概念 性质