高考第二轮复习文数专题六 三角函数Word文档格式.docx
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四川,13,中)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是________.
6.[考向2]【解析】 由sinα+2cosα=0得tanα=-2.
2sinαcosα-cos2α=====-1.
【答案】 -1
7.(2014·
陕西,13,中)设0<
θ<
,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a·
b=0,则tanθ=________.
7.[考向2]【解析】 ∵a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ)且a·
b=0,
∴sin2θ-cos2θ=0,
∴2sinθcosθ=cos2θ.
∵0<
,∴cosθ≠0,
∴2sinθ=cosθ,
∴tanθ=.
三角函数的定义在高考中很少考查,考查重点在象限角及任意角的化简或判断角所在象限,根据三角函数的定义求三角函数值是高考的一个基本考点,主要涉及根据终边上点的坐标求三角函数值,或根据三角函数值求参数的值,利用三角函数的定义判断函数的图象等,一般以选择题、填空题出现,分值为5分,难度较小.
1
(1)(2014·
大纲全国,2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=( )
A.B.C.-D.-
(2)(2012·
山东,16)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为________.【解析】
(1)∵角α的终边经过点(-4,3),即x=-4,y=3,
∴r==5,∴cosα==-,故选D.
(2)如图,由题意知=OB=2,∵圆的半径为1,
∴∠BAP=2,故∠DAP=2-,
∴DA=APcos=sin2,DP=APsin=-cos2.
∴OC=2-sin2,PC=1-cos2.
∴=(2-sin2,1-cos2).
【答案】
(1)D
(2)(2-sin2,1-cos2)
解题
(1)的关键是正确理解三角函数的定义;
解题
(2)的关键是得出小球滑动的距离等于P点移动的弧长.
1.(2016·
湖南长沙调研,2)已知点P(cosα,tanα)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
1.B 由题意得⇒
所以角α的终边在第二象限,故选B.
2.(2016·
河北衡水中学模拟,5)已知函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)过定点A,且角α以x轴的正半轴为始边,以坐标原点为顶点,终边过点A,则2sin(2015π+α)sin+cos2(α+2016π)-sin2(-α)的值是( )
A.B.C.-D.
2.C 函数y=ax+1+2过定点A(-1,3),则tanα=-3.
2sin(2015π+α)sin+cos2(α+2016π)-sin2(-α)
=-2sinαcosα+cos2α-sin2α
=
==-.
三角函数定义应用的类型及方法
(1)根据三角函数的定义,判断函数的图象,首先建立平面直角坐标系,求出函数的解析式,根据函数的解析式判断函数的图象.
(2)利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:
①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x;
②纵坐标y;
③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).
同角三角函数关系在高考中比较常见,往往结合诱导公式一起考查,一般以选择题、填空题形式出现,难度为中低档.
2
(1)(2013·
大纲全国,2)已知α是第二象限角,sinα=,则cosα=( )
A.-B.-C.D.
(2)(2013·
课标Ⅱ理,15)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=________.
【解析】
(1)∵α为第二象限角,∴cosα=-=-.
(2)方法一:
tanθ=tan==-,
∴sinθ=-cosθ,将其代入sin2θ+cos2θ=1,得cos2θ=1,∴cos2θ=,易知cosθ<
0,∴cosθ=-,sinθ=,故sinθ+cosθ=-.
方法二:
∵tan==,∴tanθ=-.
∵θ为第二象限角,∴sinθ=,cosθ=-,∴sinθ+cosθ=-.
【答案】
(1)A
(2)-
解题
(1)时易忽视α是第二象限角,而错选D;
解题
(2)的关键是通过变角求出tanθ.
湖南衡阳一模,7)若=2,则sin2θ=( )
A.1B.C.D.
1.D ∵=2,∴=2,
解得tanθ=3,
∴sin2θ==,把tanθ=3代入,原式=.
浙江温州十校联考,8)若sinα+cosα=(0<α<π),则tanα=( )
A.-B.C.-D.
2.C ∵sinα+cosα=(0<α<π),①
∴两边平方得1+2sinαcosα=,
得sinαcosα=-.
又0<α<π,∴sinα>0,cosα<0,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,
∴sinα-cosα=,②
由①②解得,sinα=,cosα=-,
故tanα=-.,
同角三角函数基本关系式的应用技巧
(1)知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin2α+cos2α=1求解.
(2)知弦求切.常通过平方关系、对称式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα建立联系,注意tanα=的灵活应用.
(3)知切求弦.通常先利用商数关系转化为sinα=tanα·
cosα的形式,然后用平方关系求解.
(4)和积转换法:
如利用(sinθ±
cosθ)2=1±
2sinθcosθ的关系进行变形、转化.
(5)巧用“1”的变换:
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ.
诱导公式与同角三角函数的基本关系式是每年必考的内容,主要考查三角函数的化简、求值与恒等变换,或解决三角形内的问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度中低档.
3
(1)(2013·
广东,4)已知sin=,那么cosα=( )
(2)(2014·
江苏,5)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<
π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是________.
【解析】
(1)因为sin=sin=sin=cosα=.
(2)将x=分别代入两个函数,得sin=,
解得+φ=+2kπ(k∈Z)或+φ=+2kπ(k∈Z),
化简得φ=-+2kπ(k∈Z)或φ=+2kπ(k∈Z).
又0≤φ<
π,所以φ=.
【答案】
(1)C
(2)
(2016·
辽宁沈阳一模,4)已知锐角α且5α的终边上有一点
P(sin(-50°
),cos130°
),则α的值为( )
A.8°
B.44°
C.26°
D.40°
B 点P(sin(-50°
)化简为P(cos220°
,sin220°
),
因为0°
<α<90°
,所以5α=220°
,所以α=44°
.故选B.,
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
(1)思路方法:
①分析结构特点,选择恰当公式;
②利用公式化成单角三角函数;
③整理得最简形式.
(2)化简要求:
①化简过程是恒等变形;
②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
1.(2016·
广东肇庆一模,3)已知sin=,α∈,则sin(π+α)=( )
1.D [考向3]由已知sin=得cosα=.
∵α∈,∴sinα=,
∴sin(π+α)=-sinα=-.
2.(2015·
山东潍坊二模,5)集合
中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
2.C [考向1]当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样,故选C.
3.(2015·
福建福州一模,5)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且
cosα=x,则tanα=( )
3.D [考向1]因为α是第二象限角,所以cosα=x<0,即x<0.又cosα
=x=,解得x=-3,所以tanα==-,故选D.
湖北武汉质检,6)已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为( )
A.B.C.D.
4.B [考向1,3]因为sin=sin=sin=,cos=cos=-cos=-,所以点在第四象限.又因为tanα==-,所以α=2kπ-,k∈Z,所以角α的最小正值为.故选B.
5.(2016·
山东淄博调研,5)已知tanα=2,则sin2α-sinαcosα的值是( )
A.B.-C.-2D.2
5.A [考向2]sin2α-sinαcosα
==,
把tanα=2代入,原式=,故选A.
河南郑州一模,6)已知θ为第二象限角,sinθ,cosθ是关于x的方程2x2+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sinθ-cosθ等于( )
A.B.C.D.-
6.B [考向2]∵sinθ,cosθ是方程2x2+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,
∴sinθ+cosθ=,sinθcosθ=.
可得(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,即=1+m,
∴m=-.
∵θ为第二象限角,∴sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0.
∵(sinθ-cosθ)2=(sinθ+cosθ)2-4sinθ·
cosθ=-2m=1-+=,
∴sinθ-cosθ==.
思路点拨:
利用根与系数的关系表示出sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值,再利用完全平方公式求出sinθ-cosθ的值即可.
7.(2015·
河北石家庄一模,14)已知α为第二象限角,则cosα·
+
sinα=________.
7.[考向3]【解析】 原式=cosα·
+sinα·
=cosα+sinα,因为α是第二象限,所以sinα>0,cosα<0,
所以cosα+sinα=+=-1+1=0.
【答案】 0
8.(2016·
江西八所重点中学联考,17,12分)在直角坐标系xOy中,角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线l:
y=2 x(x≥0).
(1)求cos的值;
(2)若点P,Q分别是角α的始边、终边上的动点,且PQ=6,求△POQ面积最大时,点P,Q的坐标.
8.[考向1,2]解:
(1)由射线l的方程为y=2x(x≥0),知tanα=2 ,
又由sin2α+cos2α=1,
得sinα=,cosα=,
故cos=cosαcos-sinαsin=×
-×
(2)设P(a,0),Q(b,2 b)(a>0,b>0).
在△POQ中,因为PQ2=(a-b)2+8b2=36,
所以36=a2+9b2-2ab≥6ab-2ab=4ab,所以ab≤9.
当且仅当a=3b,即a=3 ,b=时取等号.
所以S△POQ=ab≤9,
所以△POQ面积最大时,点P,Q的坐标分别为P(3,0),Q(,2).
四川,4,易)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向上平行移动个单位长度
D.向下平行移动个单位长度
1.A [考向2]y=
课标Ⅱ,3,易)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sinB.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
2.A [考向1]由图知A=2,=-=,∴T=π,∴ω=2.
将坐标代入,得2×
+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z.取k=0,得φ=-.
3.(2016·
课标Ⅰ,6,中)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
3.D [考向1]由T==π,故向右平移个周期得y=2sin=
2sin.
4.(2015·
山东,4,易)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
4.B [考向2]因为y=sin=sin,根据平移法则,所以要得到该函数的图象,只需将y=sin4x的图象向右平移个单位.故选B.
5.(2014·
福建,7,易)将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
5.D [考向2]将函数y=sinx的图象向左平移个单位后,得到函数y=f(x)=sin的图象,即f(x)=cosx.由余弦函数的图象与性质知,f(x)是偶函数,其最小正周期为2π,且图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,关于点(k∈Z)对称,故选D.
6.(2013·
四川,5,易)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,- B.2,-
C.4,- D.4,
6.A [考向1]由图知最小正周期T=2×
=π,所以ω=2,将图象最高点的坐标代入f(x)=2sin(2x+φ),得sin=1,将φ=-,φ=-分别代入,知φ=-,选A.
安徽,7,中)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是( )
7.C [考向2]由f(x)=sin2x+cos2x=sin知,f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z),因此在y轴左侧且离y轴最近的对称轴方程为x=-.依题意结合图象知,φ的最小正值为,故选C.
8.(2012·
浙江,6,中)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
8.A [考向1,2]把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y1=cosx+1;
向左平移1个单位长度得y2=cos(x+1)+1;
再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1).令x=0,得y3>0.令x=-1,得y3=0.观察图象知,A项正确.
9.(2016·
课标Ⅲ,14,易)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移________个单位长度得到.
9.[考向2]【解析】 y=sinx-cosx
=2
=2sin,
∴至少将y=2sinx的图象向右平移个单位长度.
10.(2015·
陕西,14,易)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为________.
10.[考向2]【解析】 y=3sin+k,
当sin=-1时,ymin=k-3=2,∴k=5.
∴当sin=1时,ymax=k+3=8.
【答案】 8
11.(2016·
山东,17,12分,易)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位.得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
11.[考向2]解:
(1)由f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2
=2sin2x-(1-2sinxcosx)
=(1-cos2x)+sin2x-1
=sin2x-cos2x+-1
=2sin+-1,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
(2)由
(1)知f(x)=2sin+-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin+-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sinx+-1的图象,
即g(x)=2sinx+-1.
所以g=2sin+-1=.
12.(2015·
湖北,18,12分,易)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>
0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
5
-5
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.
12.[考向1,2]解:
(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:
且函数解析式为f(x)=5sin.
(2)由
(1)知,f(x)=5sin,因此g(x)=5sin
=5sin.
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+=kπ,解得x=-,
k∈Z.
即y=g(x)的图象的对称中心为,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为.
给出三角函数图象,结合“五点法”的特点和三角函数的有关性质求解三角函数的解析式是高考的一种考查形式,近年来单独考查的频率有所下降,一般是结合性质、恒等变换、解三角形综合考查,此类题目综合考查学生对有关知识的掌握和灵活应用.
1
(1)(2015·
课标Ⅰ,8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈ZD.,k∈Z
重庆,13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f=________.
【解析】
(1)由图象知,周期T=2=2,∴=2,∴ω=π.
由π×
+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
∴f(x)=cos.
由2kπ<πx+<2kπ+π,得2k-<x<2k+,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故选D.
(2)把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象,再把函数y=sin的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin的图象.
∴f=sin=sin=.
【答案】
(1)D
(2)
解题
(1)由图写解析式先看振幅、周期,再代点找初相,得到解析式再求单调区间.
解题
(2)的关键在于利用逆向思维,从已知函数y=sinx的图象进行逆向变换,逐步得到函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象和解析式.如果按照题目中的变换顺序,则很难解答本题.
四川成都质检,6)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=cos
C.f(x)=2cos
D.f(x)=2sin
1.C 设f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
由题图知,=·
=π,
∴ω=,可排除B、D;
对于A,f(0)=2sin=-1,与题意f(0)=1不符,可排除A;
对于C,f(0)=1,满足题意.2.(2016·
湖南益阳三校联考,7)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.函数f(x)的最小正周期是2π
B.函数f(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象向右平移个单位长度得到
C.函数f(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数f(x)在区间(k∈Z)上是增函数
2.C T=-=,
∴T=π,A错;
ω=2,再代点得φ=-,f(x)=2sin.
g(x)=2sin2x向右平移个单位长度得到f(x),B错;
对称轴2x-=kπ+(k∈Z),x=+(k∈Z).当k=-1时,x=-,C正确;
由2kπ-≤2x-≤2kπ+求得f(x)的单调递增区间为(k∈Z),D错.,
已知图象求y=Asin(ωx+φ)+k的步骤
首先确定A,k,再确定ω,最后确定φ的值,具体方法如下:
(1)在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点,即半个周期内),若最大值为M,最小值为m,则A=,k=.特别地,当k=0时,A=M=-m.
(2)ω由周期T确定,即由=T求出.常用的确定T值的方法:
①曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为;
②最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标之间的距离为;
③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T;
④有时还可以从图中读出或的长度来确定ω.
(3)φ值的确定有三种途径:
①
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