解斜三角形综合练习Word下载.docx
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已知心、忌衣/U水H旳■•应注誰:
若aR升、则H有一解■一冃.GV;
円肚八好uWf八则13可雷区有两解—目_呀舟足二—山壊
•点击双基
1.在厶ABC中,若2cosBsinA=sin。
,则厶ABC的形状一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边
三角形
2.下列条件中,△ABC是锐角三角形的是()
1"
A.sinA+cosA=B.AB•BC>
0C.tanA+tanBHanC>
0D.b=3,
5
c=3.3,B=30°
3.△ABC中,a、b、c分别为/A、/B/C的对边,如果a、b、c成等差数列,/B=30°
△ABC的面积为3,那么b等于()
2
A.1__3B.1+..3C.2__3D.2+、3
22
4.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则/A=.
5.在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是.
6.(重庆理6)若厶ABC的内角A、BC所对的边a、b、c满足(ab)2c24,且C=60°
则ab的值为
•典例剖析
【例1]△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:
A=2B.
【例2]已知锐角厶ABC中,sin(A+B)=3,sin(A-B)=丄.
55
(1)求证:
tanA=2tanB;
(2)设AB=3,求AB边上的高.
【例3]在厶ABC中,a、b、c分别是/A、/B、/C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-be,求/A的大小及bsinB的值.
c
)
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
•闯关训练
1.在厶ABC中,“A>
30°
”是“sinA>
-”的(
A.充分而不必要条件
C.充分必要条件
则b()
A.2B..6,2C.42.、3D.423
4.在厶ABC中,角AB、C所对的边分别是a、b、c,且cos2-
c.(o,-]
A(0,6]
6.在厶ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是()
A.b=20,A=45°
C=80°
B.a=30,c=28,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
D.a=12,c=15,A=120°
7.在厶ABC中,角A、BC所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=-(a2+b2-c2),贝
C的度数是
8.在厶ABC中,若/C=60。
,则b=.
bcac
9.在厶ABC中,有a2c2b2ab,则sinC.
10.(全国高考)在厶ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=2,ADB135°
,若AC=2AB,
贝ybd=.
的取值范围
12.已知△ABC中,2.2(sin2A—sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为..2.
(1)求/C;
(2)求厶ABC面积的最大值•
13.在厶ABC中,BC=a,顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动,求些的取值
AC
范围.
14.若厶ABC三边长为a、b、c,面积为S,且Sc2(ab)2,ab2,求面积S的最大值。
15(湖北理16)设厶ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a1,b2,cosC-
4
(1)求厶ABC的周长
(n)求cos(AC)的值
解斜三角形(教师版)
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a=b=c
sinAsinBsinC
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
a2=b2+c2—2bccosA;
b2=c2+a2—2cacosB;
c2=a2+b2—2abcosC
,这时cosC=0,所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
特别提示
两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视,通过向量的数量积把三角
形和三角函数联系起来,用向量方法证明两定理,突出了向量的工具性,是向量知识应用的
实例.另外,解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”^
1.(上海)在厶ABC中,若2cosBsinA=sinC,则厶ABC的形状一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
22b2
解析:
由2cosBsinA=sinC得acxa=c,「.a=b.
ac
答案:
C
B.AB•BC>
0
1
A.sinA+cosA=-
1解析:
由sinA+cosA=-
得2sinAcosA=-v0,「.A为钝角.
25
由tanA+tanBHanC>
0,得tan(A+B)•(1—tanAtanB)+tanC>
0.
•tanAtanBtanC>
0,A、B、C都为锐角.
由旦二亠,得sinG三,•••C=壬或2n.
sinBsinC233
3.(全国W,理"
)△ABC中,a、b、c分别为/AZB、/C的对边,如果a、b、c
成等差数列,/B=30°
,AABC的面积为3,那么b等于()
A.13B.1+■.3C.--D.2+•.3
22
•••a、b、c成等差数列,•2b=a+c.平方得a2+c2=4b2—2ac.又厶ABC的面积为?
且ZB=30°
故由&
abc=-acsinB=」acsin30°
=—ac=-,得ac=6.•a2+c2=4b2—12.由余弦2242
222222
定理,得cosB=acb=4b12b=b仃3,解得b2=4+23.又b为边长,
2ac2642
•-b=1+;
3.
B
4.已知(a+b+c)(b+c—a)=3bc,则ZA=
n
3
5.在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是
若c是最大边,则
222
cosC>
0.•>
0,二cv.5.又c>
b—a=1,「.1
2ab
vcv.5.
(1,5)
则ab的值为
【例1】△ABC勺三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:
剖析:
研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.
证明:
用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得sin2A=sinB
(sinB+sinC)sinA—sinB=sinBsinC
因为ABC为三角形的三内角,所以sin(A+B)m0.所以sin(A—B)=sinB.所以只
能有A-B=B,即A=2B
评述:
利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换
求解.
思考讨论
①,
(1)该题若用余弦定理如何解决
解:
利用余弦定理,由a2=b(b+c),得cosA=b
cos2B=2cos2B—1=2(c
2ac所以cosA=cos2B.因为A、B是厶ABC的内角,所以A=2B
(2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决
解:
由题设a2=b(b+c),得
作出△ABC延长CA到D,使AD=AB=c,连结BD①式表示的即是匹=些
DCBC
所以△BCDh^ABD.所以/仁/D.
又AB=AD可知/2=/D,所以/仁/2.因为/BA(=Z2+ZD=2/2=2/1,所以A=2B
近几年的高考题中,涉及到三角形的题目重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷
31
【例2】
(全国H,17)已知锐角厶ABC中,sin(A+B)=-,sin(A-B)=丄.
tanA=2tanB;
有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以
(1)为铺垫,解
决
(2).
(1)证明:
•••
sin(A+B):
_3
sin(A—B)=
_1
sinAcosB
cosAsinB
—
tanA
=2.•••tanA=2tanB.
tanB
cosAsinB
(2)解:
nVA+B<
n,「・
sin
(A+B)=-.
tan(A+B)=—-,
即tanAtanB=—3.将上玄门A=2tanB代入上式整理得2tan2B—4tanB—1=0,解得
1tanAtanB4
tanB=——(负值舍去).得tanB=——,二tanA=2tanB=2+、、6.
设AB边上的高为CD贝UAB=A[>
DB=-C^^CD=3CD.由AB=3得CD=2+..6,所以tanAtanB2<
6
AB边上的高为2+..6.
本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.
【例3】
(春季北京)在厶ABC中,a、b、c分别是/A、/B/C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2—c2=ac—be,求/A的大小及bsinB的值.
因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求/A,需找/A与三边的关系,故可
2.
用余弦定理.由b2=ac可变形为L=a,再用正弦定理可求bsinB的值.
cc
解法一:
•••a、b、c成等比数列,•••b2=ac.又a2—c2=ac—bc,「.b2+c2—a2=bc.
在厶ABC中,由正弦定理得sin亠空吐,
a
•/b2=ac,/A=60°
ab2sin60=sj“6。
°
=仝.
cac2
解法二:
在△ABC中,由面积公式得-bcsinA==acsinB.
•••b2=ac,/A=60°
「.bcsinA=b2sinB.•bsinB=sinA=-^.
c2
解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用
正弦定理.
夯实基础
1.(浙江,8)在厶ABC中,“A>
”是“sinA>
-”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
在厶ABC中,
1A>
0vsinAv1sinA>
sinA>
30°
vAv150°
A>
.
2.在厶ABC中,A=3O0,a
8,b83,则△ABC的面积为(
A.323
B.16C.32.、3或16
D.32、.3或16.3
由正弦定理得,sinB寸,•B600或1200,再由面积公式得323或163。
D
A
A.(°
6]B.[6,)C.(°
3]D.[3,)
【答案】C
【解析】由题意正弦定理
6.在厶ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是
A.b=2°
A=45°
C=8°
B.a=3°
c=28,B=6°
D.a=12,c=15,A=12°
由a=14,b=16,A=45°
及正弦定理,得色哇=sinA,所以sinB=±
2.因而B
16147
有两值•
7.在厶ABC中,角A、BC所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=-(a2+b2-c2),贝U/
C的度数是.
・2.2.2
…a+b=ab+c.
代入(*)式得-一baCbc=1.
abacbec2
9.在厶ABC中,有a2e2b2ab,则sinC•迴
10.(全国高考)在厶ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=2,ADB1350,若AC=2AB,
则BD=.2庐
培养能力
11.在厶ABC中,角ABC所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列,求y=1sin2B
sinBcosB
的取值范围.
22.22
•••b=ac,
acba
••cosB==—
ac=1(a+c)-
>
1.
2ac
2ca
0vB<
n,
y=1sin2B=(^!
2^eosB)=sinB+cosB=、2sin(B+n).tnvB+n<
匕,
sinBcosBsinBcosB44412
.—vsin(&
■n)<
1.故1vyw.2.
24
12.已知△ABC中,22(sin2A—sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为,2.
(2)求厶ABC面积的最大值
(1)由
(sin2A—sin2C)=(a—b)•sinB得22(-^——N)=(a—b)4R24R2
b
2R
2.22.
又••
R=2,
•a-
-c2=ab—b2.
2.22abc1
--a+b—c=ab.--cos=.
2ab2
又•••0°
vCv180°
.C=60°
(2)S=1absin0=丄x—3ab=2、3sinAsinB=2.3sinAsin(120°
—A)
——2
=2.3sinA(sin120°
cosA—cos120°
sinA)=3sinAcosA+.3sinA
=3sin2Asin2Acos2A+—3—3sin(2A—30°
)+—3.
2222
•••当2A=120°
,即卩A=60°
时,SmaF3^.
13.在厶ABC中,BGa,顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动,求△旦的取值
令AB=kx,AC=x(k>
0,x>
0),则总有sinB=2,sinC=£
(图略),且由正弦定kxx
理得sinB=?
sinA,所以a2=kx2•sinBsinC=kx2sinA,由余弦定理,可得a
=1(k+丄—sinA),所以k+1=sinA+2cosAw
2kx22k
k2—■.5k+1<
0,所以51wkw51.
v51弱1n
」.
面积为S,且S
2ab2ab(a2b2
.22
cosA=kx
所以的取值范围为[
14.若厶ABCE边长为
TS
c2(ab)2
a2
c,
b2
一1222=、、5.所以
b)22ab(1
cose),即S
2ab(1
c(ab),ab2,
c2),又由余弦定理得
口1
cosC),又S—absinC,•sinC
求面积S的最大值。
abc2abcosC
4(1cosC),
■/sin2C
cos2C1,•17cos2C32cosC
15
0,得cosC17或cosC1
(舍),•sinC
^absinC4a(2a)4(a1)2
21717
17,
•••当a
1时,
Smax
15.
。
17
(湖北理16)
ABC的内角ab、C、所对的边分别为
a、b、c,已知
1.b
2.cosC
)求ABC的周长
(n)求cosAC的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,分10分)
同时考查基本运算能力。
(满
Qc2a2
(i)
2abcosC14
c2.
ABC的周长为a
c1225.
QcosC—
(n)4
sinC
•1cos2C
1(〉2
asinC
sinA
Qac,AC
cosA
,故A为锐角,
cos(AC)cosAcosCsinAsinC
71151511
84可〒16
探究创新
9.某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB现要修建
一条铁路L,L在0A上设一站A,在0B上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB最短?
并求其最短距离•(不要求作近似计算)
在△AO沖,设OA=a,OB=b.
因为AO为正西方向,OB为东北方向,所以/AOB135
则|AB2=a2+b2—2abcos135°
=a2+b2+、、2ab》2ab+..2ab=(2+2)ab,当且仅当a=b时,
sin(45)
ab=10•
10
=100=
100
sin(45
)sinsin(45)
(丘
cos
厶in)
=400
400
sin2
二(1
cos2)2sin(245)
、2
2.2,
—sin2—
44
当且仅当a=22°
30'
时,“=”成立•所以|AB2》40(2'
2)=400(•..2+1)2,
2(2
当且仅当a=b,a=22°
时,“=”成立•
所以当a=b=一10—=10^2(2运)时,IAB最短,其最短距离为20(应+1),即当
sin2230
AB分别在OAOB上离O点10^2(2v'
2)km处,能使|AB最短,最短距离为20(V2—1).
•思悟小结
1.在厶ABC中,■/A+B+C=n,二sin—__B=cosC,cos—__B=sinC,tan—__B=cotC.
2./A/B/C成等差数列的充分必要条件是/B=60°
3.在非直角三角形中,tanA+tanB4anC=tanA-tanB•tanC
4.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
①化边为角;
②化角为边.并常
用正弦(余弦)定理实施边角转化•
5.用正(余)弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长•
6.用向量的数量积求三角形内角时,需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补
•教师下载中心
教学点睛
1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角
形是重要的测量手段,通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题
的能力.
2.
要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练
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- 三角形 综合 练习