第三章多维随机变量及其分布测试题答案Word文档格式.docx
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1/6
1/9
1/18
1/3
a
4.设二维随机变量的密度函数/•(x,y)=V'
°
H022,则
5.设随机变量X,Y同分布,X的密度函数为/("
)=产设人二
a其他
(X>
b)与B二(Y>
b)相互独立,且P(A^B)=-■则b二習・
4~——
6.在区间(0,1)随机取两个数,则事件“两数之积大于丄”的概率为
34
7.设x和y为两个随机变量,且p(x>
o,y>
o)=pP(x>
o)=p(y>
o)=-,
则P(max{X,y}>
0)=_|.
8.随机变量(X,y)~N(O,O,UO),则D(3X-2Y)二13.
9・设D(X)=25Q(Y)=36“xy=0・4,则D(X+Y)=85
D(X-Y)=37
10.设随机变量Z=(aX+3Y)29E(X)=E(Y)=0.D(X)=4,D(Y)=16,
Px>
=-0.5,则E(Z)m严_108
2.单项选择题(每题4分)
1.
下列函数可以作为二维分布函数的是(B)・
2.设平面区域D由曲线y=-及直线x=0,y=\,y=e2围成,二维随机变量在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于Y的边缘密度函数在y=2处的值为(C).
A.-B.-
23
C.-D.--
42
3.若(X,Y)服从二维均匀分布,则(B).
A.随机变量X.Y都服从一维均匀分布
B.随机变量X,Y不一定服从一维均匀分布
C.随机变量X,Y—定都服从一维均匀分布
D.随机变量X+Y服从一维均匀分布
4.
若D(X+Y)二D(X)+D(Y).则(A).
5.在[0“]上均匀地任取两数X和Y,则P{cos(X+Y)vO}=(D).
193
A.1B.-C.-D.二
234
三、计算题(第一題20分,第二题24分)
1.已知P(X=幻=2P(Y=-幻=2■,伙=123),X与丫相互独立.
klc
(1)确定a,b的值;
(2)求(X,Y)的联合分布列;
(3)求X-Y的概率分布.
解:
(1)由正则性为P(X=k)=l有,a+—+—=\^a=—
k2311
VP(Y=-切=1有,/?
+—+—=1=>
Z?
=—
牛4949
(2)(X,Y)的联合分布律为
-3
-2
-1
1
24/539
54/539
216/539
2
12/539
27/539
108/539
3
8/539
18/539
72/539
辰-gf>
ay>
°
(3)X-Y的概率分布为
X-Y
66/539
251/539
126/539
2.设随机变量(X,Y)的密度函数为p(x.y)=
(1)确定常数k;
(2)求(X,Y)的分布函数;
(3)求P(0<
X<
L0<
2).
:
00
JJvf^-(3v+4A/x=l
(1)V
kI*Je~^xdx=k(-;
e-4'
)I;
•(_;
厂"
)l;
=土=1J0412
Ak=12
(2)F(x,y)=「i12a一⑶+%“dv=12丄(1一e"
3x)(l-e"
4)?
)
Oo12
=(1_e一弘)(1—a"
4)Q0,y>
FzjU-igfw〉。
(3)P(0<
X<
1.0<
r<
2)=F(L2)+F(0.0)-F(L0)-F(0,2)
=(14)(1Y"
3.设随机变量X,Y相互独立,且各自的密度函数为px(x)=<
0,
1卜
Py(y)=3e,J-°
求z=x+Y的密度函数
0,y<
oc
Z二X+Y的密度函数Pz(z)=jpx(x)pY(z-x)dx
e2,x>
•:
PxWPy(z-x)在OWxWz时有非零值
—oc
当z<
0时,Pz⑵=0
ZZ
——■—
所以z二X+Y的密度函数为pza)=\e3(1__06),zno
0,z<
4.设随机变量X,Y的联合密度函数为p(x,刃=二:
y>
0,分别求下
列概率密度函数.
(1)M=M心{XV};
(2)N=Min{X.Y}.
(1)因为px(x)=Jp(x,y)dy=J\2e^4ydy=3丘亠
-X0
■XX
pY(y)=jp(x.y)dx=|\2e~'
x^vdy=4e^v
—x0
所以p(x,y)=px(x)py(y)即X与Y独立.
所以当z〈0时,Fm(z)=0
当z$o时,fm(z)=p(m<
z)=p(x<
z,y<
z)=p(x<
z)p(y<
z)
"
x(Z)片⑵=(1-严)(1-严)
所以(、=J0,ZVO=jo,zvO
八5乙_[3矿攵(1_07l+_j3e』z+4e4_7eS,zn0
(2)当z<
0时,休⑵=0
当zNO时,耳(z)=P(N>
z)=P(X>
乙r>
z)=l-P(X>
z)P(r>
解:
因为X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0
所以PXY=0
6.设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为求X
0,其他
和Y的边际密度函数.
»
x
Px(x)=Jpgy)〃y=J3'
zfy=3x2,0<
1
-300
—X
<
y<
四、证明题.
1.已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表,试验证X与Y不相关,但X与Y不独立.
-1
0.125
0125
证明:
因为E(X)=-1X0.375+0X0.25+1X0.375=0
E(Y)=-1XO.375+0X0.25+1X0.375=0
E(XY)=-1XO.25+0X0.5+1X0.25=0
所以E(XY)=E(X)E(Y)
即X与Y不相关.
又因为P(X=l,Y=l)=0.125,P(X=l)=0.375,P(Y=l)=0.375
P(X=1,Y=1)HP(X=1)P(Y=1)
所以X与Y不独立.
2.设随机变量(X,Y)满足E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=ICov(X.Y)=p,证明
E(max{X\K2})<
1+y]\-p2・
证明:
因为E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1,Cov(X9Y)=p
所以E(X2)=D(X)+E(X)2=1,E(Y2)=D(Y)+E(r)2=1
E(XY)=Cov(X^Y)+E(X)E(Y)=P
因max(x2,r2)=i[x2+y2+ix2-y21]
所以E(max(X\K2))=1[E(X2)+E(K2)+E(lX2-/21)=1+丄E(|X2-/21)22
由柯西施瓦兹不等式有E2(xr)<
E(x2)E(r2)
所以E(max(X\y2))=l+-E(IX2-r21)<
1+-y]E(\X+Y\2)E(\X-Y\2)
22
又因为E(lX+yI2)=E(X2+Y2+2XY)=E(X2)+E(Y2)+2E(XY)=2+2p
E(lX-yI2)=E(X2+y2-2XK)=E(X2)+E(Y2)-2E(XY)=2-2p
所以E(max(X\r2))=<
1+1J(2+2/?
)(2-2p)=1+Jl_”
其他
证明X与丫不独立,而X?
与厂相互独立.
因为px(x)=Jp{xyy}dy=J—(1+=—5-l<
1y_]42
811j
pY(y)=JpUy)dx=f-(i+xy)dx=-,-1<
y<
-x一]4/
所以p(x,y)丰px(x)py(y)
即X与丫不独立.
设U=X\V=Y2则
F(u.v)=P(X‘<
u.Y2<
v)=P(—<
X<
4u.-yjv<
Y<
>
/v)
所以当uvO川vOH寸,F(u,v)=0;
当z/>
l,v>
1时,F(w,v)=jj—(14-xy}dxdy=1;
-i-i4
«
1_
当u>
1,0v卩v1时,F(w,v)=j|-(1+xy^dxdy=J7;
血1i
当0vhv1,v>
1时,F(ii,v)=j[—(1+xy^dxdy=JJ7;
■J?
/
而-VvI
F(u.v)=[f-(1+xy)dxdy=\/uv;
%土4
w>
l,0<
v<
0<
H<
l,V>
l
M<
V<
H>
1,V>
M<
0,v<
o
故p〃("
)p#(y)=p(s)
所以U与V独立,即疋与厂相互独立.
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- 第三 多维 随机变量 及其 分布 测试 答案