质数合数与分解质因数练习文档格式.docx
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19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54
通过检查各数约数的个数,可以知道:
21、87、35、38、72、54是合数
19、43、67、89、97是质数
判断一个数是质数还是合数,一般有三种方法:
(1)如上述方法就是检查每个数约数的个数,根据质数、合数的定义进行判断;
(2)查质数表;
(3)用试除的方法。
记住20以内2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数,试除时,看这个数除了1和它本身以外,能否被其他数整除。
若能则是合数;
若不能则是质数。
为了迅速判断一个数是质数还是合数,能够根据2、3、5整除数的特征进行判断尽量运用特征判断。
如判断237980这个数,它是质数还是合数。
(因为这个数个位上是0,因此这个数除了1和它本身外,至少还有一个约数2,所以这个数是合数。
)
对于数较大,不能直接看出它是质数还是合数的就用试除法。
比如判断91是质数还是合数。
可以用91÷
7=13,91能被7整除,可以断定91是合数。
(二)教学分解质因数要注意以下三个问题。
2.掌握分解质因数的两种方法
分解质因数的过程,就是求这些质因数的过程。
把一个合数分解质因数有两种方法。
一种是利用乘法口诀分解质因数。
直接把下面各数分解质因数。
21、34、52、28、60、75、90
解答时可以这样想:
先把这个合数分解成两个因数相乘的形式,如果两个因数都是质数,就算分解完了;
如果因数中还有合数,还要继续分解,一直分解到全部因数都是质数为止。
(如课本P59例2)这是分解质因数的最基本方法。
另一种是用短除法分解质因数。
埃拉托斯特尼把数写在涂了一层蜡的纸上,在写着合数的地方用针刺上一个小孔,于是剩下的都是质数。
而这块涂蜡的纸被刺成筛子一样,因此这种求质数的方法就叫筛法。
怎样用筛法编制100以内的质数表呢?
在自然数中第一个数是1,它既不是质数也不是合数,把它除外。
第二个数是2,它是质数,把它保留,并且把2的倍数都划掉。
紧靠2后面没被划掉的是3,3是质数,把它保留,并且把3所有的倍数划掉。
紧靠3后面的是5,5是质数,把它保留,并且把5的倍数都划掉……用这样的筛法,把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。
请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。
2.质数、因数、质因数、分解质因数有什么不同?
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数。
它是1个独立存在的数。
比如17是质数,因为它只有1和17两个约数。
在乘法中,被乘数和乘数都叫因数。
例如:
2×
3=6,2和3是6的因数。
6的两个因数2和3,同时又都是质数。
因此,我们把2和3又叫做6的质因数。
每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
36=2×
3×
3
40=2×
5
其中2、2、3、3是36的质因数;
2、2、5是40的质因数。
因数与积相关联,因数不能单独存在。
比如2和3是6的因数,而不能说2和3是因数,必须说明是谁的因数。
因数可以是质数也可以是合数(如5×
6=30,其中6就是合数),而质因数,要求因数本身还必须是质数。
比如30=2×
5,30的三个因数都是质数。
所以可以说30的质因数是2、3和5。
3.在分解质因数时,要防止发生以下几种错误。
(1)没有坚持一直用质数作除数,因此造成分解式中出现合数。
如把280分解质因数。
二、学海导航【思维基础】
1.说出什么叫质数?
什么叫合数?
并判断下面各数哪些是质数,哪些是合数。
3、27、41、6、11、19、69、57、97
一个数如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(也叫做素数)
一个数如果除了1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数。
质数有:
3、41、11、19、97。
合数有:
27、6、69、57。
把一个合数分解质因数,先用一个能除这个合数的质数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;
得出的商如果是合数;
就照上面的方法继续除下去,直到得出的商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
3.判断下面的说法对吗?
正确的画“√”,错的画“×
”。
(1)在自然数中除了质数就是合数。
()
(2)一个合数至少有3个约数。
(3)3和5是质因数。
解:
(1)(×
)即不对。
因为自然数按约数个数分三类。
就是自然数包括质数、合数和1。
而这种说法显然把自然数按这样的分类标准分了两类,丢掉了“1”这一类。
(2)(√)即对。
因为合数的定义是一个数除了1和它本身以外,还有别的约数,这个数叫合数。
这里的“还有别的约数”的意思至少有1个约数。
至少这1个约数再加上1和它本身的两个约数就是至少3个约数。
因此这种说法是正确的。
(3)(×
)即错。
3和5都是质数。
质因数是与积相关联,它不能单独存在。
质因数,要求因数本身还必须是质数。
比如15=3×
5,3和5都是15的质因数。
【学法指要】
例1.210=2×
5×
7,你能从这个式子中知道210除了有约数1以外,还有哪些约数吗?
分析:
凡是能被210整除的数都是210的约数。
怎样才能做到找准、找全呢?
那就要分类找。
一类是显露的约数即2、3、5、7四个约数。
另一类是隐含约数。
这一类先找全两个因数的积。
即(2×
3)(2×
5)、(2×
7)、(3×
5)、(3×
7)、(5×
7);
再找全三个因数的连乘积。
7)、(2×
最后找四个因数的积。
7)。
这样分类找210除了约数1外,其它15个约数就能找全了。
210除约数1外的约数有2、3、5、7、6、10、14、15、21、35、30、42、105、70、210。
例2.4500的约数共有多少个?
可以利用积与因数的关系,一对对找出4500所有约数,然后再数出它们共有多少个就行了。
但是,因为4500数很大,用这种方法做很麻烦,而且往往会遗漏,借助于分解质因数的方法求较大数约数的个数比较简捷
比如,40共有多少个约数,用分解质因数的方法如何求40约数的个数算理与算法。
5,从23来看,40的约数数中存在1、2、22、23四种情况,即1、2、4、8;
再从5来看,存在1和5两种情况。
若把两者结合起来看,即用1、2、4、8分别去乘1和5,是可得到40的所有8个约数:
1、2、4、8、5、10、20、40。
仔细观察,不难看出这四种情况的“4”与两种情况的“2”,正好等于40的每个质因数的指数加上“1”,即是:
(3+1)×
(1+1)=8。
这就是说:
一个大于1的整数约数的个数,等于它分解质因数式子中每个因数的指数加“1”和连乘积。
掌握了这条规律,再求一个数的约数就容易了。
因为4500=2×
5=22×
32×
53
而(2+1)×
(2+1)×
(3+1)=36
所以4500的约数共有36个。
例3.一个长体的3个面积分别为S1=20平方厘米,S2=15平方厘米,S3=12平方厘米。
求这个长方体的体积是多少立方厘米?
分析:
根据长方体6个面的特征,我们知道:
每个长方体的6个面中,有三组对面,每组对面的面积分别相等。
已知三个面的面积都相等由此可知这三个一定是相邻面,且相交于一个顶点。
(如图)
假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,S1=ab=20,S2=ac=15,S3=bc=12,求长方体的体积,必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。
但长、宽、高都没有直接给。
但长、宽、高中两两相乘的积我们知道。
如果把每两个数的乘积再相乘,里面一定有三个数的积。
即ab×
ac×
bc×
=(abc)2,则abc就是长方体的体积。
那么3个面积乘积怎样分成两个相同数相乘呢?
就要把这几个相乘的数都分解质因数。
解:
20×
15×
12
=2×
3
=(2×
3)×
(2×
3)
=60×
60
所以abc=60
答:
这个长方体的体积是60立方分米。
【思维体操】
1.有4个学生,他们的年龄恰好一个比一个大1岁,他们的年龄乘积是5040。
他们的年龄各是多少?
5040=2×
7
2)×
5)×
(3×
=7×
8×
9×
10
答:
他们的年龄分别为7岁、8岁、9岁、10岁。
评析:
这道题的解题思路是根据题中给出的这四个学生“年龄恰好一个比1个大1岁”,可知这四个学生的年龄是从小到大排列的四个连续的自然数。
由“他们年龄的乘积是5040”,可以想到只要把5040分解质因数就一定能从中找出四个连续的自然数,也就是这四位学生的岁数。
因此解答这道时,先把5040分解质因数,再将5040转化为四个连续自然数的积,这四个数就是4个学生的年龄。
2.一位教师带领全班学生去搬桌椅,学生恰好分为三组,如果老师和学生每人所搬桌椅一样多,若搬了884套,每人搬多少套?
884=2×
13×
17
=52×
=34×
26
如果这个班的学生人数是51人时,则每人搬17套桌椅;
如果这个班的学生人数是33人时,则每人搬26套桌椅。
根据题意此题有两解,学生往往答成一解。
根据“学生恰好分成3组,可以确定学生人数是能被3整除的数,即符合实际班额人数目又是3的倍数的数均符合题意。
根据“老师和同学搬的同样多,所以有:
884=每人搬的×
(学生人数+1名老师)的数量关系。
因此解题时先将884分解质因数,再转化为上述关系式的形式,问题所求就是其中的一个因数。
3.甲、乙、丙三人各将一根同样大小的木料切割成完全一样的两块小长方体后,甲说:
表面积增加12平方分米;
乙说:
表面积增加20平方分米;
丙说:
表面积增加30平方分米。
由于三人切割后木块的长、宽、高正好是整分米数,所以三人说法都正确,求原木料的体积和表面积。
因为12÷
2=6,6=2×
20÷
2=10,10=2×
30÷
2=15,15=3×
所以原长方体一根木料的长、宽、高为5、3、2
它的体积:
2=30
表面积:
(5×
3+5×
2+3×
2
=(15+10+6)×
=31×
=62
或12+20+30=62
原长方体木料的体积为30立方分米,表面积为62平方分米。
这道题是一道活而不难的题。
根据同样的木料,由于三人切法不同,因此增加的面积大小,也不相同。
每切1刀增加两个相等的长方形,因此12平方分米、20平方分米、30平方分米分别是上、下面,左、右面,前、后面三组对面的面积和。
把它们分别除以2就是相交于一个顶点每个面的面积。
再把这三个面积数分别分解质因数就能求得这个长方体木料的长、宽、高,进而求出它的体积与表面积。
而12+20+30是求表面积的最佳解法。
三、智能显示
【心中有数】
本段知识主要内容
2.判断正误。
对的画“√”,错的画“×
(1)把12分解质因数①2×
3=12()
②12=1×
6()
③12=2×
3()
④12=22×
⑤72=2×
(2)1是所有自然数的约数。
()
(3)所有的奇数都是质数。
(4)所有的质数都是奇数。
(5)两个质数相乘的积一定是合数。
(6)一个数的质因数都是质数。
(7)所有的质数分别加上1,所得的和都是偶数。
(8)99=11×
9,11和9都是99的质因数。
(9)根据90=2×
5,找出90的全部约数是1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。
(10)三个质数的连乘积是874,这三个质数的和是44。
3.把下面各数分解质因数。
102=
182=
44=
111=
4.思考题。
(1)10800的约数共有多少个?
(2)四个小朋友年龄的乘积是360,且是连续的自然数。
最大的一个小朋友几岁?
【创新园地】
1.长方形的长10厘米,宽9厘米,把它分割成几种边长是整厘米的正方形。
那么,至少可以分割成几种不同的正方形?
在图上表示出来。
2.要使算式975×
972×
935×
()的连乘积最后四位数字都是0,在括号内填的最小自然数应是几?
3.少年宫游乐厅里悬挂着200盏彩灯,这些灯或亮或灭,变幻无穷,200盏彩灯按1~200编号,灯的亮灭变化规律是这样的:
第1秒,全部灯变亮;
第2秒,凡编号2的倍数的由亮变灭;
第3秒,凡编号为3的倍数的灯改变原来的状态(即亮的变灭,灭的变亮)第4秒,凡编号为4的倍数的灯改变原来状态;
这样继续下去……200秒为一个周期,那么第200秒,哪些灯是亮着的?
参考答案:
1.
至少可以分割成三种不同的正方形。
即两个边长是5厘米的正方形;
两个边长是4厘米的正方形;
还有两个边长是2厘米的正方形。
(如上图所示)
2.975=5×
13
972=2×
935=5×
11×
一个因数2和一个因数5相乘,积的末尾可以出现一个“0”,那么至少需要四个因数2和四个因数5。
从分解质因数我们发现一共有两个因数2和三个因数5,尚缺两个因数2和一因数5,因此括号内最小应填2×
5=20。
3.自然数中第1,4,9,…;
都是两个相同的自然数的乘积,我们把这样的数叫做完全平方数,而其它的自然数就不是完全平方数,叫做非完全平方数。
完全平方数的约数个数都是奇数个;
比如1的约数是1;
4的约数有1、2、4共有3个约数;
9的约数有1、3、9,共有3个约数;
36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个约数。
非完全平方数的约数个数则不是奇数,而是偶数。
原题中的第1秒时,灯全是亮的,那么原来都是灭的。
变化了奇数次的灯都是亮的,变化了偶数次的灯都是灭的。
那么我们就看1~200中,完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196共有14个,这些数的约数个数都是奇数个,因此编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这些灯都是亮的,当然,其它编号的灯都是灭的。
四、同步题库
1.填空。
(1)在1~20的自然数中,最大的奇数是(),最小的偶数是();
奇数中()是合数,偶数中()是负数;
最小的合数是(),最小的质数是();
()既不是合数,又不是奇数。
(2)一个数,千位上是最小的质数,百位上是最小的自然数,个位上是最小的合数,其余数位上的数是0,这个数写作()。
(3)如果a=5b,而且a、b是两个不同的自然数,那么b一定是a的()数。
(4)用三个比10小的质数组成一个三位数,使它同时能被3和5整除,组成的三位数有()。
(5)有四张数字卡片,上面分别写有1、0、4、8,请抽三张卡片组成符合下列条件的数,并填在括号里。
能同时被2和3整除的最大数是();
能同时被3和5整除的最小数是();
质数是();
最大合数是()。
(6)20以内差为1的两个合数有()和(),()和(),()和(),()和()共4对。
(7)10以内(包括10)的数中,所有质数的乘积除以所有偶数的和,商是()。
(8)一个两位数,它是质数。
如果把它个位上的数字和十位上的数字变换位置后,仍是一个质数。
这样的质数有(),共()个。
2.判断下面各题,在对的后面画“√”,在错的后面画“×
(1)除了2以外,所有的偶数都是合数。
(2)两个质数相乘的积不一定是合数。
(3)A能被B整除,商一定是A的约数。
(4)某数是2的倍数,这个数一定是合数。
(5)能被1和本身整除的数一定是质数。
(6)边长是质数正方形,它的面积一定是合数。
(7)在1~30这些自然数中共有10个质数。
(8)20的质因数有3个。
3.下面的数,哪些是质数?
把合数分解质因数。
23、91、803、507、221、204、111。
4.在()里填上适当的质数。
10=(
)+(
)=(
)×
(
)
=(
)-(
30=(
42=(
(
5.把下面各数分解质因数。
25=
480=
81=
64=
360=
121=
6.下面式了中,表示分解质因数的,在括号里画“√”,不表示分解质因数的,在括号里画“×
(1)16=4×
4(
(2)56=2×
4×
7(
(3)87=3×
29×
1(
(4)120=2×
5(
(5)19×
2=38(
部分参考答案
【智能显示】
(1)、
(2)、(3)略
(4)(51、61、71、87、91、97)是奇数;
(2、52)是偶数;
(2、61、71、97)是质数;
(51、52、87、91)是合数。
(5)最小的质数是
(2),最小的合数是(4),1既不是质数也不是合数。
(6)一个合数至少有(3)个约数。
(7)(5)+(17)+(29)=51,(13)+(17)+(31)=61
(19)+(23)+(29)=71,(13)+(31)+(37)=81
备注:
答案不唯一
(8)在1~9这九个数中,质数有(2、3、5、7),合数有(4、6、8、9),1既不是质数也不是合数。
(9)这个三位数是(214)。
(10)在20以内的自然数中,相邻的两个数都是合数的有(8)和(9),(9)和(10),(14)和(15)
2.
(1)(×
)、(×
)、(√)、(×
)、(√)
(2)(√),(3)(×
),(4)(×
),(5)(√)
(6)(√),(7)(×
),(8)(√),(9)(√),(10)(√)
102=2×
17182=2×
7×
64=2×
2111=3×
37
4.
(1)10800=2×
=24×
33×
52
因为(4+1)×
(2+1)=60
所以10800的约数共60个。
(2)360=2×
=3×
6
36
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- 质数 合数 分解 质因数 练习