C语言程序设计漫谈之从最简真分数的个数谈起Word格式.docx
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能同时被2、3和5整除的数有2010÷
3×
5)=67
能同时被2、3和67整除的数有2010÷
67)=5
能同时被2、5和67整除的数有2010÷
5×
67)=3
能同时被3、5和67整除的数有2010÷
67)=2
能同时被2、3、5和67整除的数有2010÷
67)=1
这样,1~2010中能被2或3或5或67整除的数有
(1005+670+402+30)-(335+201+15+134+10+6)+(67+5+3+2)-1
=2107-701+77-1
=1482
因此,1~2010中既不能被2整除,也不能被3整除,也不能被5整除,也不能被67整除的数有2010-1482=528个。
即以2010为分母的最简真分数有528个。
我们可以看出,上面的计算过程是比较繁琐的,需要认真仔细。
学习过程序设计后,可以编写了一个简单的循环程序解决这个问题。
用一个变量cnt来保存最简真分数的个数,初始值为0。
对1~2010中的每一个数num,进行判断,这是一个循环,写成
for(num=1;
num<
=2010;
num++)
循环体中的判断方法为:
如果num既不能被2整除,也不能被3整除,也不能被5整除,也不能被67整除,则计数。
写成
if(num%2!
=0&
&
num%3!
num%5!
num%67!
=0)
cnt++;
最后,输出结果cnt。
一个简单的程序,就得到问题的答案。
编写的源程序如下:
#include<
stdio.h>
intmain()
{
intcnt,num;
cnt=0;
for(num=1;
if(num%2!
cnt++;
printf("
%d\n"
cnt);
return0;
}
需要说明的是,当时竞赛的真题是:
所有以2010为分母的最简真分数的和为多少?
将上面的程序简单改写一下,可以很快得到答案的。
intnum;
doublesum;
sum=0;
if(num%2!
sum+=1.0*num/2010;
%lf\n"
sum);
程序运行后,输出264.000000。
即所有以2010为分母的最简真分数的和是264。
小朋友是没法像程序一样硬算的。
1/2010+7/2010+11/2010+…+2099/2010=264。
小朋友有小朋友的聪明,1/2010是最简真分数,那么2099/2010也一定是最简真分数。
i/2010是最简真分数,那么(2010-i)/2010也一定是最简真分数。
1/2010+2099/2010=1
i/2010+(2010-i)/2010=1。
小朋友知道了以2010为分母的最简真分数有528个,因此它们的和为528/2=264。
因为2010分解质因数后,因数有2、3、5和67四个,用于考察集合的包含与容斥计算量略大但又可以完成,可以算是一道很好的竞赛试题。
在这道试题的基础上,我们看这样一个问题。
【例1】最简真分数。
任意输入一个正整数n,求以n为分母的最简真分数有多少个?
(1)编程思路1。
将输入的n作为分母,穷举分子i(1≤i≤n-1)。
因此,程序可先写成如下的循环:
for(i=1;
i<
=n-1;
i++)
{
对每一分数i/n,进行是否存在公因数的检测。
根据检测的结果决定是否计数;
}
在上面的循环体中需要对每一分数i/n,进行是否存在公因数的检测。
如果分子i与分母n存在大于1的公因数k,说明i/n不是最简真分数,不予计数。
怎样进行检测呢?
因为公因数k的取值范围为[2,i],因而设置u循环在[2,i]中穷举k,若满足条件
i%k==0&
n%k==0
说明分子分母存在公因数k,标记t=1后退出。
在对因子k进行循环穷举前,可设置标志t=0。
退出因子穷举循环后,若t=1,说明分子和分母存在公因子;
若保持原t=0,说明分子分母无公因数,统计个数。
(2)源程序1。
intn,i,k,t,cnt;
while(scanf("
%d"
&
n)&
n!
=0)
i<
i++)
//穷举分子
{
t=0;
for(k=2;
k<
=i;
k++)
//穷举因数
if(i%k==0&
n%k==0)
{
t=1;
break;
//分子分母有公因数舍去
if(t==0)
//统计最简真分数个数
printf("
return0;
将上面的源程序提交给
POJ2407“Relatives”,判定为TimeLimitExceeded。
POJ2407的题意是:
输入正整数N,求小于或等于N([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数。
这与求最简真分数的意思完全一致。
上面源程序1的方法简单直接,但对于N值较大的话,会超时的。
因此,我们应找到快速的求法。
在数论中,欧拉函数就很好地解决了这样的问题。
在数论,对于正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
此函数以其首名研究者欧拉命名,一般简记为φ函数。
例如,φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。
一般来说,设正整数N分解质因数后,N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
则
φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn)。
例如,10=2*5
φ(10)=10×
(1-1/2)×
(1-1/5)=4;
这4个数是1,3,7,9。
30=2*3*5
φ(30)=30×
(1-1/3)×
(1-1/5)=8;
这8个数是1,7,11,13,17,19,23,29。
按欧拉函数的求法,可以编写如下的源程序。
(3)源程序2。
intn,i,ans,t;
&
ans=n;
t=n;
for(i=2;
i*i<
=t;
i++)
if(t%i==0)
//找到一个质因数i
ans-=ans/i;
while(t%i==0)
//将质因数i全去掉
t/=i;
if(t!
=1)ans-=ans/t;
ans);
将源程序2提交给POJ2407,可以Accepted。
将此源程序的printf("
改写为
n-ans-1);
后,提交给
HDU1787“GCDAgain”,也可以Accepted。
【例2】还是最简真分数。
输入一个正整数n,求分母在指定区间[2,n]的最简真分数共有多少个?
例如,输入5,输出应为9。
这9个最简真分数是{1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5}。
(1)编程思路。
例1的源程序2可以求欧拉函数φ(n)的值。
用一个循环求出φ
(2)+φ(3)+…+φ(n)的累加和,即得本题的输出。
(2)源程序。
intn,i,k,ans,t,sum;
for(k=2;
=n;
k++)
ans=k;
t=k;
for(i=2;
if(t%i==0)
//找到一个质因数i
//将质因数i全去掉
if(t!
sum+=ans;
将此源程序提交给
POJ2478“FareySequence”,被判定为TimeLimitExceeded。
POJ2478的题意是:
求1~n的欧拉函数的和。
因为,例1中是在
O(sqrt(n))的时间内求出一个数n的欧拉函数值。
如果要求100000以内所有正整数的欧拉函数值,上面程序采用的方法的复杂度将高达O(N*sqrt(N))。
因此,容易超时。
下面我们寻求更快的求欧拉函数值的方法。
我们知道,欧拉函数值
φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)....*(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有质因子。
即欧拉函数的值与其质因子有关。
用筛法可以方便地求出n以内的所有质数。
那么我们能不能在筛法求质数的同时求出所有数的欧拉函数呢?
可以采用如下的方法:
用筛法一边筛出N以内的所有质数,一边以类似于筛法的思想用质数筛出每个数的欧拉函数φ值。
这里,利用了欧拉函数的几个基本性质:
①若N是质数p的k次幂,φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟N互质。
②当N是质数时,φ(N)=N-1。
显然,因为N是质数,1~N-1均与N互质。
③欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。
④
假设质数p能整除n,那么
如果p还能整除n/p,
φ(n)
=φ(n/p)*p;
如果p不能整除n/p,
φ(n)
=φ(n/p)*(p-1)。
定义数组phi[N],元素phi[i]表示正整数i的欧拉函数值φ(i)。
定义数组vis[N],元素vis[i]=True表示i在筛子中,vis[i]=false表示i不在筛子中,已被筛掉。
初始时,vis数组的元素全置为true,表示全部放在筛子中。
定义数组prime[N],元素prime[i]的值为第i个质数。
下面以求20以内所有质数及所有数的φ值为例,来描述筛法的使用。
1)从i=2开始循环,vis[2]==true,找到第一个质数2,prime[0]=2,质数个数PNum=1;
同时,phi[2]=2-1=1。
采用循环for(j=0;
j<
pNum&
prime[j]*i<
MAXN;
j++)将筛子中2的各质数倍数筛掉,同时求得相应数的欧拉函数值。
(注意这里与通常的筛法有改变,主要为了用质数筛出各数的欧拉函数值)。
筛去2*prime[0]=2*2=4,即vis[4]=false;
phi[4]=phi[2]*prime[0]=1*2=2;
2)i++,进行下次循环,vis[3]==true,找到第2个质数,prime[1]=3,pNum=2,同时phi[3]=3-1=2。
筛去3*prime[0]=3*2=6,即vis[6]=false;
置phi[6]=phi[3]*(prime[0]-1)=2*1=2;
筛去3*prime[1]=3*3=9,即vis[9]=false;
置phi[9]=phi[3]*(prime[1])=2*3=6;
3)i++,进行下次循环,vis[4]==false,4不是质数。
筛去4*prime[0]=4*2=8,即vis[8]=false;
置phi[8]=phi[4]*(prime[0])=2*2=4;
筛去4*prime[1]=4*3=12,即vis[12]=false;
置phi[12]=phi[4]*(prime[1]-1)=2*2=4;
与
φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4
比较下更容易理解。
phi[12]=phi[4]*(prime[1]-1)=phi[2]*prime[0]*(prime[1]-1)=2*(1-1/2)*2*3*(1-1/3)。
4)i++,进行下次循环,vis[5]==true,找到第3个质数,prime[2]=5,pNum=3,同时phi[5]=5-1=4。
筛去5*prime[0]=5*2=10,即vis[10]=false;
置phi[10]=phi[5]*(prime[0]-1)=4*1=4;
筛去5*prime[1]=5*3=15,即vis[15]=false;
置phi[15]=phi[5]*(prime[1]-1)=4*2=8;
筛去5*prime[2]=5*5=25,即vis[25]=false;
当然我们以20为例的话,25已超出,循环不会执行到。
同理,6不是质数,筛去6*2=12,置phi[12]=phi[6]*(prime[0])=2*2=4。
筛去6*3=18,置phi[18]=phi[6]*(prime[1])=2*3=6。
7是质数,置prime[3]=7,pNum=4,phi[7]=6。
筛去7*2=14,置phi[14]=phi[7]*(prime[0]-1)=6*1=6。
……
(3)采用筛法思想的源程序。
string.h>
#defineMAXN1000005
intprime[MAXN],pNum,phi[MAXN];
__int64num[MAXN]={0};
boolvis[MAXN];
intn,i,j;
memset(vis,true,sizeof(vis));
//下面程序段既求MAXN以内的素数又求欧拉数。
pNum=0;
phi[1]=1;
for(i=2;
i<
MAXN;
if(vis[i])
//
i是素数
prime[pNum++]=i;
phi[i]=i-1;
for(j=0;
j++)
vis[prime[j]*i]=false;
if(i%prime[j]==0)
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
else
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
num[i]=num[i-1]+phi[i];
%I64d\n"
num[n]);
将用筛法思想改写的源程序提交给POJ2478,可以Accepted。
将上面的程序略作改动,可以顺便通过
HDU2824“TheEulerfunction”。
(4)进一步讨论。
上面采用筛法求欧拉函数的值时,用了3个数组,用于表示数是否在筛子中的标记数组vis,用于保存质数的数组prime,用于保存欧拉函数值的数组phi。
虽然看起来直观,好像体现了欧拉函数值与分解质因数相关的概念,但有点繁琐。
能否只用一个数组phi,即保存欧拉函数的值,又表示筛子,当然在筛子中的最小数一定是质数,从而又表示了质数呢?
定义数组phi[N],初始值全为0,Phi[i]=0表示i在筛子中,i是质数。
前面介绍过欧拉函数值得标准求法。
设正整数N分解质因数后,N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
则
显然,若p1是n的质因数,phi[n]一定会作n*(p1-1)/p1这样的运算。
下面我以n=30为例介绍phi数组既保存欧拉函数值有当筛子用的方法。
由于筛法从i=2开始进行,所有phi[i]元素值初始全为0。
1)phi[2]=0,2在筛子中,2是质数,开始执行筛法过程,对指定范围内所有2的倍数进行处理。
phi[2]=0
phi[2]=2
(置初始值表示筛
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