湖南省八校届高三毕业班调研联考暑假返校考试数学理试题word含答案.docx
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湖南省八校届高三毕业班调研联考暑假返校考试数学理试题word含答案
绝密★启用前
湖南省2019届高三毕业班调研联考(暑假返校考试)
数学(理科)
本试题卷共23题(含选考题)。
考试时间:
120分钟满分:
150分命题人:
lh、lwz
注意事项:
1.答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自已的姓名、准考证号和座位号后两位。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
第I卷(选择题)
一、选择题。
(本大题共12个小题,每小题5分,满分60分。
在每小题的四个选项中只有一个选项最符合题目要求。
)
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.已知=(为虚数单位),则复数()
A.B.C.D.
3.如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温()的数据一览表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据这一览表,则下列结论错误的是()
A.最低温与最高位为正相关
B.每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大
4.等比数列的前项和为,且,,成等差数列,若,则()
A.7B.8C.15D.16
5.已知函数为奇函数,且当时,,则()
A.-2B.0C.1D.2
6.执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的()
A.5B.6C.7D.8
7.三次函数的图象在点处的切线与轴平行,则在区间上的最小值是()
A.B.C.D.
8.已知,,与的夹角为,则()
A.2B.3C.4D.5
9.平面直角坐标系中,动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等,则点的轨迹方程是()
A.B.
C.D.
10.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是()
A.2B.4C.D.
11.已知椭圆:
,点,,分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点,若,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
12.已知是由具有公共直角边的两块直角三角板(与)组成的三角形,如左下图所示.其中,.现将沿斜边进行翻折成(不在平面上).若分别为和的中点,则在翻折过程中,下列命题不正确的是()
A.在线段上存在一定点,使得的长度是定值
B.点在某个球面上运动
C.对于任意位置,二面角始终大于二面角
D.存在某个位置,使得直线与所成角为
第II卷(非选择题)
二、填空题。
(本大题共4个小题,每小题5分。
满分20分。
请将答案填在答题卡上的对应位置上。
)
13.设,满足约束条件则的取值范围为.
14.某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为__________.
15.在数列中,,且.记,,则.
16.如图,在中,,点在线段上,且,,则的面积的最大值为__________.
三、解答题。
(本大题共6个小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
(Ⅰ)证明:
sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若,求tanB.
18.(本小题满分12分)如图,四棱锥P−ABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)某商场进行有奖促销活动,顾客购物每满500元,可选择返回50元现金或参加一次抽奖,抽奖规则如下:
从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球,摸到红球就可获得100元现金奖励,假设顾客抽奖的结果相互独立.
(Ⅰ)若顾客选择参加一次抽奖,求他获得100元现金奖励的概率;
(Ⅱ)某顾客已购物1500元,作为商场经理,是希望顾客直接选择返回150元现金,还是选择参加3次抽奖?
说明理由;
(Ⅲ)若顾客参加10次抽奖,则最有可能获得多少现金奖励?
20.(本小题满分12分)已知中心在原点O,左、右焦点分别为的椭圆的离心率为,焦距为,A,B是椭圆上两点.
(Ⅰ)若直线AB与以原点为圆心的圆相切,且OA⊥OB,求此圆的方程;
(Ⅱ)动点P满足:
,直线与OB的斜率的乘积为,求动点P的轨迹方程.
21.设函数,,其中.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:
;
(Ⅲ)设,函数,求证:
在区间上的最大值不小于.
(选考题)22.选修4-4:
坐标系与参数方程
以直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为(为参数),曲线的方程为,定点,点是曲线上的动点,为的中点.
(Ⅰ)求点的轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线与曲线相交于两点,若,求实数的取值范围.
(选考题)23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的解集包含,求的取值范围.
湖南省2019届高三毕业班摸底调研联考
理科数学试题卷参考答案及解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
A
C
D
B
A
C
A
D
1.C.【解析】由题意得,,∴,故选C.
2.D【解析由,得,故选D.
3.B【解析】
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
温差
17
12
8
13
10
7
8
7
6
11
将最高温度、最低温度、温差列表如图,由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大, 正确;由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前个月不是逐月增加,错;由表格可知,月温差(最高温减最低温)的最大值出现在月, 正确;由表格可知月至月的月温差(最高温减最低温)相对于 月至 月,波动性更大, 正确,故选.
4.C【解析】试题分析:
设等比数列的公比为,成等差数列,则即,解得,,则;
5.A【解析】因为是奇函数,所以,故选A.
6.C【解析】试题分析:
执行第1次,t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,是,循环,
执行第2次,S="S-m"=0.25,=0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环,
执行第3次,S="S-m"=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环,
执行第4次,S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环,
执行第5次,S="S-m"=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环,
执行第6次,S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循环,
执行第7次,S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,输出n=7,故选C.
7.D【解析】试题分析:
,所以,所以,因此,在区间上单调减,在区间上单调增,所以最小值是,选D.
8.B【解析】因为,向量与的夹角为,
则,
所以,所以,故选B.
9.A【解析】试题分析:
设圆心为,动点到直线的距离为,根据题意得:
,可得,即:
动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等,根据抛物线的定义,动点的轨迹为以为焦点,以为准线的抛物线,设方程为,则,,所以抛物线方程为:
,选A.
10.C【解析】试题分析:
由三视图可得原几何体,如图所示,该几何体的高,底面为边长为的等腰直角三角形,所以该几何体中,直角三角形是底面和侧面,事实上,因为底面,所以平面底面,而,所以平面,所以,,
,所以该四面体的四个面中,直角三角形的面积和为,故选C.
11.A【解析】解:
如图所示,
tan∠NMF=,tan∠NFO=,
∵∠MFN=∠NMF+90°,∴∠NFO=180°−MFN=90°−∠NMF,
即,,则b2=a2−c2=ac,
∴e2+e−1=0,得.
本题选择A选项.
12.D【解析】不妨设,取中点,易知落在线段上,且,
所以点到点的距离始终为,即点在以点为球心,半径为的球面上运动,
因此A、B选项不正确;对于C选项,易知二面角为直二面角时,二面角始终大于二面角,当二面角为锐二面角时,如图所示作平面与点,然后作分别交于,则二面角的平面角为,二面角的平面角为,且,又因为,所以,所以二面角始终大于二面角,
对于D选项,作可以看成以为轴线,以为平面角的圆锥的母线,易知与落在同一个轴截面上时,取得最大值,则的最大值为,此时落在平面上,所以,即与所成的角始终小于,所以D选项不正确,故选D.
13.
【解析】试题分析:
由题意得,画出约束条件所表示的可行域,如图所示,当目标函数过点时,取得最小值,此时最小值为;当目标函数过点时,取得最大值,此时最小值为,所以的取值范围为.
14.【解析】由题意,三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有(种),其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种,根据古典概型概率的计算公式得,所求概率为.
15.【解析】
试题分析:
因为,,所以,
.又,
所以,,
所以,所以答案应填:
.
16..【解析】详解:
由可得:
,
则.
由可知:
,则,
由同角三角函数基本关系可知:
.
设,
在△ABD中由余弦定理可得:
,
在△CBD中由余弦定理可得:
,
由于,故,
即:
,
整理可得:
.①
在△ABC中,由余弦定理可知:
,
则:
,
代入①式整理计算可得:
,
由均值不等式的结论可得:
,
故,当且仅当时等号成立,
据此可知△ABC面积的最大值为:
.
17.(Ⅰ)根据正弦定理,可设,
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入中,有
,变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).
在ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC,
所以sinAsinB=sinC.
(Ⅱ)由已知,b2+c2–a2=bc,根据余弦定理,有
.
所以sinA=.
由(Ⅰ),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB,
故tanB==4.
18.(Ⅰ)由已知得.
取的中点,连接,由为中点
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