人教新课标版初中八上第11章全等三角形拔高题精选文档格式.docx
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ED=BE+CD.
13.已知如图11-全-12所示,在等腰Rt△ABC中,∠ABC的平分线交AC于D,从C向BD的延长线作垂线,垂足为E.求证:
BD=2CE.
14.已知如图11-全-13所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别是AB,AC边上的点,且∠AED+∠AFD=180°
.求证DE=DF.
五、中考题(每小题7分,共21分)
15.(2005·
南充)如图11-全-14所示,四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD,图中有无和△ABE全等的三角形?
16.(2006·
北京)已知,如图11-全-15所示,AB∥ED,点F、点C在AD上,AB=DE,AF=DC.
BC=EF.
17.(2007·
山西)如图11-全-16,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连接DF.
(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形;
(2)连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论;
(3)延长DF交于BC于点M,试判断BM与MC的数量关系.(直接写出结论)
六、附加题(20分)
18.如图11-全-17所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=FB.
求证:
AF=DE.
参考答案
一、1.分析:
利用平移的手段,构建一个三角形,使中线与已知两边位于同一三角形中,如图11-全-1′所示,再利用三边关系确定其范围.
解:
在△ABC中,AB=7,AC=10,AD为BC边上中线,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,则在△ABD和△ECD中,
∴△ABD≌△ECD,
∴AB=EC=7.
在△ACE中,由三边关系可得10-7<AE<10+7,即3<2AD<17,
所以1.5<AD<8.5.
点拨:
此题是三角形全等和三边关系相结合的综合题,题中引的辅助线是常见的将中线与边联系起来的作法.
2.分析:
方法一:
如图11-全-2′所示,延长BC到F,使CF=BD,连接AF,要证AE=BE+BC,即证AE=BF,显然△BDE为等边三角形,所以若AE=BF成立,则△ADF为等边三角形,故此方法的关键是证明△ADF为等边三角形,可通过△ABD≌△ACF来证明AD=AF,从而证明△ADF为等边三角形.
方法二:
如图11-全-3′所示,在AE上截取AM=BE,即要证明AE=BE+BC,转化为证明EM=BC,同方法一一样,需证明△MDC为等边三角形,则需证明MD=MC,而AE=MD,所以转化为证明AE=MC,故关键是如何证明△ABE≌△CAM,它的条件是已知AB=AC,AM=BE,还缺∠1=∠MAC(易证).
证明:
如图11-全-2′所示,延长BC到F,使CF=BD,连接AF,
∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACF,而AB=AC,BD=CF,
∴△ABD≌△ACF,∴AD=AF.
又∵BD=BE,∠ADB=60°
,
∴△BDE为等边三角形.
∴△ADF也是等边三角形.
∴DA=DF,∴AE=BF.
∴AE=BC+BE.
如图11-全-3′所示,
在AE上截取AM=BE,连结CM,
∵BD=BE,∠D=60°
∴∠ABD=60°
+∠1,∠ACF=60°
+∠MAC.
又∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACF,∴∠1=∠MAC.
而AB=AC,AM=BE,∴△ABE≌△CAM,∴AE=CM.
∵AE=AM+ME,AM=BE=DE,
∴MD=MC,
∴△DMC为等边三角形.
∴DM=DC,∴EM=BC.
∴AE=BE+BC.
证明一条线段等于另两条线段时的常用办法是:
割补法.如方法一中,在较短的线段BC的延长线上截取(补)CF=BE,如方法二中在较长的线的AE上截取(割)AM=BE,从而问题转化为证明两条线段相等的问题.
3.分析:
(1)要证△ACE≌△DCB,只需证明∠ACE=∠DCB即可,已知AC=DC,CE=BC.
(2)要证MN∥AB,只需证明∠CNM=∠NCB=60°
即可,则需证明△CMN为等边三角形,可通过△CME≌△CNB来实现
(1)在△ACE和△DCB中,
∴△ACE≌△DCB(SAS).
(2)如图11-全-4′所示,
∵△ACE≌△DCB,
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).
又∵CE=CB,∠3=∠4=60°
∴△CME≌△CNB.
∴CM=CN.
∴△CMN为等边三角形.
∴∠MNC=∠3=60°
.
∴MN∥AB.
利用等边三角形边角的特殊性证明是关键.
4.分析:
由角平分线和FD⊥AB,FE⊥AC可证得△ADF≌△AEF,再由等腰三角形的性质可证AF垂直平分DE.
证明:
在△ADF和△AEF中,
∴△ADF≌AEF(AAS).
∴AD=AE(全等三角形对应边相等).
∴AF垂直平分DE(等腰三角形三线合一).
点拨:
选择恰当的全等关系,使证明简单明了.
二、5.分析:
房间面积除以每个图案面积可求出所需的木块数.
13÷
0.05=260,而每个图案正由4个深色、2个浅色的三角形构成,故深色木块为260×
4=1040(块);
浅色木块为260×
2=520(块).
观察图案特征寻找解题规律.
三、6.分析:
要说明BB′=BC,只需证它们所在的三角形全等即可.
由题意知AB=A′B′,AB⊥BC,A′B′⊥B′C′,AC∥A′C′,
∴∠ABC=∠A′B′C′=90°
,∠C=∠B,
故△ABC≌△A′B′C′(AAS).
BC=B′C′(全等三角形的对应边相等).
即BB′=BC.
故他后退的距离便是河的长度.
7.分析:
加油站的位置到角两边的距离相等,可知它必在∠BAC
的平分线上.
如图11-全-5′所示,AP平分∠BAC,P为加油站所处位置,且PA2cm,根据角平分线上的点到角两边的距离相等,P到BA、AC的距离相等.
此题是角平分线性质在实际生活中的一个应用.
四、8.分析:
可证AC=2AE,可尝试把AE延长一倍后,如图
11-全-6′所示,证明AF=AC可先证△AEB≌△FED,再证△ACD≌△AFD.
延长AE到F,使EF=AE,连接DF,在△AEB和△FED中,
∴△AEB≌△FED,
∴DF=AB,∠EDF=∠B.
∵AD是△ABC的中线,
AB=BD,
∴CD=BD=AB=DF.
又∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∠BAD=∠BDA,∠B=∠BDF,
∴∠ADC=∠BDA+∠BDF=∠ADF.
在△ACD和△AFD中,
∴△ACD≌△AFD.
∴AC=AF.
又∵AF=2AE,∴AC=2AE.
证明一条线段是另一条线段的两倍(或一半)时,常用的方法:
找出或作出等于较短线段的两倍的线段,证它与较长线段相等(称为加倍法);
找出或作出等于较长线段的一半的线段,证它与较短线段相等(称为折半法).本题采用的是加倍法.
9.分析:
由题意可证Rt△ABF≌Rt△CDE,再证△BFG≌△DEG,移动后上述结论仍成立,道理相同.
∵AE=CF,
∴AF=EC,又∵∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE(全等三角形对应边相等).
在△BFG和△DEG中,
∴△BFG≌△DEG(AAS).
∴EG=GF,
即BD平分EF,
若将△AEC沿AC方向平移后,上述结论仍成立,
∵AE=FC,
∴AF=EC.
∴∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌CDE(LH).
∴BF=ED(全等三角形对应边相等).
在△BFG和△DEG中,
∴△BFG≌△DEG(AAS).
∴EG=GF(全等三角形对应边相等),
即BD平分EF.
对应图形特点,寻找规律、培养能力.
10.分析:
要判断AG与AD的大小及位置关系,即探讨AG与AD是否相等以及是否垂直,而AG与AD可分别看作是△AGC、△DAB的边,则可探讨这两三角形是否全等,看条件:
BD=AC,GC=AB,若能证明∠ABD=∠ACG,则这两个三角形全等,进而可推出AD与AG的位置关系.
∵BE⊥AC,CF⊥AB,∠BOF=COE,
∴∠ABD=∠ACG.
又∵BD=AC,CG=AB,
∴△DAG≌△AGC.
∴AG=AD,∠BAD=∠G.
∵CG⊥AB,∴∠G+∠GAF=90°
∴∠BAD+∠GAF=90°
即AG⊥AD.
∴AG与AD的大小关系是AG=AD.
位置关系是AG⊥AD.
要判断两条线段大小关系一般是探讨它们是否相等,要判断线段位置关系一般探讨它们是否平行、垂直、平分等.
11.分析:
由题意可证得△BCF≌△ACD,从而得到BF=AD,BF⊥AD.
在△BCF和△ACD中,
∴△ACD≌△BCF(SAS).
∴BF=AD,
∠FBC=∠DAC(全等三角形对应边、对应角相等).
延长BF交AD于G点,
∵∠DAC+∠ADC=90°
∴∠FBC+∠ADC=90°
∴BF⊥AD.
选择证△BFC和△ACD全等是解题的关键.
12.分析:
由题意可证△ABE≌△CAD,得到AE=CD,AD=BE,从而问题可证.
∵∠BAC=90°
∴∠EAB+∠DAC=180°
-90°
=90°
又∵∠EAB+∠EBA=90°
∴∠EBA=∠DAC.
在△ABE和△CAD中,
∴△ABE≌△CAD(AAS).
∴AE=CD,AD=EB(全等三角形对应边相等).
∴AE+AD=CD+EB,
即ED=BE+CD.
此题中证∠EBA=∠DAC是用同角的余角相等证明的,这种证明角相等的方法较常见.
13.分析:
由已知条件无法直接得到BD=2CE,可尝试引辅助线,延长CE,BA相交于F,如图11-全-7′所示,可先证△BEF≌△BEC得到∠ABE=∠ACF,再证△ABD≌△ACF可得到BD=2CE.
延长CE交BA的延长线于F.
在△BEF和△BEC中,
∴△BEF≌△BEC(ASA).
∴∠ABD=∠ACF,EC=EF(全等三角形对应边、对应角相等).
在△ABD和△ACF中,
∴△ABD≌△ACF(ASA).
∴BD=FC,又∵EC=FE,
∴BD=2CE.
引辅助线不要盲目,要能构造全等关系.
14.分析:
由已知得不到所要结论,故可尝试引辅助线,因为AD是角平分线,可过D作AB,AC的垂线,如图11-全-8′所示,证△DEG≌△DFH即可.
过D作DG⊥AB于G,DH⊥AG于H.
∵AD平分∠BAC,
∴DG=DH.
∵∠AFD=∠DFH=180°
,∠AED+∠AFD=180°
∴∠AED=∠DFH.
在△GED和△HFD中,
∴△GED≌△HFD(AAS).
∴DE=DF(全等三角形对应边相等).
正确引辅助线是解题的关键.
五、15.分析:
由角平分线性质知AE=AF,所以△ABE≌△ADF.
解:
∵△ADF和△ABE全等.
∵AC平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD,
∴AE=AF.
又∵AB=AD,
∴Rt△ABE≌△Rt△ADF.
应用角平分线性质和“HL”.
16.分析:
本题主要考查三角形全等的判定.现在知道AB=DE,AF=DC.
由题意要证BC=EF,并且BC、EF分别在两个三角形中,只有证△ABC≌△DEF才可得.要证三角形全等,现在只知道AB=DE,还需要∠A=∠D,AC=DF才可.
因为AB∥DE,所以∠A=∠D.
又∵AF=DC,∴AF+CF=DC+CF,即AC=DF.
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF.
∴BC=EF.
先找出全等的两个三角形,再证明,利用AB∥ED,AF=DC,CD=CE,不难发现全等.
17.分析:
(1)由正方形的性质便可得出三对全等三角形.
(2)需证两对三角形全等.△ADF≌△ABF,△ADE≌△BCE.(3)观察猜想即可.
(1)解:
△ADC≌△ABC,△ADF≌△ABF,△CDF≌△CBF.
(2)AE⊥DF.
证法1:
设AE与DF相交于点H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.
又∵AF=AF,∴△ADF≌△ABF,
∴∠1=∠2,又∵AD=BC,∠ADE=∠BCE=90°
DE=CF,
∴△ADE≌△BCE,∴∠3=∠4,
∵∠2+∠4=90°
,∴∠1=∠3=90°
∴∠AHD=90°
,∴AE⊥DE.
证法2:
如图11-全-9′,设AE和DF相交于点H.
∵四边形ABCD是正方形,∴DC=BC,∠DCF=BCF.
又∵CF=CF,∴△DCF≌△BCF,∴∠4=∠5.
又∵AD=BC,∠ADE=∠BCE=90°
,DE=CF,
∴△ADE≌△BCE,∴∠6=∠7,∵∠4+∠6=90°
∴∠5+∠7=90°
,∴∠EHD=90.∴AE⊥DE.
证法3:
同“证法1”得△ADE≌△BCE.
∴EA=EB.∴∠EAB=∠2.∴∠EAB=∠1.
∵∠EAB+∠3=90°
,∴∠1+∠3=90°
.∴AE⊥DF.
(3)解:
BM=MC.
此题综合考查了图形的主要知识,培养学生综合运用知识能力.
六、18.分析:
假设AF=DE,应用△AEF≌△DFE,这只要有∠AEF=∠DFE,如何得到∠AEF=∠DFE呢?
因为AB=DC,AE=DF,又有CE=BF,则CE+EF=EF+FB,即CF=EB,故△AEB≌△DFC,可利用全等三角形对应角相等,
则有∠AEF=∠DFE.
∵CE=BF,∴CE+EF=EF+FB,即CF=EB.
又∵AB=DC,AE=DF,
∴△AEB≌△DFC(SSS).
则∠AEF=∠DFE(全等三角形对应角相等).
在△AEF和△DFE中,
△AEF≌△DFE(SAS),
∴AF=DE(全等三角形对应角相等).
以“已知”看“需知”的分析方法,为寻找一个正确的证题提供了方向和方法,一般在证题时,常采取“从结论看需知,从已知看可知”的“两头凑”的方法.
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