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若物体所受恒力与速度方向成角度,物体做匀变速曲线运动.
物体受到一个大小不变,方向始终与速度方向垂直的外力作用时,物体做匀速圆周运动.此时,外力仅改变速度的方向,不改变速度的大小.
物体受到一个与位移方向相反的周期性外力作用时,物体做机械振动.
表1给出了几种典型的运动形式的力学和运动学特征.
综上所述:
判断一个物体做什么运动,一看受什么样的力,二看初速度与合外力方向的关系.
在高中阶段所解决的力与运动的关系问题,无外乎已知物体运动情况,求物体的受力情况;
已知物体受力情况,求物体的运动情况.
力与运动的关系是基础,在此基础上,我们还要陆续从功和能、冲量和动量的角度,进一步讨论运动规律.
2.力的独立作用原理
物体同时受几个外力时,每个力各自独立地产生一个加速度,就像别的力不存在一样,这个性质叫做力的独立作用原理.物体的实际加速度就是这几个分加速度的矢量和.根据力的独立作用原理解题时,有时采用牛顿第二定律的分量形式
Fx=max
Fy=may
分力、合力及加速度的关系是
在实际应用中,适当选择坐标系,让加速度的某一个分量为零,可以使计算较为简捷,通常沿实际加速度方向来选取坐标,这种解题方法称为正交分解法.
如图1-9-1,质量为m的物体,置于倾角为θ的固定斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,若要求物体的加速度,可先作出物体的受力图.沿加速度方向建立坐标并写出牛顿第二定律的分量形式
mgsinθ-f=ma,f=μN
mgcosθ-N=0
物体的加速度
对于物体受三个力或三个以上力的问题,采用正交分解法可以减少错误,做受力分析时要避免“丢三落四”.
(二)力的积累
从力在空间上的积累效果与力在时间上的积累效果两个角度,来研究物质运动状态变化的规律,是高中物理重点内容.深入理解“功是能量转化的量度”,以及理解在动量守恒过程中能量的变化,是这部分的核心,应着重做好以下几项工作:
1.深入理解几个重要概念
本讲研究的概念较多,有功、功率、动能、重力势能、弹性势能、机械能、冲量、动量等重要概念,这是本讲知识的基础,对于它们的物理意义必须进一步深入理解.
(1)打破思维惯性,正确认识功的计算公式.
功的计算公式W=Fscosθ应用比较广泛,不仅机械功计算经常要应用它,电场力做功和磁场力做功有时也要应用它进行计算.
(2)运用对比方法,区分几个不同的功率概念.
①正确区别P=W/t和P=Fvcosθ的应用范围.
前者为功率的普适定义式,后者是前者导出的机械功的计算公式;
前者求出的是t时间内的平均功率,当然t趋近零时,其结果也为瞬时功率,后者公式中的v为瞬时速度大小,求出的功率为瞬时功率;
若v为平均速度大小,F且为恒力,求出的即为平均功率.
在运用P=Fvcosθ进行计算时,要注意θ的大小,也可能求出负值,那是表示阻力的功率,要注意P和F及v是对应的,通常讲汽车的功率是指汽车牵引力的功率.
②正确区别额定功率和实际功率的不同.
额定功率是指机器正常工作时输出的最大功率.实际功率是指机器实际工作时的功率,一般不能超过额定功率.
③正确区分汽车两种启动方法的物理过程的不同.
(3)正确理解势能概念.
中学教材研究了重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等概念,还要求能够直接运用公式计算重力势能和电势能的大小.
不管哪种形式的势能,其对应的作用力均为保守力,它们做功与路径无关,只与物体的始末位置有关,并且W=-△Ep.势能是个相对量,它的大小与所取的零势能位置有关,但势能的变化与零势能位置的选取无关.因此,为了处理问题方便,要巧妙选取零势能的参考位置.
势能是个标量,它的正负是相对于零势能而言的.比较势能的大小,要注意它们的正负号.
势能属于系统所共有,平时讲物体的重力势能,实际上是物体与地球组成的系统所共有.又如,氢原子核外电子所具有的电势能,实际上应为氢原子所具有.
(4)深入理解动量和冲量的物理意义.
①弄清动量和动能的区别和联系.
动量和动能都是描述物体机械运动状态量的物理量,它们的大小存在下述关系:
它们都是相对量,均与参照物的选取有关,通常都取地球为参照物.
动量是矢量,动能是标量.
物体质量一定,若动能发生变化,动量一定发生变化;
若动量发生变化,动能不一定发生变化.例如物体做匀速圆周运动,动能不变,而动量时刻在变.
②正确理解冲量I=Ft.
I=Ft适用于恒力冲量的计算,是个矢量式,I和F是对应的,方向相同.某一恒力有冲量,该力不一定做功;
某一恒力做功,该力一定有冲量.
③弄清冲量和动量的关系.
合外力冲量是物体动量变化的原因,而非动量的原因.
2.熟练掌握动能定理和机械能守恒定律的应用
(1)运用动能定理要善于分析物理过程.
例如,总质量为M的列车,沿水平直线轨道匀速前进,其末节车厢质量为m,中途脱节.司机发觉时,机车已行驶L的距离,于是立即关闭发动机滑行.设运动的阻力与质量成正比,比例系数为k,机车的牵引力恒定.当列车的两部分都停止时,它们的距离是多少?
解本题时应注意,前面的列车从脱钩以后到停止,整个运动过程有两个阶段:
第一阶段牵引力没撤去时,列车做匀加速直线运动;
第二阶段为关闭发动机滑行阶段.运用动能定理时不必分阶段分别列式去研究,应该从整个过程考虑列以下方程式:
再对末节列车应用动能定理,有:
再从整体考虑,有F=kMg ③
本问题求解时也可假设中途脱节时,司机立即发觉并关闭发动机,则整个列车两部分将停在同一地点.然而实际上是行驶了距离L后才关闭发动机,此过程中牵引力做的功可看作用来补偿前面列车多行驶s克服阻力所做的功,即
kMgL=k(M-m)g△s
(2)运用动能定理解连接体问题时,要注意各物体的位移及速度的关系.
如图1-9-2所示,在光滑的水平面上有一平板小车M正以速度v向右运动.现将一质量为m的木块无初速地放上小车,由于木块和小车间的摩擦力的作用,小车的速度将发生变化.为使小车保持原来的运动速度不变,必须及时对小车施加一向右的水平恒力F.当F作用一段时间后把它撤去时,木块恰能随小车一起以速度v共同向右运动.设木块和小车间的动摩擦因数为μ.求在上述过程中,水平恒力F对小车做多少功?
本题中的m和M是通过摩擦相互联系的.题中已经给出最后两者速度均为v,解题的关键是要找出s车和s木的关系.
由于s车=vt,s木=vt/2,所以
s车/s木=2/1 ①
根据动能定理,对于木块有
对于车有 WF-μmgs车=0 ③
将①式、②式和③式联系起来,可得W=mv2.
3.强化动量守恒定律及其与功能关系的综合应用的训练
(1)重视动量守恒定律应用的思维训练.
例如下面这道试题.
如图1-9-3所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都记为n(n=1,2,3,…).每人手拿一个沙袋,x>0一侧的每个沙袋质量m=14kg;
x<0一侧的每个沙袋质量为m′=10kg.一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向x正方向滑行,不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度u朝与车相反的方向沿车面扔到车上,u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数).
(1)空车出发后,当车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?
(2)车上最终有大小沙袋共多少个?
先确定车上已有(n-1)个沙袋时,车与沙袋的动量大小p1,和第n个人扔出的沙袋动量大小p2.如果p2>p1,则车反向滑行;
若p1=p2就停止.要能运用不等式讨论,得出结果.题目中第
(2)问,车沿x负方向运动时,也应能用上述思维方法进行分析讨论.
(2)强化动量守恒定律与能量转化的综合计算.
动量守恒定律与机械能守恒定律是两个重要的守恒定律,一些物理过程常常需要运用这两个守恒定律进行处理,这就构造了一类动量和能量的综合题.详见后面例题.
(三)典型物理情景
[例1]一光滑球夹在竖直墙与放在水平面上的楔形木块间,处于静止.若对光滑球施一个方向竖直向下的力F,如图1-9-4所示,整个装置仍处于静止,则与施力F前相比较 [ ]
A.水平面对楔形木块的弹力增大
B.水平面对楔形木块的摩擦力不变
C.墙对球的弹力不变
D.楔形木块对球的弹力增大
分析与解答:
施加力F,相当于球“重”增加,这样按球“重”G增加来分析各个力的变化,就使问题简化了一层,从整体分析受力,不难得出水平面对楔形木块的弹力增加.
确定选项A正确.
但是,若简单地认为竖直方向的力增加,不会影响水平方向的力的变化,就认定选项B(甚至于选项C)也正确,就犯了片面分析的错误.
如果从另一角度稍加分析,不难看出球与墙之间是有相互作用力的,若没有墙,球就不可能静止.
以球为研究对象,其受力如图1-9-5所示,墙对球的弹力T和斜面对球的弹力N1分别为
T=Gtanθ,N1=G/cosθ
G增加,当然T、N1都增加.T增加,从整体看水平面对楔形木块的摩擦力f=T.因此四个选项中所涉及到的力都应是增大的.
本题选项A、D正确.
[例2]在图1-9-6所示的装置中,AO、BO是两根等长的轻绳,一端分别固定在竖直墙上的同一高度的A、B两点,∠AOB=120°
,用轻杆CO使OA、OB两绳位于同一水平面内,OD垂直于AB,轻杆OC与OD在同一竖直平面内,C端固定在墙上,∠COD=60°
.在结点O用轻绳悬挂重为G的物体,则绳OA受到的拉力大小为____;
杆OC受到的压力大小为____.
本题的“难”在于涉及三维空间,但是题目也明确给出了两个平面:
△AOB所在的水平面及△COD所在的竖直平面.本题应从我们熟悉的平面问题入手来解.
位于水平面内的AO、BO两绳等长,且整个装置左右对称,可见两绳的拉力相等,设为T,又已知∠AOB=120°
,因此,不但能确定两绳拉力的合力的方向是沿OD的,而且合力的大小也等于T.于是若OD为一绳,就可以取代(等效)AO、BO两绳的作用,题目就转化为如图1-9-7所示装置的问题,且求出OD绳的拉力就等于求出OA绳的拉力.
不难得出:
OC杆受压力:
N=G/sin60°
=2G
[例3]物体静止在光滑水平面上,先对物体施一水平向右的恒力F1,经t秒后物体的速率为v1时撤去F1,立即再对它施一水平向左的恒力F2,又经t秒后物体回到出发点时,速率为v2,则v1、v2间的关系是 [ ]
A.v1=v2 B.2v1=v2 C.3v1=v2D.5v1=v2
设物体在F1作用下,在时间t内发生的位移为s;
则物体在F2作用下,在时间t内发生的位移为-s;
根据平均速度的定义,以及在匀加速直线运动中平均速度与即时速度的关系,可得物体在F1作用下的平均速度
说明:
包括匀加速直线运动和匀加速曲线运动.对于匀加速直线运动,无论物体是否做往返运动,上式都成立;
对于匀加速直线运动,注意上式的矢量性.
[例4]从倾角为30°
的斜面上的A点以水平速度v0平抛出的小球,最后落在斜面上B点,如图1-9-8所示.求
(1)物体从A到B所需时间;
(2)若物体抛出时的动能为6J,那么物体落在B点时的动能为多少?
物体水平抛出后,做平抛运动,假设经过时间t落在斜面上的B点,则:
物体在水平方向上的位移为x=v0t
物体在竖直方向上的位移为y=gt2/2
如果物体落在B点的速度大小为v,则
[例5]如图1-9-9所示,置于光滑水平面上的斜劈上,用固定在斜面上的竖直挡板,挡住一个光滑球.这时斜面和挡板对球的弹力分别是N和T.若用力F水平向左推斜劈,使整个装置一起向左加速运动,则N与T的变化情况是N____,T____.
首先弄清静止时的情况,这是变化的基础.设球重G,斜面倾角θ,这是两个不变化的物理量.受力图已在原图上画出,静止时有
Ncosθ=G,Nsinθ=T
于是可得 N=G/cosθ,T=Gtanθ
当整个装置一起向左加速运动时,
N′cosθ=G,N′sinθ-T′=ma
于是可得 N′=G/cosθ,T′=Gtanθ-ma
因此,N′=N,T′<T
其实,这一问题,也可以这样思考:
整个装置一起向左加速运动时,在竖直方向上,系统依然处于平衡状态,所以球在竖直方向受合力仍然为零.即仍要满足N=G/cosθ,正是这一约束条件,使得斜面对球的弹力N不可能发生变化,于是使得重球向左加速运动,获得向左的合外力的唯一可能就是T减小了.
本题答案是N不变,T减小.
本题给我们的直接启示,是要树立“正交思维的意识”,即在两个互相垂直的方向上分析问题.
对比和联想,特别是解题之后的再“想一想”,是提高解题能力的“事半功倍”之法.譬如:
其一,本题若改为整个装置竖直向上加速运动,讨论各个力的变化情况时,绝不能简单地套用本题的结论,得出“N增大,T不变”的错误结论.同样应由竖直与水平两个方向的约束条件分析,由竖直方向向上加速,可得N增大;
由水平方向平衡,注意到N增大,其水平方向的分量也增大,T=Nsinθ,也会随之增大,“正交思维的意识”是一种思维方法,而不是某一简单的结论.
其二,本题还应从T减小联想下去——这也应形成习惯.挡板对球的弹力T的最小值是零.若T=0,可得出球以及整个装置的加速度a=gtanθ,这是整个装置一起向左加速运动所允许的最大加速度,加速度再大,球就相对斜面滑动了.
若a=gtanθ,既然T=0,那么挡板如同虚设,可以去掉,这样对斜劈的水平推力F的大小,在知道斜劈和重球的质量(M和m)的前提下,也可得F=(M+m)gtanθ.
[例6]质量分别为m1和m2的1和2两长方体物块并排放在水平面上,在水平向右的力F作用下,沿水平面加速运动,如图1-9-10所示,试就下面两种情况,求出物体1对物体2的作用力T.
(1)水平面光滑.
(2)两物块与水平面间的动摩擦因数μ相同.
分析与解答.
(1)以整个装置为研究对象,它们的加速度为a,则
再以物块2为研究对象,物块1对2的作用力T,有
(2)与上述过程相同.以整个装置为研究对象,它们的加速度为a′,则
再以物块2为研究对象,物块1对2的作用力T′,有
T′-μm2g=m2a′
两种情况的结论相同,这是因为与“光滑”情况相比较,两物块在运动方向上都各增加了一个力,而这个力是与两物块的质量成正比出现的,两物块的加速度为此改变了相同的值,并非它们之间相互作用力改变造成的;
反之,若两物块之间的相互作用力发生了变化,两物块在相反方向上改变了相同的值,为此它们的加速度将一个增加,一个减小,不可能再一起运动了.这与事实不符.
另外,1998年高考有一道类似的试题:
题中给出物块1的质量为2m,与水平面间的摩擦不计,物块2的质量为m,与水平面间的动摩擦因数为μ,同样在水平力F作用下加速运动,求物块1对物块2的作用力.
解的步骤依然是:
(3)以整个装置为研究对象,它们的加速度为a,则
所以 F=(M+m)g(tanθ+μ)
[例7]一平板车质量M=100kg,停在水平路面上,车身的平板离地面的高h=1.25m,一质量m=50kg的小物块置于车的平板上,它到车尾(左端)的距离b=1.00m,与车板间的动摩擦因数μ=0.20,如图1-9-11所示.今对平板车施一水平方向向右的恒力,使车向前行驶,结果物块从车板上滑落.物块刚离开车板的时刻,车向前行驶的距离s0=2.0m.求物块落地时,落地点到车尾的水平距离s.(不计路面与平板车以及轮轴之间的摩擦,取g=10m/s2)
车启动后,物块受向右的摩擦力f=μmg,同时车也受同样大小向左的摩擦力.物块与车都向右加速运动,物块能从左侧离开车,表明车的加速度a2大于物块的加速度a1.图1-9-12所示为从启动到物块将离开车时,它们的位移关系.
对物块:
初速度为零,加速度a1和位移s1大小分别为
a1=μg=2.0m/s2
s1=s0-b=1.0m
所用时间t1和末速度v1分别为
此间车的加速度a2和末速度v2分别为
由对车使用牛顿第二定律F-μmg=Ma2
作用于车向右的水平恒力F=500N
物块离开车板后,做平抛运动,到落地所用的时间
水平射程s′1=v1t2=1.0m
在物块做平抛运动这段时间内,车做匀速运动的加速度
a3=F/M=5m/s2
所以s=s2-s′1=1.625m
这道题要求同学能根据题给条件,对整个运动要有一个清晰的分析.对涉及的车子、小物块在整个过程的各个阶段的运动特点都有明确的概念.这样就不难根据有关规律列出它们在各个阶段的有关方程.这道题列出的联立方程较多,因而要求同学具有一定的应用数学工具处理物理问题的能力,和把比较复杂的问题一步一步演算到底的心理素质.
[例8]如图1-9-13所示,轻绳长L,一端固定在O点,另一端拴一个质量为m的小球,使小球在竖直平面内做圆周运动.欲使小球能通过最高点,试证明:
(2)小球通过最低点和最高点所受的绳拉力T1和T2之差有:
T1-T2=6mg.
由牛顿第二定律
由机械能守恒定律得
由①、②、③式得T1-T2=6mg
[例9]质量m=4×
103kg的汽车,发动机的额定功率为P0=40×
103W.若汽车从静止开始,以a=0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动,运动中受到大小恒定的阻力f=2×
103N,求:
(1)汽车匀加速运动的时间.
(2)汽车可达的最大速度Vm.
(3)汽车速度v=2vm/3时的加速度a1.
若对汽车发动机的额定功率缺乏正确的理解,那么,对本题所设两问就不可能理解,更不用谈正确的解.汽车发动机的额定功率是允许的最大输出功率,发动机的输出功率P等于汽车的牵引力F与速度v的乘积,即
P=Fv
就本题而言,应分两个阶段分析:
第一阶段,汽车从静止开始做匀加速直线运动,且阻力f恒定.因此,这一阶段汽车的牵引力恒定,由P=Fv可知,随汽车速度的增加,发动机的输出功率也将随之增加.
但是汽车发动机的功率不可能无限增加.在达到额定功率后,汽车速度再增加,只能导致牵引力F减小,从而加速度减小.但速度仍在增加,又会使牵引力减小,加速度减小,…<
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这就是为什么会有匀加速运动的时间之说.直到汽车的加速度为零时,即牵引力减小到与阻力平衡,汽车的速度才达可能的最大值vm,以后在额定功率下,汽车做匀速运动.
具体解法如下:
(1)汽车做匀加速直线运动,由牛顿第二定律得F-f=ma,F=4×
103N
汽车做匀加速运动的过程,发动机的输出功率随之增加,当达额定功率时,汽车匀加速运动可达的最大速度v′,有v′=P0/F
汽车匀加速运动所用的时间
t=v′/a=20s
(2)这以后汽车保持恒定的额定功率,做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度减为零时,速度达到最大值vm,此时有
vm=P0/f=20m/s
(3)v=2vm/3时,由于v>10m/s,所以汽车正处于加速度减小过程中.汽车的加速度(即时加速度)
图1-9-14是本题所述过程的v-t图线,t=20s前,汽车牵引力恒定,做匀加速直线运动,在t=20s后,汽车的功率恒定,做加速度逐渐减小(图线的斜率逐渐减小)的加速运动.不难看出,这两种启动方法物理过程是有所不同的.
为了把功率知识和牛顿第二定律与动能定理有机结合起来,还可讨论下面的问题:
①在汽车保持P0不变的启动过程中,当速度达到最大速度vm的一半时,加速度为多大?
②若汽车先以恒力F启动,达到v′m后再保持P0不变的运动.如果知道从v′m到刚达到v通过的位移s,那么汽车从静止开始到速度刚达到vm的时间为多少?
[例10]质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上.平衡时,弹簧的压缩量为x0,如图1-9-15所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连,它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量也为m时,它们恰能回到O点.若物块质量为2m,仍从A处自由落下,则物块与钢板回到O点时,还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.
对于这类综合题,要善于分析物理过程中各个阶段的特点及其遵循的规律,要注意两个物体在运动过程中相关量的关系.
质量为m的物块运动过程应分为三个阶段:
第一阶段为自由落体运动;
第二阶段为和钢板碰撞;
第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动,再一道回到O点.质量为2m的物块运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段,即2m物块在O点与钢板分离后做竖直上抛运动.弹簧
对于m:
第二阶段,根据动量守恒有mv0=2mv1 ②
对于2m物块:
第二阶段,根据动量守恒有2mv0=3mv2 ④
第三阶段,根据系统的机械能守恒有
又因 E′p=Ep ⑦
上几式联立起来可求出:
l=x0/2
同步练习
一、选择题
1.A球的质量为2m,以速度v0沿正x轴方向运动,B球的
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