13 函数的基本性质Word下载.docx

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，k≠0）

二次函数

（y＝ax2＋bx＋c，a≠0）

a＞0

a＜0

1．函数y＝f（x）在区间（a，b）上是减函数，x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，则有（　　）

A．f（x1）<

f（x2）　　B．f（x1）＞f（x2）

C．f（x1）＝f（x2）　　D．以上都有可能

2．下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（　　）

A．y＝3－x　　B．y＝x2＋1C．y＝

　　D．y＝－x2

3．下列命题正确的是（　　）

A．定义在（a，b）上的函数f（x），若存在x1，x2∈（a，b），使得x1<

x2时，有f（x1）<

f（x2），那么f（x）在（a，b）上为增函数

B．定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1<

C．若f（x）在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f（x）在I1∪I2上也一定为减函数

D．若f（x）在区间I上为增函数且f（x1）<

f（x2）（x1，x2∈I），那么x1<

x2

4．如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（　　）

A．

>

0B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>

C．f（a）<

f（x1）<

f（x2）<

f（b）D．

5．我们已知反比例函数y＝

的图象如图，它在区间（－∞，0）和（0，＋∞）都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？

为什么？

命题方向1　⇨利用图象求函数的单调区间

典题1如图为函数y＝f（x），x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间.

〔跟踪练习1〕据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．

典题2证明函数f（x）＝

在x∈[3,5]为增函数.

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：

2．用定义证明函数单调性时，作差f（x1）－f（x2）后，若f（x）为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；

若f（x）是分式函数，则“先通分”，再因式分解；

若f（x）解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．

〔跟踪练习2〕

（1）用单调性定义证明函数f（x）＝2x2＋4x在（－∞，－1]上是单调减函数．

（2）用定义证明，函数y＝

在（－1，＋∞）上为增函数．

命题方向3　⇨求函数的单调区间

典题3

（1）f（x）＝－2x2＋4x－3的增区间为____．

（2）f（x）＝

的减区间为___．

（3）作出函数f（x）＝|x－3|＋

的图象，并指出其单调区间.

『规律方法』　求函数单调区间的两个方法及三个关注点

（1）两个方法

方法一：

定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解．

方示二：

图象法，首先画出图象，根据函数图象求单调区间．

（2）三个关注点：

关注一：

求函数的单调区间时，要先求函数的定义域．

关注二：

对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用．

关注三：

函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

〔跟踪练习3〕画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

[分析]　函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图．根据图象指出单调区间．

　对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误

典题4若函数f（x）＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a的取值范围是____.

[错解]　函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，即a≤－2.

〔跟踪练习〕已知函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈（－2，＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，－2）时是减函数，则f

（1）等于（　　）

A．－3　　B．13

C．7　　D．由m决定的常数

1．等价转化思想

f（x）在区间D上单调递增，x1，x2∈D，则x1<

f（x2），f（x）在区间D上单调递减，x1，x2∈D，则x1<

典题5已知函数g（x）在R上为增函数，且g（t）>

g（1－2t），求t的取值范围.

〔跟踪练习4〕已知函数f（x）的定义域为[－2,2]，且f（x）在区间[－2,2]上是减函数，且f（1－m）＞f（m），求实数m的取值范围．

2．函数与方程思想、数形结合思想

函数、方程、不等式三者相互依存、相互转化．

典题6已知不等式

＋x－a>

0的解集为（4，＋∞），则实数a的值为____.

1．函数y＝f（x）的图象如图所示，其增区间是（　　）

A．[0,1]　　B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]　　D．[－3,4]

2．已知f（x）＝（3a－1）x＋b在（－∞，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，

）　　B．（

，＋∞）C．（－∞，

]　　D．[

，＋∞）

3．已知函数f（x）＝8＋2x－x2，那么下列结论正确的是（　　）

A．f（x）在（－∞，1]上是减函数B．f（x）在（－∞，1]上是增函数

C．f（x）在[－1，＋∞）上是减函数D．f（x）在[－1，＋∞）上是增函数

4．写出下列函数的单调区间.

（1）y＝|x|＋1____．

（2）y＝－x2＋ax____.

（3）y＝|2x－1|____.

（4）y＝－

____．

5．求证：

函数f（x）＝

在区间（0，＋∞）上是减函数，在区间（－∞，0）上是增函数.

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列函数在区间（0,1）上是增函数的是（　　）

A．y＝1－2x　　　B．y＝

C．y＝

　　D．y＝－x2＋2x

2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　）

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增

C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性

3．函数f（x）＝

的单调性为（　　）

A．在（0，＋∞）上为减函数B．在（－∞，0）上为增函数，在（0，＋∞）上为减函数

C．不能判断单调性D．在（－∞，＋∞）上是增函数

4．定义在R上的函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞）上是增函数，则下列关系成立的是（　　）

A．f（3）<

f（－4）<

f（－π）　　B．f（－π）<

f（3）

C．f（－4）<

f（－π）<

f（3）　　D．f（3）<

f（－4）

5．函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的单调递减区间是（　　）

A．[－

，＋∞）　　B．[－1，＋∞）C．（－∞，－

]　　D．（－∞，＋∞）

6．（2016～2017黄冈中学月考）函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>

f（－m＋9），则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）　　B．（0，＋∞）

C．（3，＋∞）　　D．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

二、填空题

7．已知f（x）＝

是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是____.

8．若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是____.

三、解答题

9．（2016～2017·

东营高一检测）证明函数f（x）＝x＋

在（2，＋∞）上是增函数.

10．若函数f（x）＝

在R上为增函数，求实数b的取值范围.

B级　素养提升

1．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（2x）>

f

（1）的实数x的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）　　B．（1，＋∞）

C．（

，＋∞）　　D．（－∞，

）

2．设（a，b），（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1＜x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（　　）

A．f（x1）＜f（x2）　　B．f（x1）＞f（x2）

C．f（x1）＝f（x2）　　D．不能确定

3．已知函数y＝ax和y＝－

在（0，＋∞）上都是减函数，则函数f（x）＝bx＋a在R上是（　　）

A．减函数且f（0）＜0　　B．增函数且f（0）＜0

C．减函数且f（0）＞0　　D．增函数且f（0）＞0

4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是（　　）

A．若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数

B．若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数

C．若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数

D．若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数

5．函数y＝－（x－3）|x|的递增区间为____.

6．已知函数f（x）是区间（0，＋∞）上的减函数，那么f（a2－a＋1）与f（

）的大小关系为____.

7．（2016～2017·

临汾高一检测）已知y＝f（x）在定义域（－1,1）上是减函数，且f（1－a）<

f（2a－1），求a的取值范围.

C级　能力拔高

1．函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，对任意的x，y∈（0，＋∞），都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且f（4）＝5.

（1）求f

（2）的值；

（2）解不等式f（m－2）≥3.

2．

（1）写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？

（2）写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：

（3）定义在[－4,8]上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，y＝f（x）的部分图象如图所示，请补全函数y＝f（x）的图象，并写出其单调区间，观察：

（4）由以上你发现了什么结论？

（不需要证明）

第二课时　函数的最值

1．最大值和最小值

最大值

最小值

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足；

对于任意的x∈I，都有

f（x）__≤__M

f（x）__≥__M

存在x0∈I，使得f（x0）＝__M__

结论

称M是函数y＝f（x）的最大值

称M是函数y＝f（x）的最小值

几何

意义

f（x）图象上最__高__点的纵坐标

f（x）图象上最__低__点的纵坐标

[知识拓展]　

（1）定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f（x）＝－x2（x∈R）的最大值为0，有f（0）＝0.

（2）最大（小）值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f（x）≤M（f（x）≥M）成立，也就是说，y＝f（x）的图象不能位于直线y＝M的上（下）方．

（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝M至少有一个交点．

2．最值

函数的最大值和最小值统称为函数的最值

几何意义

函数y＝f（x）的最值是图象最高点或最低点的__纵坐标__

说明

函数的最值是在整个定义域内的性质

[归纳总结]　二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）在定义域R上，当a＞0时，最小值是f（－

），不存在最大值；

当a＜0时，最大值是f（－

），不存在最小值．

1．在函数y＝f（x）的定义域中存在无数个实数x满足f（x）≥M，则（　　）

A．函数y＝f（x）的最小值为MB．函数y＝f（x）的最大值为M

C．函数y＝f（x）无最小值D．不能确定M是函数y＝f（x）的最小值

2．二次函数y＝－2（x＋1）2＋8的最值情况是（　　）

A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值

C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值

3．函数y＝

在[2,3]上的最小值为____，最大值为____；

在[－3，－2]上的最小值为____，最大值为___.

4．函数y＝x2－2x－3在[－2,0]上的最小值为____，最大值为____；

在[－1,2]上的最小值为____，最大值为____.

命题方向1　⇨利用图象求函数的最值

典题1

（1）求函数f（x）＝

的最值；

（2）写出函数f（x）＝|x＋1|＋|2－x|，x∈（－∞，3]的单调区间和最值.

『规律方法』　利用图象法求函数最值的一般步骤是：

〔跟踪练习1〕

（1）如图为函数y＝f（x），x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．

（2）作出函数y＝|x－2|（x＋1）的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．

命题方向2　⇨利用函数的单调性求最值

典题2利用单调性定义证明函数f（x）＝x＋

在[1,2]上的单调性并求其最值.

『规律方法』　1.利用函数单调性求最值的一般步骤：

（1）判断函数的单调性．

（2）利用单调性写出最值．

2．利用单调性求最值的三个常用结论

（1）如果函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则f（x）在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值．

（2）如果函数f（x）在区间（a，b]上是增函数，在区间[b，c）上是减函数，则函数f（x）在区间（a，c）上有最大值f（b）．

（3）如果函数f（x）在区间（a，b]上是减函数，在区间[b，c）上是增函数，则函数f（x）在区间（a，c）上有最小值f（b）．

〔跟踪练习2〕（2016·

包头高一检测）已知函数f（x）＝

.

（1）求证：

f（x）在[3,5]上为增函数；

（2）求f（x）在[3,5]上的最大值和最小值．

命题方向3　⇨实际应用中的函数最值问题

典题3某季节性商品当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设该商品开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平衡销售；

10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该商品已不再销售.

（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式；

（2）若此商品每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该商品第几周每件销售利润最大？

最大值是多少？

（注：

每件销售利润＝售价－进价）

〔跟踪练习3〕某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；

若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．假设一个旅行团不能超过70人．

（1）写出每张飞机票的价格关于人数的函数关系式；

（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

　忽视端点值致误

典题4已知函数f（x）＝

为R上的减函数，则实数a的取值范围为____.

[错解]　因为函数f（x）＝

为R上的减函数，所以f（x）＝（a－1）x－

a在（－∞，1]上是减函数，且f（x）＝（a＋1）x2在（1，＋∞）上是减函数，所以

解得a＜－1.

〔跟踪练习〕已知函数f（x）＝

，若f（x）在R上是减函数，求实数k的取值范围．

　逻辑推理训练——抽象函数

典题5已知函数f（x）的定义域是（0，＋∞），f（x·

y）＝f（x）＋f（y），对任意x，y∈（0，＋∞）都成立．当x>

1时，f（x）>

0.

（1）求f

（1）；

（2）证明f（x）在定义域上是增函数；

（3）如果f（

）＝－1，求满足不等式f（x）－f（x－2）≥2的x的取值范围．

〔跟踪练习4〕函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）＝4，则（　　）

A．f（x）在R上是减函数，且f

（1）＝3　　B．f（x）在R上是增函数，且f

（1）＝3

C．f（x）在R上是减函数，且f

（1）＝2　　D．f（x）在R上是增函数，且f

（1）＝2

1．函数y＝

在（0，＋∞）上（　　）

A．仅有最大值B．仅有最小值

C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，也无最小值

2．若定义在区间（0,3]上的函数y＝f（x）是减函数，则它的最大值（　　）

A．是f（0）　　　B．是f（3）C．是0　　D．不存在

3．函数y＝x2－x＋1的值域是（　　）

A．R　　B．[1，＋∞）C．[

，＋∞）　　D．（－∞，

]

4．若函数f（x）＝

，则x∈[3,5]的最大值为____，最小值为______.

5．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．求实数a的取值范围，使函数f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.

1．函数f（x）在区间[－2,5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　）

A．－2，f

（2）　　B．2，f

（2）C．－2，f（5）　　D．2，f（5）

2．函数y＝－3x2＋2在区间[－1,2]上的最大值为（　　）

A．－1　　　B．2C．0　　D．4

则f（x）的最大值与最小值分别为（　　）

A．10,6　　B．10,8C．8,6　　D．以上都不对

4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（　　）

A．2　　B．－2C．2或－2　　D．0

5．函数y＝x＋

的最值的情况为（　　）

A．最小值为

，无最大值B．最大值为

，无最小值

C．最小值为

，最大值为2D．无最大值，也无最小值

6．已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（　　）

A．－1　　B．0C．1　　D．2

7．已知函数f（x）＝2x－3，当x≥1时，恒有f（x）≥m成立，则实数m的取值范围是____.

8．已知函数f（x）＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是____.

9．已知函数f（x）＝x＋

＋2，其中x∈[1，＋∞）．

（1）试判断它的单调性；

（2）试求它的最小值.

10．已知函数f（x）＝|x|（x＋1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题.

（1）写出函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间[－1，

]的最大值．

1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是（　　）

A．y＝

＋2　　B．y＝3x－2C．y＝x2　　D．y＝1－x

2．（2016·

石家庄高一检测）若函数y＝2ax－b在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　）

A．1　　B．－1C．1或－1　　D．0

3．已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（　　）

4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）　　B．[0,2]C．（－∞，2]　　D．[1,2]

5．定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a，b，总有

＞0成立，且f（－3）＝2，f（－1）＝4，则f（x）在[－3，－1]上的最大值是____.

6．对于函数f（x）＝x2＋2x，在使f（x）≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f（x）＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为____.

1．（2016·

湖北孝感期中）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1－x）＝x2－3x＋3.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数g（x）＝f（x）－5x＋1在[m，m＋1]上的最小值为－2，求实数m的取值范围．

2．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（

）＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判定f（x）的单调性；

（3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2,9]上的最小值．

1.3.2　奇偶性

第一课时　函数的奇偶性

1．偶函数和奇函数

偶函数

奇函数

定

义

条

件

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有

f（－x）＝__f（x）__

f（－x）＝__－f（x）__

函数f（x）叫做偶函数

函数f（x）叫做奇函数

图象关于__y轴__对称

图象关于__原点__对称

[知识点拨]　

（1）奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；

由于f（－x）与f（x）都有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．

（2）函数f（x）是偶函数⇔对定义域内任意一个x，都有f（－x）－f（x）＝0⇔f（x）的图象关于y轴对称．

（3）函数f（x）是奇函数⇔对定义域内任意一个x，都有f（－x）＋f（x）＝0⇔f（x）的图象关于原点对称．

2．奇偶性

如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么就说函数f（x）具有__奇偶性__

图象关于原点或y轴对称

[归纳总结]　基本初等函数的奇偶性如下：

奇偶性

正比例函数（y＝kx，k≠0）

反比例函数（y＝

一次函数（y＝kx＋b，k≠0）

b＝0

b≠0

二次函数（y＝ax2＋