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当x=5时,x-3=2.
这个两位数是36或25.
02 中档题
9.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场(B)
A.4个B.5个
C.6个D.7个
10.在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同,会议结束后统计共签订了78份合同,问有多少家公司出席了这次交易会?
设有x家公司出席了这次交易会,根据题意,得
x(x-1)=78.
解得x1=13,x2=-12(舍去).
有13家公司出席了这次交易会.
11.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×
3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和是多少?
设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意,得x(x+16)=192.
解得x1=8,x2=-24(舍去).
故最小的三个数为8,9,10,下面一行的数字为15,16,17;
再下面一行三个数字为22,23,24.所以这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
12.(襄阳中考)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
(1)设每轮传染中平均每人传染了x人,则
1+x+x(x+1)=64.
解得x1=7,x2=-9(舍去).
每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)64×
7=448(人).
第三轮将又有448人被传染.
第2课时 用一元二次方程解决增长率问题
知识点1 平均变化率问题
1.(随州中考)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次,2016年约为28.8万人次.设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是(C)
A.20(1+2x)=28.8
B.28.8(1+x)2=20
C.20(1+x)2=28.8
D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8
2.(巴中中考)某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元.已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是(B)
A.560(1+x)2=315
B.560(1-x)2=315
C.560(1-2x)2=315
D.560(1-x2)=315
3.(新疆中考)某加工厂九月份加工了10吨干果,十一月份加工了13吨干果.设该厂加工干果重量的月平均增长率为x,根据题意可列方程为10(1+x)2=13.
4.(十堰中考)某种药品原来售价100元,连续两次降价后售价为81元,若每次下降的百分率相同,则这个百分率是10%.
5.(广东中考)某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x,根据题意,得
400×
(1+10%)(1+x)2=633.6.
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.
知识点2 市场经济问题
6.(泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;
若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?
设每盆多植x株,则可以列出的方程是(A)
A.(3+x)(4-0.5x)=15
B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15
D.(x+1)(4-0.5x)=15
7.(达州中考)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调査,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,则每件童装应降价多少元?
设每件童装应降价x元,可列方程为(40-x)(20+2x)=1_200.
8.某商店从厂家以21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖(350-10a)件,但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?
每件商品的售价为多少元?
由题意,得(a-21)(350-10a)=400,
解得a1=25,a2=31.
∵物价局限定每件加价不能超过进价的20%,
∴商品的售价不超过25.2元.
∴a=31不合题意,舍去.
∴350-10a=350-10×
25=100.
每件商品的售价为25元,需要卖出100件.
9.(黔西南中考)某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,如果每月的增长率x相同,那么(C)
A.50(1+x2)=196
B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196
D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
11.据报道,某省农作物秸秆的资源巨大,但合理利用量十分有限,2015年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧了,假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使2017年的利用率提高到60%,求每年的增长率.(取
≈1.41)
设该省每年产出的农作物秸秆总量为1,合理利用量的增长率为x,由题意,得
1×
30%·
(1+x)2=1×
60%.
解得x1≈0.41,x2≈-2.41(不合题意,舍去).
该省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.
13.一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买一批树苗,园林公司规定:
如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元;
如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?
∵60棵树苗售价为120×
60=7200(元)<8800元,
∴该校购买树苗超过60棵.
设该校共购买了x棵树苗,由题意,得
x[120-0.5(x-60)]=8800,
解得x1=220,x2=80.
当x=220时,120-0.5×
(220-60)=40(元)<100元,舍去.
当x=80时,120-0.5×
(80-60)=110(元)>100元,
∴x=80.
该校共购买了80棵树苗.
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
知识点1 一般图形的问题
1.(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(B)
A.x(x-10)=900B.x(x+10)=900
C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=900
2.(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米,则根据题意可列出关于x的方程为(B)
A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6
C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=6
3.(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是12m.
4.一个直角三角形的两条直角边相差5cm,面积是7cm2,这两条直角边长分别为2_cm、7_cm.
5.已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,求x.
根据题意,得(x+1)2-1=24,
即(x+1)2=25.
解得x1=4,x2=-6(不符合题意,舍去).
所以x=4.
知识点2 边框与甬道问题
6.(兰州中考)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长,设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为(C)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18
D.x2+3x+16=0
7.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644平方米,则道路的宽应为多少米?
设道路的宽为x米,则可列方程为(C)
A.100×
80-100x-80x=7644
B.(100-x)(80-x)+x2=7644
C.(100-x)(80-x)=7644
D.100x+80x=356
8.如图所示,相框长为10cm,宽为6cm,内有宽度相同的边缘木板,里面用来夹相片的面积为32cm2,则相框的边缘宽为多少cm?
设相框的边缘宽为xcm,根据题意,得(10-2x)(6-2x)=32.
整理,得x2-8x+7=0,
解得x1=1,x2=7.
当x=7时,6-2×
7=-8<0,不符合题意,舍去.
相框的边框宽为1cm.
10.(襄阳中考)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?
设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm,则平行于住房墙的一边长为(26-2x)m.依题意,得
x(26-2x)=80.
解得x1=5,x2=8.
当x=5时,26-2x=16>
12(舍去);
当x=8时,26-2x=10<
12.
所建矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
小专题(三) 一元二次方程的实际应用
1.有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小2,十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数,求这个两位数.
设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x+2).根据题意,得
3x(x+2)=10x+(x+2),整理得3x2-5x-2=0,解得x1=2,x2=-
(不合题意,舍去).
当x=2时,x+2=4.
这个两位数是24.
2.(毕节中考)为进一步发展基础教育,自2014年以来,某县加大了教育经费的投入,2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该县投入教育经费多少万元.
(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意,得6000(1+x)2=8640.
该县投入教育经费的年平均增长率为20%.
(2)因为2016年该县投入教育经费为8640万元,且增长率为20%,
所以2017年该县投入教育经费为8640×
(1+0.2)=10368(万元).
预算2017年该县投入教育经费10368万元.
3.陶铸中学初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后,写了一份《改变,从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播,规则为:
将倡议书发表在自己的朋友圈,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有421人参与了传播活动,求n的值.
由题意,得
n+n2+1=421,解得n1=-21(舍去),n2=20.答:
n的值是20.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动;
同时,点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动,几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2?
设xs后△DPQ的面积等于28cm2,则△DAP、△PBQ、△QCD的面积分别为
×
12x、
2x(6-x)、
6×
(12-2x).根据题意,得
12-
12x-
2x(6-x)-
(12-2x)=28,
即x2-6x+8=0.解得x1=2,x2=4.答:
2s或4s后,△DPQ的面积等于28cm2.
5.如图,某市近郊有一块长为60米,宽为50米的矩形荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,其中阴影部分为通道,通道的宽度均相等,中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为a米)区域将铺设塑胶地面作为运动场地.
(1)设通道的宽度为x米,则a=
(用含x的代数式表示);
(2)若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米.请问通道的宽度为多少米?
根据题意,得(50-2x)(60-3x)-x·
=2430,
解得x1=2,x2=38(不合题意,舍去).答:
中间通道的宽度为2米.
6.盐城春秋旅行社为吸引市民组团去盐渎风景区旅游,推出了如图所示的收费标准.某单位组织员工去盐渎风景区旅游,共支付给盐城春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去盐渎风景区旅游?
设该单位这次共有x名员工去盐渎风景区旅游.因为1000×
25=25000(元)<27000元,所以员工人数一定超过25人.
则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.
整理,得x2-75x+1350=0,解得x1=45,x2=30.
当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;
当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.
该单位这次共有30名员工去盐渎风景区旅游.
7.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品,根据物价部门规定:
该产品每千克售价不得超过90元,在销售过程中发现的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系,对应关系如下表:
售价x(元/千克)
…
50
60
70
80
销售量y(千克)
100
90
(1)求y与x的函数关系式;
(2)该批发商若想获得4000元的利润,应将售价定为多少元?
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据题意,得
解得
故y与x的函数关系式为y=-x+150(0<x≤90).
(2)根据题意,得(-x+150)(x-20)=4000,
解得x1=70,x2=100>90(不合题意,舍去).
该批发商若想获得4000元的利润,应将售价定为70元.
8.如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,请观察下列图形,并解答有关问题:
(1)在第n个图中,第一横行共(n+3)块瓷砖,第一竖列共有(n+2)块瓷砖,铺设地面所用瓷砖的总块数为n2+5n+6(用含n的代数式表示);
(2)上述铺设方案,铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值;
(3)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?
请通过计算加以说明.
(2)根据题意,得n2+5n+6=506,
解得n1=20,n2=-25(不符合题意,舍去).
此时n的值为20.
(3)根据题意,得n(n+1)=2(2n+3),
解得n=
(不符合题意,舍去).
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积
知识点 二次函数与图形面积
1.(六盘水中考)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)
A.60m2
B.63m2
C.64m2
D.66m2
2.(咸宁中考)用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,那么a的值不可能为(D)
A.20B.40C.100D.120
3.(定西中考)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°
,BC=4,点P是△ABC边上一动点,沿B→A→C的路径移动,过点P作PD⊥BC于点D,设BD=x,△BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是(B)
4.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图),已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.
5.如图,在△ABC中,∠B=90°
,AB=8cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2s.
6.将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是
cm2.
7.已知直角三角形两条直角边的和等于20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大?
最大值是多少?
设直角三角形的一直角边长为x,则另一直角边长为(20-x),其面积为y,则
y=
x(20-x)=-
x2+10x=-
(x-10)2+50.
当x=10时,面积y值取最大,y最大=50.
8.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?
最大为多少?
(材质及其厚度等暂忽略不计)
根据题意,得y=20x(
-x).
整理,得
y=-20x2+1800x
=-20(x2-90x+2025)+40500
=-20(x-45)2+40500.
∵-20<0,
∴当x=45时,函数有最大值,y最大=40500.
即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cm3.
10.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:
cm2)随其中一条对角线的长x(单位:
cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?
最大面积是多少?
(1)S=-
x2+30x.
(2)∵S=-
x2+30x=-
(x-30)2+450,
且a=-
<0,
∴当x=30时,S有最大值,最大值为450.
即当x为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cm2.
第2课时 二次函数与商品利润
知识点 销售中的最大利润
1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)
A.y=-10x2-560x+7350
B.y=-10x2+560x-7350
C.y=-10x2+350x
D.y=-10x2+350x-7350
2.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,该件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为(A)
A.5元B.10元
C.0元D.6元
3.出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x=3元时,一天出售该种文具盒的总利润最大.
4.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为:
每投入x万元,可获得利润P=-
(x-60)2+41(万元).每年最多可投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值是205万元.
5.(天水中考)天水“伏羲文化节”商品交易会上,某商人将每件进价为8元的纪念品,按每件9元出售,每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润,经试验,发现这种纪念品每件提价1元,每天的销售量会减少4件.
(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式;
(2)每件售价定为多少元,才能使一天所得的利润最大?
最大利润是多少元?
(1)由题意,得y=(x-8)[20-4(x-9)],
化简,得y=-4x2+88x-448(9≤x≤14).
(2)y=-4x2+88x-448=-4(x-11)2+36.
所以当x=11时,y最大=36.
每件售价定为11元时,一天所得的利润最大,最大利润是36元.
6.(云南中考)草莓是云南多地盛产的一种水果.今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元.经试销发现,销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,下图是y与x的函数关系图象.
(1)求y与x的函数解析式,请直接写出x的取值范围;
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W的最大值.
(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b,
∵图象经过点(20,300),(30,280),
∴
∴y与x的函数解析式为y=-2x+340(20≤x≤40).
(2)W=y(x-20)=(-2x+340)(x-20)=-2x2+380x-6800=-2(x-95)2+11250.
∵-2<0,∴当x≤95时,W随x的增大而增大.
∵20≤x≤40,
∴当x=40时,W最大=-2(40-95)2+11250=5200(元).
12.(咸宁中考)某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件.为了促销,该店决定降价销售
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- 应用题 综合 归纳 二次方程 二次 函数