平行线的特征m.docx
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平行线的特征m.docx
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平行线的特征m
平行线的特征
【基础知识精讲】
本单元主要学习与探索平行线的特征,在经历观察、操作、推理、交流等学习过程中,要求掌握平行线的特征,并能解决一些问题.要求进一步发展空间观念,培养推理能力、有条理表达的能力.
【重点难点解析】
本单元的重点是平行线的特征.我们知道,由两条直线平行,得到角相等或互补关系的结沦是特征;而由角的相等或互补关系,得到两条直线平行的结论是识别方法.所以要正确区分平行线的特征和识别方法是很重要的.
1.掌握平行线的特征(性质);(这是重点,也是难点,要掌握好)
2.会用平行线的特征(性质)进行简单的推理或计算;
3.能正确区分平行线的判定和性质.
B.考点指要
平行线的特征(性质)是平面几何的重要内容之一,也是中考的重要内容之一.
平行线的特征(性质):
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.(与平行线的判定相反,要注意辨别)
几何中,图形之间的“位置关系”往往都与某种“数量关系”有着内在的联系,两者往往相互确定.平行线的判定就是根据同位角、内错角的“相等”或同旁内角的“互补”这种“数量关系”,判定两条直线“平行”这种“位置关系”;而平行线的性质就是在两条直线平行的“位置关系”下,得出两个角的“数量关系”,即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.在学习中要注意用“数量关系”来确定“位置关系”,用“位置关系”来确定“数量关系”.平行线的判定与性质的内容刚好相反,学习时要正确区分判定和性质.
(位置关系是从定性的角度研究,数量关系是从定量的关系研究,这两个角度是研究数学问题常见的两个方面)
【难题巧拨解析】
例1如图,AB∥CD,求证:
∠E=∠A+∠C.
证法一:
如下图,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD(已知),
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行),
∴∠AEF=∠A,∠CEF=∠C(两直线平行,内错角相等),
∴∠AEC=∠A+∠C(等式性质).(作出辅助线研究几何问题的常用方法)
即∠E=∠A+∠C.
证法二:
如上右图,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD(已知),
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行),
∴∠A+∠AEF=180°,
∠C+∠CEF=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°(等式性质),
又∵∠AEC+∠AEF+∠CEF=360°(已知)
∴∠AEC=∠A+∠C(等量代换),
即∠E=∠A+∠C.
注以上两种证法都用到了平行线的性质,除此之外,请同学们作如下思考:
(1)试设想其他不同的证明方法;
(2)若变换图形或条件,你又会得到什么结论?
例2如图,AB∥CD,AD∥BC,∠B和∠D相等吗?
为什么?
思路分析
本题的已知条件“平行”与要说明的∠B和∠D相等与否没有关系,因此首先要分析清楚∠B和∠D的位置关系.下面用两种方法说明∠B和∠D相等.
解法一:
∠B和∠D相等.推理过程如下:
∵AB∥CD,AD∥BC(已知),
∴∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠B=∠D(同角的补角相等).
解法二:
∠B和∠D相等.推理过程如下:
如图,连结BD.
∵AB∥CD,AD∥BC(已知),
(作出辅助线创造条件使用平行线的性质)
∴∠ABD=∠BDC,∠CBD=∠ADB(两直线平行,内错角相等),
∴∠ABD+∠CBD=∠BDC+∠ADB(等式性质),
∴∠B=∠D.
注在推理过程中,相同的推理步骤可以写在一起,如本例解法一和解法二中的第一步推理.
例3如图,已知AB∥CD,∠BAE=40°,∠ECD=62°,EF平分∠AEC.求∠AEF的度数.
思路分析
要求∠AEF的度数,就要先求出∠AEC的度数.由于AB∥CD,而∠AEC并不是与这两条平行线有直接的联系.怎样才能使∠AEC与已知条件之间架起一座桥呢?
解:
过E点作EG∥AB.
∵AB∥CD(已知),
∴EG∥CD(两条直线都平行于第三条直线,这两条直线也互相平行).
∴∠AEG=∠BAE=40°,
∠CEG=∠ECD=62°(两直线平行,内错角相等),
∴∠AEC=∠AEG+∠CEG=40°+62°=102°.
∵EF平分∠AEC(已知),
∴∠AEF=∠AEC=51°(角平分线定义).
注∠AEF和∠BAE虽然也是一对内错角(AB、EF被AE所截得的内错角),但是它们是不相等的.因此要特别注意,内错角相等要在平行线的条件下才具备;解题中作EG∥AB,这是利用平行线的性质,使问题得以转化而添加的辅助线(为了解决问题的需要添加的线称为辅助线,一般用虚线表示).但是不可以同时作EG∥AB,EG∥CD,这里的EG∥CD是由推理的方法得到的.实际上由例1可得∠AEC=∠A+∠C=102°.当然由例1的证法二我们可以有另一种作辅助线的方法,也就有另一种计算∠AEC的度数的方法.
例4如下图,已知CB⊥AB,点E在AB上,且CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,∠EDC+∠DCE=90°.求证:
DA⊥AB.
证法一:
∵DE平分∠ADC(已知),
∴∠ADC=2∠EDC(角平分线定义),
∵CE平分∠BCD(已知),
∵∠BCD=2∠DCE(角平分线定义).
∴∠ADC+∠BCD=2∠EDC+2∠DCE=2(∠EDC+∠DCE).
∵∠EDC+∠DCE=90°(已知),
∴∠ADC+∠BCD=2×90°=180°,
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
又∵CB⊥AB(已知),∴DA⊥AB.
证法二:
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°(三角形的内角和为180°),
又∵∠EDC+∠DCE=90°(已知),
∴∠DEC=90°(等式性质).
∵CB⊥AB(已知),
∴∠B=90°.
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-∠DCE.
∴∠AED=90°-∠BEC=∠DCE.
同证法一,得∠EDC+∠DCE=90°,
∴∠AED+∠EDA=90°,
∴∠A=90°,
∴DA⊥AB.
注通过平行线的判定和性质,可以研究和解决两条直线互相垂直的位置关系,类似这样的问题会经常遇到.
【典型热点考题】
例1如图2—37,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于正、F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=______度.
(2002年,河南)
点悟:
如何求∠2?
——观察图形,分析条件,知道AB∥CD,故∠2=∠3,再联系角平分线EG及已知∠1的度数,故可求∠2.
解:
∵AB∥CD,∴∠2=∠3.
又∴∠BEF+∠1=180°,
∴∠BEF=180°-∠1=180°-72°=108°.
∵EG平分∠BEF,
∴
故∠2=54°.
点拨:
本题的解答,充分利用了平行线的特征:
两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.
例2如图2—38,AB∥CD,AD∥BC,∠B与∠D相等吗?
为什么?
点悟:
如何寻求∠B与∠D的关系?
——因为∠B与∠D不是同位角、内错角以及同旁内角.所以不容易利用两对直线平行的条件.我们另辟蹊径:
连结肋,把∠B、∠D各分成两个角,再想办法利用已知条件。
解:
连结BD.
∵AB∥CD,AD∥BC(已知),
∴∠1=∠3,∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).
∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式性质),
即∠B=∠D.
点拨:
本题属于结论开放性题目.∠B与∠D是什么关系?
相等还是不相等?
请你去探索、分析,得到结论并说明你所得结论成立的理由.请同学们细心琢磨呵!
例3已知:
如图2—39,直线MN的同侧有三个点A、B、C,且AB∥MN,BC∥MN.
求证:
A、B、C三点在同一直线上.
点悟:
合理的思维起点是过B点作BE交MN于E,借助平行线的特征,想办法证明∠1+∠3=180°.即想办法证明∠1+∠3是—个平角.如图2—39.
证明:
过B点作BE交MN于E.
∵AB∥MN(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).
∵BC∥MN(已知),
∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).
又∵∠2+∠4=180°(平角的定义)
∴∠1+∠3=180°(等量代换)
∴A、B、C三点在同一直线上.
点拨:
本题提供的证明三点共线的方法是一种典型方法,请同学认真体会。
例4已知:
如图2—40,AB∥CD.
求证:
∠D+∠E+∠B=360°
点悟:
如何充分而恰当的利用AB∥CD证出∠D+∠E+∠B=360°是思维的关键.于是容易联想过E点作EF∥AB.此时有两条思维途径:
一条是过E点向右作EF∥AB;一条是过E点向左作EF∥AB。
于是得到两种证明方法.
证法一:
过E点作EF∥AB,如图2—41
∴∠B=∠BEF(两直线平行,内错角相等).
又∵AB∥CD(已知),
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
∴∠FED=∠D(两直线平行,内错角相等).
∵∠DEB+∠BEF+∠FED=360°(周角定义),
∴∠E+∠B+∠D=360°(等量代换).
证法二:
过E点作EF∥AB.如图2—42
∴∠B+∠FEB=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵AB∥CD(已知),
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线相互平行).
∴∠D+∠FED=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠FEB+∠D+∠DEF=360°(等式性质).
即∠B+∠E+∠D=360°
点拨:
两种证法,反映了有效思维的两种途径.方法不同,但都可获得证明,这恰反映了思维的灵活性和广阔性.
例5求证:
三角形的内角和等于180°.
点悟:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C是三个内角.想要证明∠A+∠B+∠C=180°,也就是要想法证明∠A+∠B+∠C=一个平角.也就是想法把三个角集中到一块,用什么方法好呢?
——利用平行线特征,这就需要过A点作一条平行线,即可达到目的.
证明:
如图2—43,
过A作EF∥BC.
∴∠B=∠1,∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠BAC+∠2=180°,
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.(等量代换)
点拨:
(1)聪明的同学会问:
过A点作EF∥BC,可达到证明的目的;那么过B点或C点作平行线是不是也可行?
——均可行.这就是思维的灵活性;
(2)让思维飞扬起来:
本题可以推广吗?
——可以.三边形(即三角形)的内角之和为180°;
四边形的内角和为2×180°(如图2—44);
五边形的内角和为3×180°;
……;
n边形的内角和为(n-2)180°(n边形可以分为(n-2)个小三角形的内角和).
【易错例题分析】
例如图2—45,AB∥CD,若∠ABE=120°,∠DCE=35°,则∠BEC=___________.
(2002年,广州)
点悟:
如何求∠BEC∵AB∥CD,作EF∥AB,把∠BEC分成∠1、∠2,再分别求出∠1、∠2即可.
解:
过E点作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
则∠1=180°-∠ABE=180°-120°=60°,∠2=∠DCE=35°.
∴∠BEC=∠1+∠2=60°+35°=95°.
警示:
如果思维受阻,联想不到作EF∥AB,则会陷于束手无策的困境中.
【同步达纲练习】
一、选择题
1.如图2—46,两条直线被第三条直线所截,则()
A.同位角必相等B.内错角必相等
C.同旁内角必互补D.同位角不一定相等
2.下列说法正确的
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