立体几何高考题汇编.docx
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立体几何高考题汇编
立体几何测试(高考题汇编)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.(2013(理))设心"是两条不同的直线,久〃是两个不同的平而,下列命题中正确的是()
A若a丄0加ua“u0则〃?
丄ng若all卩muanu0则m//n
C.若〃?
丄n、muanu0则a丄0D若加丄a加〃幵,"〃0,则a丄0
【答案】D
2.(2013年高考大纲卷(文))已知正四棱锥
ABCD-\B}CXDX中,A4,=2AB,则CD与平面BDC,所成角的正弦值等于()
A.1B.逅C.返D.i
3333
【答案】A
3.(2013(理))在空间中,过点A作平面龙的垂线,垂足为B,记B=A(A).设a、卩是两
个不同的平而,对空间任意一点P,S=fffl.fa(P)],Q=.41.//P)],恒有PQ}=PQ2,
则()
A.平而a与平而尸垂直B.平而a与平而0所成的(锐)二而角为45°
C.平面a与平面戸平行D.平而a与平而0所成的(锐)二面角为60°
【答案】A
4.(2013春季高考)若两个球的表而积之比为1:
4,则这两个球的体积之比为()
A.1:
2B.1:
4C.1:
8D.1:
16
【答案】C
5.(2013(理))某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是
1416
A.4b.3c.3D.6
【答案】B
9
6.(2013数:
理))已知三棱柱ABC-AQG的侧棱与底而垂直,体积为底而是边长为J?
的正三角形•若P为底而AEG的中心,则朋与平而ABC所成角的大小为()
n7t7t
A.12B.3C.4D.6
【答案】B
7.(2013年高考卷(文))已知三棱柱ABC-A.B,G的6个顶点都在球O的球而上,若
AB=3,AC=4,AB丄AC,AA=12,则球O的半径为()
A.如b.2屎C.匕D.3应
22
【答案】C
8(2013新课标II(理))已知〃M为异而直线,川丄平而Q,n丄平面0•直线/满足
I丄mJ丄nJ A.allp,且///a C.a与0相交,且交线垂直于/ 【答案】D B.a丄0,且/丄0 D.a与0相交,且交线平行于/ AB=3,AC=4,AB丄AC,4A=12,则球O的半径为 A・上耳B・2^10C・—D・3>/10 22 【答案】c 10.(2013(理))如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平而a上,且ABIICD,正方体的六个而所在的平面与直线CE,EF相交的平而个数分别记为"儿那么m+n= A.8B・9C・10D・11 【答案】A 11.(2013新课标II(理))一个四而体的顶点在空间直角坐标系0「哄中的坐标分别是 (1Q1),(LLO),((H1),(O・O・O),画该四而体三视图中的正视图时,以zOx平而为投影而,则得 () A.B・C・D・ 【答案】A 12.(2013(理))在下列命题中,不是公理的是() •• A.平行于同一个平而的两个平而相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平而 C.如果一条直线上的两点在一个平而,那么这条直线上所有的点都在此平而 D・如果两个不重合的平而有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 13.(2013(文))某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为• 正(主)视图侧(左)视图 俯视图 【答案】3 14・(2013(理))在xOy平而上.将两个半圆狐(x-1)2+/=l(x>1)和(x-3)2+y2=l(x>3)、两条直线y=l和y=-\m成的封闭图形记为D,如图中阴影部分•记D绕y轴旋转一周而成的几何体为。 ,过(0,>•)(! }'1<1)作Q的水平截而,所得截面面积为4/rJl_y2+8/r,试利用祖临原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出G的体积值为 【答案】2/+16兀. 15.(2013(理))某几何体的三视图如图所示,则其体积为・ 【答案丐 底而圆周上两个不同的点,是母线,如图•若F直线Q4与BC所成角的大小为冬,则 6 丄= 【答案】V3 三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(2013(文))如图,直四棱柱ABCD-AbCJX中,AB//CD,AD丄AB,AB=2,AD"2AAx=3,E为CD上一点,DE二1,EC二3 (1)证明: BE丄平面BBGC; (2)求点Bl到平面EAG的距离 BF=AD=屁EF=AB-DE=XFC=2 在&ABFE中,BE=*,RtABFC^,BC=y/6. 在ABCE中,因为BE2+BC2=9=EC29故BE丄BC 由BQ丄平面ABCD,得BE丄BBV所以BE丄平面BB.C.C ⑵三棱锥E-A爲G的体积V=\aA^S^c=42 在中,*=Ja/+比寻3近, 同理,EC\=Jec2+CC: 二3迈,EA^AD2+ED2+A4,2=2^ 因此S*c声=3>/5•设点B1到平而EA.C,的距离为d,则三棱锥坊-的体积 ▼=[•〃•=y/5d,从而辰=忑卫=四~ 中,PA丄底而ABCD,BC=CD=2,AC=4,ZACB=ZACD=-,F为PC的中3 点,AF丄PB・ 【解析】(I)如答(19)图.连接BD^AC^O.因为BC=CD. HP为等腰三角形,又”•平分/3CQ.故JC丄的•以O为坐 标原点.亦.OC.AP的方向分别为工轴,丿轴.三轴的正方向.建立 空间直角坐标系0勺厂则OC=CZZosh-=,而JC=4,得 AO=AG-0(=3,又OQ=CDgin£=Jf,故力(—3,(,b(低o,o),c(o」,o),D=(-JIao). 咧丄底咖Q可设卍TR由”欣边中点"7訐 19.(2013(理))如图,在四而体A-BCD中,AD丄平面 BCD,BC丄CD,AD=2、BD=24i.M是AQ的中点,P是BM的中点,点0在线段AC上且AQ=3QC. ⑴证明: PQ//平而BCD; (2)若二而角C—BM—D的大小为60°,求ZBDC的大 【答案】解: 证明(【)方法一: 如图6,取MD的中点F,且M是AD中点,所以 AF=3FD.因为P是中点,所以PF//BD;又因为(\)AQ=3QC且 AF=3FD,所以QF//BD,所以而PQF//而BDC,且P0u而BDCt所以 P0//而BDC; 方法二: 如图7所示,取3D中点O,且P是3M中点,所以PO//-MDMCD的三等 =2 分点H,使DH=3CH,且AQ=3QC,所以QH//-AD//-MD,所以=4=2 PO/JQH: .PQHOH,且OHuBCD,所以PQ//而BDC; (II)如图8所示,由已知得到面丄而BDC,过C作CG丄于G,所以CG丄BMD,过G作GH丄BM于H,连接CH,所以ZCHG就是C-BM-D的二而角;由已知得到BM=7877=3,设=所以 在RTABCG中,ZBCG=a: .sina=—/.BG=2>/2sin2a,所以在RTABHG BC 中,-=-HG=2-2sin'^,所以在忆TACHG中 2V2sin2a33 /cs/rCG2->/2cosasincrtanZCHG=tan60=>/3=——=…; HG2>/2sin2a 3 /.tana=馅ae(0,90)a=60/.ZBDC=60; 20.(2013春季高考)如图,在正三棱锥ABC一ABG中,必]=6,异面直线BC,与人人所 【答案】[解]因为CC]AA|・ 所以ZBC|C为异而直线BC、与A4]•所成的角,即ZBC|C二-. 6 在RtABC.C中,BC=CC.-tanZ.BC.C=6x-=2>/3, 13 从而Swe 因此该三棱柱的体积为V=Sy肚・马=3苗・6=18・ 21.(2013(理))如图,在长方体ABCD-扎BCD冲,AB二2,AD二1,AiA二1,证明直线BC,平行于平而DAC并求直线BG到平而DxAC的距离. 【答案】因为ABCD-AbCD为长方体,故AB〃CiD「AB=C】D], 故ABCD为平行四边形,故BC】IIAD、,显然B不在平而DJC上,于是直线BC: 平行于平而DA: C; 直线BC: 到平而D: AC的距离即为点B到平而D.AC的距禽设为〃 考虑三棱锥ABCD: 的体积,以ABC为底面,nIWV=-x(-xlx2)xl=- 323 而AADtC中,AC=D[C=yf5.AD[故=- 2 13127 所以,V=-x-x/? =-=>/? =二,即直线BG到平而D: AC的距离为二. 32333 22.(2013(理))如图1,在等腰直角三角形A3C中,ZA=90°,BC=6,分别是 AC,AB上的点,CD=BE=迈,O为BC的中点.将AAPE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A-BCDE,其中A'O=y/3. (I)证明: A'O丄平而BCDE;(II)求二面角A'—CD—B的平面角的余弦 值. 【答案】(I)在图1中,易得OC=3、AC=3^、AD=2^ 连结ODQE,在△OCD中,由余弦立理可得 OD=x/0C2+CD2-2OCCDcos45°=巧 由翻折不变性可知A! D=2V2, 所以A'O2+OD2=A'D2,所以A'O丄O£>, 理可证q'o丄oe,又od^oe=0,所以q'o丄平^bcde. (II)传统法: 过0作OH丄CQ交CD的延长线于连结A,H, 因为KO丄平面BCDE,所以477丄CD, 所以ZA77O为二面角A'-CD-B的平面角. 结合图1可知,H为4C中点,故OH=—,从而A'H=JohGo乔=— 所以cos乙A! HO=-^-=—,所以二而角A'—CD—B的平而角的余弦值为—•向量法: 以0点为原点,建立空间直角坐标系0-勺2如图所示,则A(0,0“),C(0,—3,0),£)(1,-2,0) 所以可=(0,3,JJ),万才=(一1,2,Q) 设n=(x,”z)为平而AfCD的法向垦则 令x=l, 由(I)知.顷=(0,0“)为平而CD3的一个法向鼠
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