数学建模大赛货物运输问题Word文档下载推荐.docx
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3、
(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车,载重运费都是1.8元/吨公里,空载费用分别为0.2,0.4,0.7元/公里,其他费用一样,又如何安排车辆数和调度方案?
(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时,分析运输调度的难度所在,给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。
图1 唯一的运输路线图和里程数
公司
材料
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
4
1
2
3
5
B
C
表1 各公司所需要的货物量
二、模型假设
1)港口的容量足够大,多辆运输车同时到达港口时不会发生阻塞现象;
2)多辆运输车可以在港口同时装车,不必等待;
3)双向道路上没有塞车现象;
4)8个公司之间没有优先级别,货运公司只要满足他们的需求量就可以;
货车完成他们日常的送货任务之后,回到港口。
5)假设运输车不会因天气状况,而影响其行驶速度,和装载、卸载时间。
6)运输路不会影响运输车行驶速度。
7)运输车正常出车。
三、问题分析
运输过程的最大特点是三种原料重量不同,分为大小件,当大小件同车,卸货时必须先卸小件,而且不允许卸下来的材料再装上车,要区别对待运输途中是否可以调头的费用。
在问题一中,运输途中不能调头,整个送货路线是一个环形闭合回路,如果沿着某一方向同时给多家公司送货时,运输车必须为距离港口近的公司卸下小件,为距离港口远的公司运送大件;
而在问题二中,运输途中可以调头,可以首先为远处公司运送小件,在返回途中为距离较近的公司卸下大件。
从表面上看,这样运输能够节省车次,降低出车费用。
但我们通过分析,在本题中,载重调头运输并不能降低费用。
运费最小是货运公司调度运输车的目标,运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。
建立模型时,要注意以下几方面的问题:
目标层:
如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量,模型中变量过多,不易求解。
由于各辆运输车之间相互独立,可以将目标转化为两个阶段的求解过程,第一阶段是规划车次阶段,求解车次总数和每车次的装卸方案;
第二阶段是车辆调度阶段,安排尽量少的车辆数,每车次尽量满载,使总的运费最小。
约束层:
(1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货,要考虑不同方向时的载重用;
(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时,沿途必须有序卸货;
(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量;
(4)满足各公司当日需求。
四、符号说明和名词约定
符号
含义
单位
备注
S1(n)
从港口到各个公司的货运最短里程集
公里
n=1、2、…、8;
S2(n)
卸载后返回港口的最短空载里程集
Q(i)(n)
n公司对货物i的实时需求量集
单位/天
n=1、2、…、8;
i=A、B、C;
W(j)(n)
第j批运至第n公司货物的重量集
吨
j=1、2;
Times(j)(n)
第j批运至第n公司次数集
次
j=1、2
Yj(n)
第j批运至第n公司的费用集
元
Y(d)
第d问中组合运输的费用集
d=1、2、3;
Charge(d)
第d问中所有的运输费用集
TT(d)
第d问中组合运输的耗时集
小时
Time(d)
第d问中所有的运输耗时集
五、建立模型
一、问题一
i.车次规划模型的分析
车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。
运输途中不能掉头,所以每车次都是沿闭合回路绕圈行驶。
1)运输途中不能掉头,所以为某些公司送货时,运输车从港口出发,按顺时针方向沿闭合回路绕行,为其它公司送货时,按逆时针方向沿闭合回路绕行。
公司和港口之间存在顺时针距离和逆时针距离,如下表:
公司编号
顺时针距离
8
15
24
29
37
45
49
55
逆时针距离
52
36
31
23
11
由表可知,运输过程中不可以掉头,为使得货运费用最低,我们按照问题分析中给出的最佳运输路径进行货物的分配运输。
即若港口按顺时针和逆时针两个不同方向出发,根据货运里程短,④点为顺时针货运方向最远点,也是空载回港口的最近点,根据货运里程短,⑤点为逆时针货运方向最远点,也是空载回港口的最近点。
结论:
在符合载重相对最大化情况下,①~④公司顺时针送货为最佳方案,⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。
如下图所示:
2)根据3种原料的重量和运输车的最大运载量可以看出,A和C可以搭配运输,B和C可以搭配运输,而A与B不能同车运输。
不论是以顺时针方向送货还是以逆时针方向送货,当大小件搭配运输时,必须首先卸下小件,在后续公司卸下大件。
我们把这种特点总结如下:
1、若在第j个公司卸下的是大件A,说明本车次的货物已经卸完,不能够再为后续公司运送小件C(A与B不能同车运输,更不可能有B);
2、若在第j个公司卸下的是B,说明本车次的货物已经卸完,不能够再为后续公司运送小件C。
ii.模型建立
基于以上约束条件建立如下模型:
第一步:
根据车载重相对最大化的基本思想。
可以分为两小步:
分为两种满载方案:
第1种为每个车次装载1单位A和2单位C;
第2种是每个车次装载2个单位B。
并使每一车次在同一公司卸货。
满载运载方案如下表1:
表1
车辆
车次数
货物
时间(小时)
运费(元)
各车工作时间(小时)
A,2C
1.4167
107.2
7.0835
180
273.6
6
325.6
7
263.2
138.4
9
10
2B
12
13
14
16
76
对于剩下各公司所需要货物单位数量如下表:
材料
第二步:
我们采用批次运输方案:
第一批次运输,我们使A材料有优先运输权,在保证满足各公司对A需求量条件下,1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输;
第二批次运输,我们使B材料有优先运输权,在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位;
第三批次运输剩下所需的货物。
具体运输方式:
首先优先考虑A货物的处理方法,可知1公司还需1个车次的1A和一个车次的1A1C,4公司还需要2个车次的1A,8公司还需要4个车次的1A和1个车次的1A1C;
接着处理B货物,1公司和2公司共需要1个车次的2B,8公司和4公司共需要1个车次的2B;
最后处理C货物,5、6、7公司共需要1个车次的6C。
由此可知共出车28次。
如下表2:
表2
17
A,C
67
18
58
19
20
21
6.1334
22
92.8
78.4
1,2
1.5833
142.2
25
221.2
6.0333
26
27
7,6,5
6C
1.75
198.4
28
8,4
206
2)根据1)和2)的结论及方法,不记派车成本和出车成本的28车次方案所需运费及时间如下表3:
表3
5.8334
6.1667
7,6,5
总
4464
40.5007
模型中变量
对应的数值
n=1、2、…、8;
{81524292315115}
{5245363137454955}
{41231025;
15012423;
52424351}
Wj(n)
n=1、2、…8;
{2161214601221;
0120061266}
02001211}
(d)
ttd=1
{5.0832}
)
yd=1
{565.2}
iii.目标分析
最后经过模型的计算得到最少费用为:
4840.6元,最少耗时为:
40.4999小时。
二、问题二
两个定理的证明
定理一、车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头
途中允许调头,运输车可以先为较远的公司送去小件原料,然后调头,为比较近的公司送去大件。
证明过程如下:
在上图中,记O点为港口,N、M为两公司。
M到港口的距离是S1,NM两个公司之间的距离为S2。
假设将两种货物a和b(重量分别为x吨、y吨),分别运往N和M两公司,现有两种运输方案:
1.若先运货a、b到N,将a卸到N,调头返回,将货物b运往M,那么a必为C原料(x=1),b为A或B(
),记运费用为f1
2.若先单独运送货物a到N,返回港口后,再次出车,将货物b运往M,即出车两次,记运费用为f2。
Ø
两种方案需要的车辆相同时,
为比较两种运输方式费用的大小,两种运输的种类质量均相同,记:
若f>
0恒成立,则载重调头送货不节省费用,通过数据处理提取函数:
因为
并且N、M两公司在本题中的最小距离
代入到f中,化简得到
令
得到
而港口到所有公司最短路的最大值为29公里,所以
恒成立。
说明前一种花费较高。
方案二比方案一需要的车辆多时
第二种方案是出车两次,运输时间较长,在8小时的工作时间内,可能会比调头载重运输时多安排车辆,派车费用增加。
我们考虑一种最差情况,因多运一次而增派一辆车,此时有
因为港口到所有公司的最短路径
所以
综上,载重调头运输花费较高。
证明了以运费用最小为目标时,车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头。
定理一的推论:
运载里程与空载里程相同(表四中的第28车次例外),且每次出车均不绕圈工作。
定理二、车辆载重行程是各公司到港口的最短路,且载重费用固定不变
在定理一的基础上,车辆当且仅当运完最后一件货才调头,且每次出车均不绕圈工作,那么每一单位的原料都可以由最短路径运至需货公司。
我们变换视角,从宏观的角度看去,对8个公司所需货物的数量分别乘以公司和港口的最短距离和载重单价(1.8元/吨公里)就是将货物运至公司的载重费用,载重费用因子:
货物的数量、公司和港口的最短距离、载重单价都是定值,因此,载重费用是固定不变的。
运输途中可以掉头,即货车可以送完货沿原路返回港口。
根据问题一约束条件:
此结论也可以适用货车可以掉头的情况。
加上上面两个定理,数学模型与问题一几乎相同,只是空载路径不同。
故同样分为两步骤:
第一步分为两种满载方案:
第二步我们采用批次运输方案:
第一批次运输,我们使A材料有优先运输权,在保证满足各公司对A需求量条件下,C与A搭配满足载重相对最大化方法运输;
第二批次运输,我们使B材料有优先运输权,在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于2个单位;
第三批次运输剩下的货物。
最终车次运载方案如下表4:
表4
车次
运费
0.6834
89.6
7.2837
0.9167
168
1.2167
268.8
1.3834
324.8
1.1834
257.6
0.7834
123.2
7.7838
0.5834
56
47
4.2838
38
75.2
60.8
1.0833
130.2
6.9501
220.4
1.5167
192.8
总
4127.2
26.3014
由表4得知,第二问的总费用charge
(2)=4127.2+20*4+10*28=4487.2元
总时间Time
(2)=26.3014元
三、问题三
1)第一小问:
这次运货不需要使用4吨货车。
只使用6吨、8吨货车搭配运输即可。
i.模型建立
我们经过上述论证,排除了4吨货车的使用。
我们仍旧采取①~④公司顺时针送货,⑤~⑧公司逆时针送货的方案。
根据上述条件我们建模如下:
第一步,使8吨车次满载并运往同一公司;
第二步,使6吨位车次满载并运往同一公司;
运载方案如下表5:
表5
第一辆8吨车
2A
120.8
6.9504
B,5C
A,B,C
226.5
362.4
437.9
第二辆8吨车
347.3
5.4171
2B,2C
166.1
75.5
第一辆6吨车
7.3169
B,3C
第三步,从上表可知只剩下2,3,4,6,7公司需要C货物10吨,必须要用至少两个车次来运。
我们已经论证排除了4吨货车的使用,为了使费用降低,我们决定用2个6
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