三最佳平方逼近多项式收敛性Word格式文档下载.docx
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则称S*(x>
是f(x>
在集合
中的最佳平方逼近函数。
显然,求最佳平方逼近函数
的问题可归结为求它的系数
,使多元函数
取得极小值,也即点(
>
是I(a0,…,an>
的极点。
因为I(a0,a1,…,an>
是关于a0,a1,…,an的二次函数,利用多元函数取得极值的必要条件,
(k=0,1,2,…,n>
即
得方程组
如采用函数内积记号
那么,方程组可以简写为
………….<
1)
这是一个包含n+1个未知元a0,a1,…,an的n+1阶线性代数方程组,写成矩阵形式为
………<
2)
此方程组叫做求aj(j=0,1,2,…,n>
的法方程组。
显然,其系数行列式就是克莱姆行列式Gn=Gn(0,1,…,n>
。
因为0,1,…,n线性无关,故Gn0,于是上述方程组存在唯一解
从而肯定了函数f(x>
在
中如果存在最佳平方逼近函数,则必是
……………………………..........<
3)
三、实验内容
考虑f(x>
=|x|在区间[-1,1]上关于Legendre多项式和Chebychev多项式的展开式。
分别取展开式的4次、8次……阶段多项式,画出f(x>
及各次截断多项式的图像,观察收敛性。
四、实验步骤
1.最佳平方逼近算法
1)输入被逼近函数f(x>
和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮<
x)}和权函数;
2)解方程组<
1)或<
2),其中方程组的系数矩阵和右端的项由式<
3)得到;
3)由式<
3)得到函数的最佳平方逼近。
2.MATLAB实现
编写三个函数:
外部函数;
多项式函数;
被逼近函数,作出n取不同值时的逼近函数曲线,与原函数图像进行比较,观察其收敛性。
五、实验数据分析
5.1Legendre多项式逼近
a)在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的四次截断多项式为
=15/128+105/64*x^2-105/128*x^4
逼近图像如下图5-1所示,由图可知,此Legendre多项式逼近是收敛的。
图5-1
b)在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的八次截断多项式为
=2205/32768+24255/8192*x^2-105105/16384*x^4+63063/8192*x^6-109395/32768*x^8
逼近图像如下图5-2所示,由图可知,此Legendre多项式逼近是收敛的。
图5-2
c)在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的十六次截断多项式为78217425/2147483648+1486131075/268435456*x^2-24273474225/536870912*x^4+66994788861/268435456*x^6-854525368125/1073741824*x^8+398778505125/268435456*x^10-860175122625/536870912*x^12+247945660875/268435456*x^14-472749726735/2147483648*x^16
逼近图像如下图5-3所示,由图可知,此Legendre多项式逼近是收敛的。
图5-3
5.2Chebychev多项式逼近
a)在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的四次截断多项式为
5734161139222659/454960+172977/11258999068426240*x^2-19153/28560*x^4
逼近图像如下图5-4所示,由图可知,此Chebychev多项式逼近是收敛的。
图5-4
b)f(x>
=|x|在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的八次截断多项式为
f(x>
=19153/270276+9556935232037765/3377699720527872*x^2-9556935232037765/1688849860263936*x^4+852871/21110*x^6-19153/738871813865472*x^8
逼近图像如下图5-5所示,由图可知,此Chebychev多项式逼近是收敛的。
图5-5
c)在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的十六次截断多项式为
5734161139222659/0596864+516931/95704*x^2-2793065/47852*x^4+60434229/59840*x^6-28384205/41008*x^8+273328347636280079/2243*x^10-474379/37383395344384*x^12+6616339776026145/9345848836096*x^14-19153/11682311045120*x^16
逼近图像如下图5-6所示,由图可知,此Chebychev多项式逼近是收敛的。
图5-6
因为在MATLAB中进行16次Legendre以及Chebychev逼近,速度已经很慢,而且以上n的取值已经能表示出Legendre和Chebychev多项式逼近的特点,故我们n只取到16为止。
六、实验讨论
1、由实验可知,用Legendre正交多项式在区间[-1,1]上逼近函数,不管是4次、8次还是16次的阶段多项式,其结果都是收敛的。
当节点取的越多,则函数的逼近效果越好。
2、用Chebychev正交多项式在区间[-1,1]上逼近函数,不管是4次、8次还是16次的阶段多项式,其结果都是收敛的。
3、对于用Legendre正交多项式逼近和用Chebychev正交多项式进行逼近,二者的区别在于权函数的选取上。
对于Legendre正交多项式,其权函数为1,所以在进行内积的时候,不用考虑权函数的问题。
但是对于Chebychev正交多项式,计算内积的时候权函数为,在计算内积的时候需要考虑将其带入运算。
否则逼近误差很大。
4、通过利用Legendre正交多项式逼近和Chebychev正交多项式逼近,从逼近图像上可以看出,在函数的间断点0处的误差是最大的。
但是,随着截断多项式的次数越高,0点的误差也越来越小。
5、由实验过程可知,MATLAB在做16次逼近的时候,速度比4次以及8次要慢很多,处于s级,而且逼近精度并没有很大的提高,这对于我们项目实际应用有一个提醒,在精度要求不是很严格而对实时性要求很高的条件下,尽量选取低阶逼近,节省CPU资源以及满足系统实时性要求。
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