零件参数设计的数学模型范本模板.docx
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零件参数设计的数学模型范本模板
零件参数设计的数学模型
指导老师数学建模教练组
李俊(热9501)罗建梅(热9502)王震宇(供9502)
摘要:
本文基于Y偏离Y0造成的损失和零件成本,根据原设计给定的标定值和容差,使用网格法和随机搜索法,利用计算机编程计算产品分别为正品、次品、废品时的概率,进而分析产品是正品、次品、废品的概率的稳定性,得到较为精确且合理的结果,最后求出原设计的总费用(损失费+成本费)为313。
4万元。
本文通过分析参数x1,x2,…,x7对y的影响,在原设计的标定值附近找出一个使y在其附近的变化比较稳定的点,并使y=1.5,再利用计算机仿真实验,综合判断容差等级方案,确定出比较理想的标定值和容差等级方案:
最后确定的方案比原设定节约费用271.2425万元。
一、问题的重述
一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数.零件参数包括标定值和容差两部分。
进行批量生产时,标定值表示一批零件该参数的平均值,容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。
若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值,在生产部门无特殊要求时,容差通常规定为均方差的3倍。
在进行零件参数设计时,由于零件组装产品的参数偏离预先设定的目标值,所以造成质量损失,偏离越大,损失越大;且零件的容差大小决定了其制造成本,容差设计的越小,成本越高.
有一种离子分离器某参数(记作Y)由7个零件的参数(记作X1,X2,…X7)决定,经验公式为:
Y=174.42
Y的目标值(记作Y0)为1.50。
若Y偏离Y00.1时,产品为次品,质量损失1000(元);若Y偏离Y00.3时,产品为废品,损失9000(元)。
零件参数的标定值有一定的容许变化范围;容差分为A、B、C三个等级,用与标定值的相对值来表示,A等为1%,B等为5%,C等为10%。
7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如下表(符号/表示无此等级零件):
标定值容许范围
C等
B等
A等
X1
[0.075,0.125]
/
25
/
X2
[0。
225,0。
375]
20
50
/
X3
[0.075,0.125]
20
50
200
X4
[0.075,0.125]
50
100
500
X5
[1。
125,1.875]
50
/
/
X6
[12,20]
10
25
100
X7
[0.5625,0。
935]
/
25
100
现进行成批生产,每批产量1000个。
在原设计中,7个零件参数的标定值为:
X1=0。
1,X2=0。
3,X3=0.1,X4=0。
1,X5=1.5,X6=16,X7=0.75;容差均取最便宜的等级。
综合考虑Y偏离Y0造成的损失和零件成本,重新设计零件参数(包括标定值和容差),并与原设计的总费用相比较.
二、模型假设及符号约定
模型假设
1.零件的总损失取决于各种类型的零件出现的概率;
2.零件的参数符合正态分布;
3.符合要求的零件只考虑自身成本,而不再考虑其它因素的影响。
符号约定
M表示成批生产时每批产量的个数,此题为1000个;
a表示产品为次品时的质量损失为1000元;
b表示产品为废品时的质量损失为9000元;
表示第i个零件参数对应的均方差;
表示一批零件第i个零件参数的平均值,即期望值;
表示第i个零件(变量)的新值;
Ri表示变量Xi对的搜索区域;
Kd表示区域缩减系数,其值正数;
r表示[0,1]之间服从均匀分布的伪随机数;
k表示随机概率的分布系数,是个正奇数;
zy偏离的绝对值;
Py偏离造成的损失;
P’表示零件的成本;
Qy偏离造成的损失和零件成本
三、问题的分析
由于标志产品性能的参数是由零件的参数所决定的.而零件的参数包括标定值和容
差两部分。
如果将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值。
那么,根据原理,在其中的概率为:
0。
9974。
显然,在此之外的概率为:
0。
0026。
相比之下,在其之外的可以忽略不计.故此,在生产部门无特殊要求时,容差规定为均方差的3倍是合理的。
由题意,我们还可以得到:
容差与标定值的相对值可以判断容差的等级(进而可以确定零件的成本),即:
A等:
B等:
0。
1〈0。
3C等:
进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差。
此时要考虑到产品的损失和零件成本,而产品的损失和零件的成本都是由零件参数决定。
所以,我们就先从产品的零件参数着手,逐步求优。
零件参数x1,x2,…,x7对y的影响由经验公式:
来确定,因的目标值(记作)为1.50.且已知:
当偏离时,产品为次品,质量损失为1,000(元);当偏离时,产品为废品,损失为9,000(元)。
可见,选定的标定值x1,x2,…,x7使得y的值接近1。
5,且在(x1,x2,…,x7)附近y的取值稳定在1。
5附近.所以,我们所设计零件参数,就要尽可能使产品为正品的数量多,次品的数量少、尽量使废品不出现,从而使得总费用(损失费+成本费)最小。
四、模型的建立
在原设计中,组成离子分离器的七个零件参数的标定值已知为:
X1=0.1,X2=0.3,X3=0.1,X4=0.1,X5=1.5,X6=16,X7=0.75
将以上标定值代入公式:
得出:
显然:
大于0.1且小于0。
3
由y的取值符合正态分布,可以看出在该标定值下,产品出现“次品”和“废品”的概率较大.
由于零件的容差均取最便宜的等级,故此,可得出七个零件参数可能的取值范围如下表:
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
取值
范围
[0。
095,0。
105]
[0。
27,0。
33]
[0.09,0。
11]
[0。
09,0。
11]
[1。
35,1。
65]
[14.4,17.6]
[0.7125,0。
7875]
为了计算造成的损失和零件成本。
我们给出了两个模型。
模型一
首先考虑造成的损失,由于给出的零件参数都有一定的容差,所以零件成本即可确定。
进一步,由零件的参数决定的产品参数也在一定的范围之内。
而要确定损失,首要问题就是要确定生产一批产品中正品、次品、废品出现的数量。
在此之前,我们先对一批产品中正品、次品、废品的概率做一计算;
根据已知条件我们建立了以下的模型:
其中为参数Xi标定值容许范围,为容差等级。
模型二
利用随机搜索法,由于零件的参数是随机的(参数)且符合正态分布,所以,我们构造出另一模型:
其中为随机概率的分布系数,是个正奇数,以保证值可正可负,其值通常取1,3,5,7等,其中K的值越大,则所构成的函数就越窄,反之越缓。
但是在K大于7时在多数情况下,对搜索不很有利,降低了收敛速度。
所以,我们在对取值时应尽量避开大于7的数。
由正态分布的特点可知:
当=1时,显然是不可取的。
但是,的取值有规律,即x的取值范围(也就是零件的容差)越小,就越大,反之越小.
五、模型求解及结果分析
模型一
我们利用网格法(亦称枚举法)求解,把划定的区域分成若干个“网格点”,然后就各个网格所在的产品规格做一分析,得出正品、次品、废品的概率,从而得出总的费用。
于是得出求解方程
所以
从上式可以看出,求解需进行七次积分,如不利用计算机进行计算,显然很难得出结果,
此时我们就编程利用计算机求解。
在此,我们利用数学软件编程(源程序及求解过程见附录1)求解得:
P=293。
4(万元)
由于零件的等级均取最便宜的,所以,零件的成本为:
P’=20(万元)
总的代价为:
P总=P+P’=293.4+20=313.4(万元)
在此,我们为了使模型具有可靠性,还利用了数学软件在零件参数范围之内随机取值得出结果。
当随机循环比较小时,P总的变化比较大,即P总的值不稳定,而当随机循环次数比较大时,P总的值趋向一稳定值。
我们把随机循环的次数为20万次与50万次的做一统计:
20万次时,P总=313。
4(万元);50万次时,P总=314(万元)。
由于在产品中只要出现一个废品,其费用就要增加9000元,而上面得出的结果只相差6000元.所以,可以验证以上得出的结果具有稳定性。
模型二
我们把模型二结合已知的数据,对模型
中的参数做一分析:
把记作零件参数的标定值,零件的容差决定了的取值范围。
由于正是用来确定的取值.而是(—1,1)之间的值。
所以,我们把记为.
我们编程(程序参见附录二:
程序)利用计算机求得P正、P次、P废的概率分别为0.09、0.695、0。
215,求得在原设计中y偏离y0造成的损失和零件成本共283000元。
在编程进行的随机搜索法中,我们发现和d的选择对算法效率有显著的影响。
当靠近最优点时,增大和减小d的值,可使P废的概率增大,经过一定次数的迭代,取d=1,K=3.这样我们的模型具有一定的稳定性和合理性。
由于我们所建模型时伪随机数r的个数不同,导致在不同次数的计算中,r的值不
能一一对应相等。
r的个数越多,在我们所编程序中运行次数越多,即步长越小,搜索越细,相对来说计算结果就越精确,所以由于计算时间的限制我们的计算结果免不了会有误差存在.
从以上两个模型结果可以看出,计算结果相差无几,这也许是由于随机误差的原因,因为只要在产品中增加一个废品,那么总费用将增加9000元,而两模型的结果相差不到两万元,故此,这点误差是可以容忍的.
由于在模型二中,一些参数带有主观色彩,使得计算结果就不能确定其完全可靠,但经过模型一及计算机随机发生器产生的结果检验.而且,当我们计算的循环次数越多,其结果越稳定。
故此,模型二还是有一定的可信度。
对于模型一,虽然比较严密,但是计算量特别大,我们设计的程序运行将近两个小时,而模型二只需10分钟就可以得出结果。
至于利用数学软件随机发生器计算结果,只是对模型进行验证的一种方法.
六、重新设计零件参数
由给定的值计算的结果:
总费用的期望值313。
4万元。
可以看出,给定零件参数的标定值,其组成产品某参数在正品的范围之外,且总费用之大,简直不符合实际。
对此,我们需重新设计零件参数,使得总费用的期望值降低.所以,我们需对原零件的参数做逐步微调。
首先,我们应分析各零件的敏感度(零件参数对产品参数的影响程度).先把确定情况下产品参数对零件参数的偏导做一计算。
显然,偏导越大,其敏感度就越大。
也就是首先应调整的参数.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
一阶偏导
24。
5896
—5。
99106
14.6675
-4。
02809
—1.15039
—0。
053925
-1.15039
如果对每一个符合条件的值都给予计算,其计算量之大是不可估量的,也是不可能的。
故此,我们利用逐步规划,然后上机运行得出标定值比较好的结果为:
即新设计的标定值:
★
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0。
1
0.3
0.0988
0.1
1.72266
1。
6
0。
75
当标定值一定的情况下,零件的等级组合有108种,下面我们就将一些组合列出,
并计算其总费用值。
为了使正品的概率增大来减小质量损失,从而使总的损失减小。
首
先我们取零件等级较高的情况,得出结果如下表:
★★
x1
x2
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