椭圆的几何性质教案.docx

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椭圆的几何性质教案

《椭圆的简单几何性质》（第一课时）

环节

内容

理论依据或意图

教

材

分

析

教

材

地

位

与

作

用

“椭圆的简单几何性质”是人教A版高中实验教材选修2-1第二章第二节的内容。

本节课是在学习了椭圆的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，为后面研究双曲线、抛物线的几何性质奠定了基础，是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。

该内容分两个课时教学，本节课是第一课时，主要内容是：

探究椭圆的简单几何性质及应用。

《高中数学课程标准》

教

学

目

标

1、知识与技能

■探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

■掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。

2、过程与方法

■通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。

■通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观

通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

根据《高中数学课程标准》的要求，强调积极主动，乐于探究，勤于动手，培养分析和解决问题的能力，逻辑推理及理性思维的能力，结合学生的实际情况确定的。

教

学

重

难

点

教学重点：

椭圆的简单几何性质的探究过程及其简单的应用。

教学难点：

椭圆的简单几何性质的探究过程和离心率定义的给出过程。

本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。

因此，依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点；又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。

环节

内容

理论依据与意图

学

情

分

析

本班学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力，有分组讨论、合作交流的良好习惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发现、归纳数学知识。

学情是教学的基础与依据，只有依学生实际确定的教学手段与学习方法才是有效的，学情确定准确，能使教与学有机结合，从而实现教学目标，体现课改理念，否则适得其反。

环节

教学内容

师生互动

设计意图

教

学

过

程

以

境

激

情

创设情景,揭示课题

图片展示：

神五升空，进入轨道运行的动画。

解说：

2003年10月15日,神舟五号载人飞船发射成功，中国人几千年的飞天梦想终成现实。

中国成为世界上继俄罗斯和美国之后第三个将人类送入太空的国家。

2013年6月11日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的神舟十号载人飞船升上太空，它在太空中飞行15天，并首次开展中国航天员太空授课活动。

这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。

飞船在太空中的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面200km，远地点距地面350km，而我们地球的半径R=6371km。

根据这些条件，我们能否求出其轨迹方程呢？

要想解决这个问题，我们就一起来学习“椭圆的简单几何性质”。

教师结合多媒体动画展示，生动解说，提出问题。

学生积极思考，教师适时引出课题。

以社会热点问题、国家大事为背景，自然地创设生活情景，激发学生求知欲，揭示课题，同时渗透爱国情感教育。

研

讨

复习：

我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆的标准方程是怎样的？

它们有几种形式？

（1）焦点在x轴上：

（2）焦点在y轴上：

教师提出问题，学生思考，回答，教师展示几何性质。

学生思考，类比猜想。

复习旧知，引导类比，使学生明确学习目标。

培养学生运用类比思想解决问题的能力。

环节

教学内容

师生互动

设计意图

论

证

学法指导，探索新知

1、范围的探究

问1：

根据（a>b>0）的图象，你能说出x、y的范围吗？

问2：

如何根据方程（>b>0）来验证x、y的取值范围？

引导：

椭圆标准方程（>b>0）有什么特点？

（1）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1。

（2）方程中x2和y2的系数不相等。

（展示过程）

归纳结论：

①椭圆方程中x、y的范围为：

且；②椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形内。

2、对称性的探究

（1）椭圆（>b>0）具有怎样的对称性呢？

你能根据图象加以说明吗？

（展示动画，归纳总结）

（2）你能根据椭圆的标准方程来验证它的对称性吗？

如何验证？

1把x换成-x，方程变吗？

说明图象关于什么对称？

2把y换成-y，方程变吗？

说明图象关于什么对称？

3把x换成-x，y换成-y，方程变吗？

说明图象关于什么对称？

教师提问，学生独立思考，然后通过观看动画得出结论。

教师巡视，展示学生解答过程，师生评价。

动画展示椭圆的对称性，归纳结论。

教师提问，学生观察思考、动手操作。

教师展示学生解答过程，师生共评。

教师结合图形给出相关定义。

学生结合图形，展开讨论。

图形展示，得出结论。

学生观察、回答。

使学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法。

动画展示椭圆的对称性,使学生体会椭圆的对称美。

展示和评价学生的解题过程，培养学生逻辑推理能力。

结合图形给出相关定义，使学生对定义有深刻理解，也为范围的探究作好铺垫。

体会、b、c的几何意义，体现数与形的紧密结合,为椭圆扁平程度的探究奠定基础。

环节

教学内容

师生互动

设计意图

（3）归纳总结：

椭圆（>b>0）的图象关于x轴,y轴和原点对称，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。

3、顶点的探究

椭圆（>b>0）与对称轴有几个交点呢？

你能根据方程求出这些交点坐标吗？

顶点定义：

椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

顶点坐标：

A1（-,0）,A2（，0）,B1（0，-b）,B2（0，b）

结合图形指出：

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2和2b，和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率的探究

我们知道圆的形状是相同的，从下图中可以发现两个椭圆的扁平程度不一，那么椭圆的扁平程度如何刻画？

引出离心率及其定义：

椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e=。

（1）离心率的取值范围：

0

（2）离心率对椭圆形状的影响：

e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越圆。

（Flash展示离心率对椭圆形状的影响，学生总结后，教师简单解说）

5、归纳、类推

归纳椭圆（>b>0）的简单几何性质，运

环节

教学内容

师生互动

设计意图

用同样的方法，探索焦点在y轴上的椭圆，说说它又会有怎样的几何性质？

应用举例

例1、已知椭圆方程为，求它的长轴长、短轴长、焦距、交点坐标、顶点坐标。

例2、若椭圆方程为16x2+25y2=400，求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标和外接矩形面积。

巩固练习

1、已知椭圆方程为6x2+y2=6，求椭圆的长轴长、短轴的、焦距、离心率、焦点坐标、顶点坐标和外接矩形面积。

2、若点在椭圆上，则点的横坐标x的取值范围是。

3、若点在椭圆（>b>0）上，则下列不是该椭圆上的点是（）

4、中心在原点，焦点在x轴上，长轴和短轴的长分别是8和6的椭圆的方程是。

5、若椭圆的两个焦点把长轴分为三等分，则该椭圆的离心率为。

课堂小结：

1.这节课我们学习了哪些内容？

椭圆的简单几何性质：

范围、对称性、顶点、离心率

2.这节课我们运用了哪些数学思想？

数形结合、分类讨论、化归与转化的思想。

课后作业：

课本练习第2,3,4题。

（六）板书设计：

椭圆的简单几何性质

1、范围

2、对称性

3、顶点

4、离心率

例题、练习的分析过程

学生分组讨论。

教师巡视，适时引导，化解难点。

学生观察、思考、回答，然后动手探究。

教师展示学生不同解答过程，师生评价，共同归纳结论。

教师提问，学生观察、思考、回答。

学生思考、回答。

教师的适时引导，培养了学生的问题意识,调动学生参与问题讨论的积极性，培养逻辑推理、理性思维的能力。

突出重点，化解难点。

利用椭圆的定义引出、c，使离心率定义的给出更加自然、深刻。

《几何画板》的合理使用，把问题直观化，结合逐层深入分析，从而把难度转弱，逐步化解难点，突出重点。

培养学生的自主探索意识，合作交流的精神。

环节

教学内容

师生互动

设计意图

学生思考、交流、猜想。

教师

操作《几何画板》，印证学生的猜想

教师提出问题，学生思考、交流讨论、猜想。

学生上台按要求操作，印证猜想，师生共同归纳结论。

教师巡视，展示学生解答过程，师生共评。

教师借助图表，让学生思考归纳。

然后提问，学生讨论、探究。

师生共同归纳。

深化理解椭圆扁平程度的刻画。

使学生形成完整的知识结构，培养学生运用类比化归的思想解决实际问题的能力，体会椭圆的几何性质是椭圆自身固有的，与坐标系的选取无关。

教

学

过

研

讨

论

证

程

教

学

过

研

讨

论

程

教

学

过

证

研

讨

论

证

程

教

学

过

环节

教学内容

师生互动

设计意图

程

（注：

本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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）