抛物线课时作业Word文档格式.docx
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曲线的标准方程为(x-2)2+y2=9,其表示圆心为(2,0),半径为3的圆,又抛物线的准线方程为x=-,∴由抛物线的准线与圆相切得2+=3,解得p=2,故选A.
A
3.如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:
y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=( )
A.n+10B.n+20
C.2n+10D.2n+20
由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+1+x2+1+…+xn+1=(x1+x2+…+xn)+n=n+10.故选A.
4.(2017·
江西南昌一模)已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若|FP|=3|FQ|,则|QF|=( )
C.3D.2
设l与x轴的交点为M,过Q作QN⊥l,垂足为N,则△PQN∽△PFM,所以==,因为|MF|=4,所以|NQ|=,故|QF|=|QN|=,故选A.
5.已知抛物线y2=2px(p>
0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于( )
A.-4B.4
C.p2D.-p2
方法1:
若焦点弦AB⊥x轴,
则x1=x2=,所以x1x2=;
∴y1=p,y2=-p,∴y1y2=-p2,
∴=-4.
方法2:
若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB的直线方程为y=k(x-),联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=.所以y1y2=-p2.故=-4.
6.(2017·
河北邯郸一模)已知M(x0,y0)是曲线C:
-y=0上的一点,F是曲线C的焦点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·
<
0,则x0的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(-1,1)
由题意知曲线C为抛物线,其方程为x2=2y,所以F,根据题意可知,N(x0,0),x0≠0,=,=(0,-y0),所以·
=-y0<
0,即0<
y0<
,因为点M在抛物线上,所以有0<
,又x0≠0,解得-1<
x0<
0或0<
1,故选A.
二、填空题
7.已知抛物线x2=2py(p>
0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A、B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
由题意知B,代入方程-=1得p=6.
6
8.(2017·
沈阳第一次质检)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO=30°
(O为坐标原点)时,|PF|=________.
令l与y轴交点为B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°
,BF=2,所以AB=.设P(x0,y0),则|x0|=,代入x2=4y中,则y0=,故|PF|=|PA|=y0+1=.
9.已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2=2x交于A,B两点,且P是弦AB的中点,则直线AB的方程为____________.
依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y=2x1,y=2x2,两式相减得y-y=2(x1-x2),即==1,直线AB的斜率为1,直线AB的方程是y-1=x-2,即x-y-1=0.
x-y-1=0
10.已知抛物线C:
y2=2px(p>
0)的焦点为F,过点F倾斜角为60°
的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于________.
设|AF|=m,|BF|=n,则|BC|=n,|AD|=m,|AE|=m-n,|AF|+|BF|=m+n.在Rt△ABE中,由于∠BAE=60°
,所以cos60°
=,解得=3,即的值等于3.
3
三、解答题
11.如图,已知抛物线y2=2px(p>
0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边OA与OB的长分别为1和8,求抛物线的方程.
解:
设直线OA的方程为y=kx,k≠0,
则直线OB的方程为y=-x,
由得x=0或x=.
∴A点坐标为,同理得B点坐标为(2pk2,-2pk),由|OA|=1,|OB|=8,
可得
②÷
①得k6=64,即k2=4.
则p2==.
又p>
0,则p=,
故所求抛物线方程为y2=x.
12.(2017·
湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2=2py(p>
0),其焦点为F,点O为坐标原点,过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点M.
(1)求·
;
(2)设直线MF与抛物线交于C,D两点,且四边形ACBD的面积为p2,求直线AB的斜率k.
(1)设直线AB的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2pkx-p2=0,则
∴·
=x1·
x2+y1·
y2=-p2.
(2)由x2=2py,知y′=,∴抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为,,∴直线AM的方程为y-y1=(x-x1),直线BM的方程为y-y2=(x-x2),则可得M.∴kMF=-,∴直线MF与AB相互垂直.由弦长公式知,|AB|=|x1-x2|=·
=2p(k2+1),用-代替k得,|CD|=2p,四边形ACBD的面积S=·
|AB|·
|CD|=2p2=p2,解得k2=3或k2=,即k=±
或k=±
.
1.(2017·
广西质检)过点P(-2,0)的直线与抛物线C:
y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为( )
C.D.2
设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作直线y=-2的垂线,垂足分别为D,E.∵|PA|=|AB|,∴又得x1=,则点A抛物线C的焦点的距离为1+=.
2.(2016·
四川卷)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>
0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
C.D.1
设P(,t),易知F(,0),则由|PM|=2|MF|,得M(,),当t=0时,直线OM的斜率k=0,当t≠0时,直线OM的斜率k==,所以|k|=≤=,当且仅当=时取等号,于是直线OM的斜率的最大值为,选C.
3.(2017·
广东深圳一模)过抛物线y2=2px(p>
0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p等于________.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),则y=2px1,y=2px2,两式相减,得(y1+y2)·
=2p,即2y0×
1=2p,所以y0=p,又AB的方程为y=x-,所以x0=p,即M,代入AB的中垂线y=-x+2,可得p=.
安徽合肥一检)设A,B为抛物线y2=x上相异两点,其纵坐标分别为1,-2,分别以A,B为切点作抛物线的切线l1,l2,设l1,l2相交于点P.
(1)求点P的坐标;
(2)M为A,B间抛物线段上任意一点,设=λ+μ,试判断+是否为定值.如果为定值,求出该定值;
如果不是定值,请说明理由.
(1)知A(1,1),B(4,-2),设点P坐标为(xP,yP),切线l1:
y-1=k(x-1),联立由抛物线与直线l1相切,解得k=.即l1:
y=x+.同理,l2:
y=-x-1,联立l1,l2的方程,可解得即点P的坐标为.
(2)设M(y,y0),且-2≤y0≤1,由=λ+μ,得=λ+μ.即
解得
故+=+=1,即+为定值1.
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