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x(t)=520+20sin(?
t)℃
由周期T=80s,则温度变化频率f=1/T,其相应的圆频率?
=2?
f=2?
/80=?
/40;
温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应y(t)为
y(t)=520+Bsin(?
t+?
)℃
热电偶为一阶传感器,其响应的幅频特性为
因此,热电偶输出信号波动幅值为
B=20
A(?
)=
=℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(t)|
=520+B=520+=℃
=520﹣B==℃
输出信号的相位差?
为
(ω)=?
arctan(ω
)=?
arctan(2?
/80?
10)=?
相应的时间滞后为
t=
1-10一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述,即
式中,y为输出电荷量,pC;
x为输入加速度,m/s2。
试求其固有振荡频率?
n和阻尼比?
。
解:
由题给微分方程可得
1-11某压力传感器的校准数据如表1-5所示,试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差,并计算迟滞和重复性误差;
写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
(最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录)
表1-5校准数据表
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
解校验数据处理(求校验平均值):
(设为x)
校验平均值
(设为y)
(1)端点连线法
设直线方程为
y=a0+kx,
取端点(x1,y1)=(0,)和(x6,y6)=(,)。
则a0由x=0时的y0值确定,即
a0=y0?
kx=y1=(mV)
k由直线的斜率确定,即
(mV/MPa)
拟合直线方程为
y=?
+
?
求非线性误差:
(mV)
直线拟合值
非线性误差
最大非线性误差
所以,压力传感器的非线性误差为
?
求重复性误差:
1
2
3
不重复误差
最大不重复误差为mV,则重复性误差为
求迟滞误差:
迟滞
最大迟滞为,所以迟滞误差为
(2)最小二乘法
设直线方程为
y=a0+kx
数据处理如下表所示。
序号
4
5
6
∑
x
y
x2
xy
根据以上处理数据,可得直线方程系数分别为:
所以,最小二乘法线性回归方程为
(mV)
可见,最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小,所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差?
R和迟滞误差?
H是一致的。
1-12用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时,如幅值误差限制在5%以内,则其时间常数应取多少?
若用该系统测试50Hz的正弦信号,问此时的幅值误差和相位差为多?
根据题意
(取等号计算)
解出
ωτ=
=
当用该系统测试50Hz的正弦信号时,其幅值误差为
相位差为
=﹣arctan(?
)=﹣arctan(2π×
50×
×
10?
3)=﹣°
1-13一只二阶力传感器系统,已知其固有频率f0=800Hz,阻尼比?
=,现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时,其幅值比A(?
)和相位角?
(?
)各为多少;
若该传感器的阻尼比?
=时,其A(?
)和?
)又将如何变化?
所以,当ξ=时
当ξ=时
1-14用一只时间常数?
=的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号,问幅值相对误差为多少?
由一阶传感器的动态误差公式
1-15已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz,阻尼比?
=,若要求传感器的输出幅值误差小于3%,试确定该传感器的工作频率范围。
由f0=10kHz,根据二阶传感器误差公式,有
将?
=代入,整理得
1-16设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理,其固有振荡频率分别为800Hz和,阻尼比均为。
今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力,应选用哪一只?
并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
由题意知
则其动态误差
=%
相位差
=?
(rad)=?
°
第2章电阻应变式传感器
2-5一应变片的电阻R0=120Ω,K=,用作应变为800μm/m的传感元件。
(1)求?
R与?
R/R;
(2)若电源电压Ui=3V,求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压Uo。
由K=
,得
则
ΔR=×
3×
R=×
3×
120Ω=Ω
其输出电压为
=(mV)
2-6一试件的轴向应变εx=,表示多大的微应变(με)?
该试件的轴向相对伸长率为百分之几?
εx==1500×
10-6=1500(?
ε)
由于
εx=Δl/l
Δl/l=εx==%
2-7假设惠斯通直流电桥的桥臂1是一个120?
的金属电阻应变片(K=,检测用),桥臂1的相邻桥臂3是用于补偿的同型号批次的应变片,桥臂2和桥臂4是120?
的固定电阻。
流过应变片的最大电流为30mA。
(1)画出该电桥电路,并计算最大直流供桥电压。
(2)若检测应变片粘贴在钢梁(弹性模量E=?
1011N/m2)上,而电桥由5V电源供电,试问当外加负荷?
=70kg/cm2时,电桥的输出电压是多少?
(3)假定校准电阻与桥臂1上未加负荷的应变片并联,试计算为了产生与钢梁加载相同输出电压所需的校准电阻值。
解
(1)电桥电路如图所示;
最大供桥电压
Uim=30mA?
(120+120)?
=7200mV=
(2)?
=70kg/cm2=686N/cm2=?
106N/m2,则
=?
/E=?
106/?
1011=?
5=(?
电桥输出为
(3)为了使输出电压相同,只要应变?
对应的电阻变化相同即可(这里取负应变对应电阻减少输出相同负电压)。
解题2-7图
应变?
对应的电阻变化为
R=?
5R1=?
5?
120=?
3?
并联电阻RP
RP-4m210mm10mm
50mm47.5mm1000kg4m21000kg10mm3mm0.5kg10mm20mm
2-15有四个性能完全相同的应变片(K=,将其贴在习题图2-14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。
已知膜片的半径R=20mm,厚度h=0.3mm,材料的泊松比μ=,弹性模量E=×
1011N/m2。
现将四个应变片组成全桥测量电路,供桥电压Ui=6V。
求:
(1)确定应变片在感压膜片上的位置,并画出位置示意图;
(2)画出相应的全桥测量电路图;
(3)当被测压力为时,求各应变片的应变值及测量桥路输出电压U0;
(4)该压力传感器是否具有温度补偿作用?
为什么?
(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系?
习题图2-14膜片式压力传感器
(1)四个应变片中,R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向;
R1、R4粘贴在圆形感压膜片
之外沿径向,并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。
如下图(a)所示。
(2)测量电桥电路如上图(b)所示。
(a)应变片粘贴示意图(b)测量电桥电路
题解2-14图
(3)根据
(1)的粘贴方式,知
ε1=ε4=?
εtmax=?
则测量桥路的输出电压为
(4)具有温度补偿作用;
(5)输出电压与被测力之间存在线性关系,因此,由(3)知
2-18线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ,电刷最大行程4mm,若允许最大消耗功率为40mW,传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。
试求当输入位移量为1.2mm时,输出电压是多少?
最大激励电压
当线位移x=时,其输出电压
2-19一测量线位移的电位器式传感器,测量范围为0~10mm,分辨力为0.05mm,灵敏度为mm,电位器绕线骨架外径d=5mm,电阻丝材料为铂铱合金,其电阻率为ρ=×
10-4Ω·
mm。
当负载电阻RL=10kΩ时,求传感器的最大负载误差。
由题知,电位器的导线匝数为
N=10/=200
则导线长度为
l=N?
d=200?
d,(d为骨架外径)
电阻丝直径与其分辨力相当,即d丝=
故电阻丝的电阻值
δLm≈15m%=15×
%=%
第3章电感式传感器
3-15某差动螺管式电感传感器(参见习题图3-15)的结构参数为单个线圈匝数W=800匝,l=10mm,lc=6mm,r=5mm,rc=1mm,设实际应用中铁芯的相对磁导率μr=3000,试求:
(1)在平衡状态下单个线圈的电感量L0=?
及其电感灵敏度足KL=?
(2)若将其接人变压器电桥,电源频率为1000Hz,电压E=,设电感线圈有效电阻可忽略,求该传感器灵敏度K。
(3)若要控制理论线性度在1%以内,最大量程为多少?
(1)根椐螺管式电感传感器电感量计算公式,得习题图3-15差动螺管式电感传感器
差动工作灵敏度:
(2)当f=1000Hz时,单线圈的感抗为
XL=ωL0=2πfL0=2π×
1000×
=2890(Ω)
显然XL>
线圈电阻R0,则输出电压为
测量电路的电压灵敏度为
而线圈差动时的电感灵敏度为KL=mm,则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为
=mm
3-16有一只差动电感位移传感器,已知电源电Usr=4V,f=400Hz,传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω,L=30mH,用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥,如习题图3-16所示,试求:
(1)匹配电阻R3和R4的值;
(2)当△Z=10时,分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值;
(3)用相量图表明输出电压
与输入电压
之间的相位差。
习题图3-16
(1)线圈感抗
XL=?
L=2?
fL=2?
400?
30?
3=(?
线圈的阻抗
故其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)
R3=R4=Z=(?
(2)当ΔZ=10?
时,电桥的输出电压分别为
单臂工作:
双臂差动工作:
(3)
3-17如习题图3-17所示气隙型电感传感器,衔铁截面积S=4×
4mm2,气隙总长度δ=0.8mm,衔铁最大位移△δ=±
0.08mm,激励线圈匝数W=2500匝,导线直径d=0.06mm,电阻率ρ=×
10-6?
.cm,当激励电源频率f=4000Hz时,忽略漏磁及铁损,求:
习题图3-17气隙型电感式传感器(变隙式)
(1)线圈电感值;
(2)电感的最大变化量;
(3)线圈的直流电阻值;
(4)线圈的品质因数;
(5)当线圈存在200pF分布电容与之并联后其等效电感值。
(1)线圈电感值
(2)衔铁位移Δδ=+时,其电感值
=×
10-1(H)=131mH
衔铁位移Δδ=﹣时,其电感值
10-1(H)=196(mH)
故位移?
=±
0.08mm时,电感的最大变化量为
ΔL=L?
﹣L?
=196﹣131=65(mH)
(3)线圈的直流电阻
设
为每匝线圈的平均长度,则
(4)线圈的品质因数
(5)当存在分布电容200PF时,其等效电感值
3-18如图3-4(b)所示差动螺管式电感传感器,其结构参数如下:
l=160mm,r=4mm,rc=2.5mm,lc=96mm,导线直径d=0.25mm,电阻率ρ=×
10-6Ω·
cm,线圈匝数W1=W2=3000匝,铁芯相对磁导率μr=30,激励电源频率f=3000Hz。
要求:
(1)估算单个线圈的电感值L=?
直流电阻R=?
品质因数Q=?
(2)当铁芯移动±
5mm时,线圈的电感的变化量△L=?
(3)当采用交流电桥检测时,其桥路电源电压有效值E=6V,要求设计电路具有最大输出电压值,画出相应桥路原理图,并求输出电压值。
(1)单位线圈电感值
电阻值
(lcp=2?
r,每匝导线长度)
则品质因数
(2)铁芯位移Δlc=±
5mm时,单个线圈电感的变化
(3)要使电桥输出最大,须使电桥为等臂电桥,则相邻桥臂阻抗比值a=1;
且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧,则?
=±
(π/2),这时电桥的灵敏度|K|=,差动工作时为其2倍,故其输出电压
=(V)=544mV
其电桥电路如下图所示,其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。
题3-18题解图
第4章电容式传感器
4-2试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。
(a)(b)(c)
习题图4-2
由习题图4-2可见
(1)图(a)等效为三个平板电容器串联
,
总电容量为
故
(2)图(b)等效为两个平板电容器并联
(3)图(c)等效为两柱形电容器并联,总电容量为
4-3在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路,如习题4-3图所示。
已知:
δ0=0.25mm;
D=38.2mm;
R=Ω;
Usr=60V(交流),频率f=400Hz。
试求:
(1)该电容传感器的电压灵敏度Ku(V/μm);
(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10μm时,输出电压Usc值。
习题图4-3
由传感器结构及其测量电路可知
(1)初始电容
由于
则
从而得
(2)U0=KuΔd=?
m×
m=
4-4有一台变间隙非接触式电容测微仪,其传感器的极板半径r=4mm,假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。
(1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±
10μm,电容变化量为多少?
(2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF,则在△d=±
1μm时的输出电压为多少?
由题意可求
(1)初始电容:
由
,则当Δd=±
10um时
如果考虑d1=+10μm与d2=﹣10μm之间的电容变化量ΔC′,则应为
ΔC′=2|ΔC|=2×
(2)当Δd=±
1μm时
由Ku=100mV/pF=Uo/ΔC,则
Uo=KuΔC=100mV/pF×
(±
4-5有一变间隙式差动电容传感器,其结构如习题图4-5所示。
选用变压器交流电桥作测量电路。
差动电容器参数:
r=12mm;
d1=d2=d0=0.6mm;
空气介质,即ε=ε0=×
10-12F/m。
测量电路参数:
Usr=U=
=3sinωt(V)。
试求当动极板上输入位移(向上位移)△x=0.05mm时,电桥输出端电压Usc?
习题图4-5
由习题图4-5可求
初始电容
C1=C2=C0=?
S/d=?
0?
r2/d0
变压器输出电压
其中Z1,Z2分别为差动电容传感器C1,C2的阻抗.在Δx<
<
d0时,C1=C0+ΔC,C2=C0?
ΔC,且?
C/C0=?
d/d0,由此可得
(V)
4-6如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器,选用二极管双厂网络测量电路。
差动电容器参数为:
a=40mm,b=20mm,dl=d2=d0=1mm;
起始时动极板处于中间位置,Cl=C2=C0,介质为空气,ε=ε0=×
D1、D2为理想二极管;
及R1=R2=R=10kΩ;
Rf=1MΩ,激励电压Ui=36V,变化频率f=1MHz。
试求当动极板向右位移△x=10mm时,电桥输出端电压Usc?
习题图4-6
由习题图4-6可求
传感器初始电容
=×
12(F)=
当动极板向右移Δx=10mm时,单个电容变化量为
(或
)
则C1=C0+ΔC,C2=C0?
C,由双T二极管网络知其输出电压
Usc=2kUifΔC
4-7一只电容位移传感器如习题图4-7所示,由四块置于空气中的平行平板组成。
板A、C和D是固定极板;
板B是活动极板,其厚度为t,它与固定极板的间距为d。
B、C和D极板的长度均为a,A板的长度为2a,各板宽度为b。
忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应,试推导活动极板刀从中间位置移动x=±
a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。
习题图4-7
参见习题图4-7知
CAC是CAB与CBC串联,CAD是CAB与CBD串联。
当动极板向左位移a/2时,完全与C极板相对(见题解4-7图),此时
CAB=CBC=ε0ab/d
CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d;
CAD=ε0ab/(2d+t)。
题解4-7图
同理,当动极板向右移a/2时,与上相仿(见题解4-7图),有
CAC=ε0ab/(2d+t);
CAD=ε0ab/2d
4-8已知平板电容传感器极板间介质为空气,极板面积S=a×
a=(2?
2)cm2,间隙d0=0.1mm。
传感器的初始电容值;
若由于装配关系,使传感器极板一侧间隙d0,而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm),此时传感器的电容值。
当装配不平衡时(见题解4-8图(a)),可取其平均间隙计算(见题解4-8图(b))
=+2=(mm)
则其电容为
=×
10-12(F)=
(a)(b)(c)
题解4-8图
或利用积分法计算传感器的电容,(见题解4-8图(c)),在位置x处,取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为
所以,总电容为
两种计算方法结果接近,但积分法更为严密。
4-14习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器,其可动内电极圆筒外经d=9.8mm,固定电极外圆筒内经D=10mm,初始平衡时,上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm,电极间为空气介质。
(1)初始状态时电容器C1、C2的值;
(2)当将其接入习题图4-14(b)所示差动变压器电桥电路,供桥电压E=10V(交流),若传感器工作时可动电极筒最大位移?
x=?
0.2mm,电桥输出电压的最大变化范围为多少?
(a)(b)
习题图4-14
解
(1)初始状态时
(2)当动电极筒位移?
x=+0.2mm(向上)时,L1=2+=2.2mm,L2=2?
=1.8mm,则
差动变压器电桥输出为
同理,当动电极筒位移?
0.2mm(向下)时,L1=2?
=1.8mm,L2=2+=2.2mm,则
因此,当传感器可动电极筒最大位移?
0.2mm,电桥输出电压的最大变化范围为?
第5章压电式传感器
5-3有一压电晶体,其面积为20mm2,厚度为10mm,当受到压力p=10MPa作用时,求产生的电荷量及输出电压:
(1)零度X切的纵向石英晶体;
(2)利用纵向效应的BaTiO3。
由题意知,压电晶体受力为
F=pS=10×
106×
20×
10-6=200(N)
(1)0°
X切割石英晶体,εr=,d11=×
12C/N
等效电容
14(F)
受力F产生电荷
Q=d11F=×
12×
200=462×
2(C)=462pC
输出电压
(2)利用纵向效应的BaTiO3,εr=1900,d33=191×
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