福建省福州市第八中学学年高三上学期第三次质量检查数学文试题 Word版含答案.docx
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福建省福州市第八中学学年高三上学期第三次质量检查数学文试题Word版含答案
福州八中2017-2018学年高三毕业班第三次质量检查
数学(文)试题
考试时间:
120分钟试卷满分:
150分
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差锥体体积公式
其中为样本平均数其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式球的表面积、体积公式
,
其中S为底面面积,h为高其中为球的半径
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的.)
1.已知集合,集合,若的元素的个数为6,则等于
A.6B.7C.8D.9
2.复数等于
A.B.C.D.
3.已知函数则
A.19B.17C.15D.13
4.已知,,,则=
A.B.C.5D.25
5.设,是两个不同的平面,直线.“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.若函数的图象关于直线对称,则的最大值为
A.B.C.D.
7.若满足约束条件且目标函数的最大值为10,则等于
A.-3B.-10C.4D.10
8.若正整数除以正整数后的余数为,则记
为,例如.下面程序框
图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.
执行该程序框图,则输出的等于
A.17B.16
C.15D.13
9.设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,
Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=
A.2B.-2
C.D.-
10.已知为自然对数的底数,曲线
的点处的切线与直线平行,
则实数
A.B.C.D.
11.在等腰直角三角形中,AB=AC=2,点是边上
异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到
原点(如图).若光线经过的重心,则等于
A.B.
C.D.
12.已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直,为线段上的动点(不含端点),过作交于,作交于,连结.设,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡中的横线上)
13.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.
14.已知正三棱柱的高与底面边长均为,
其直观图和正(主)视图如右,则它的左(侧)视图
的面积是.
15.在中,,且的面积为,则的周长为.
16.记为区间的长度.已知函数,(),其值域为,则区间的长度的最小值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知数列中,点在直线上,且首项是方程的整数解.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列的前项和为,等比数列中,,,数列
的前项和为,当时,请直接写出的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数,,且的最小正周期为.
(Ⅰ)若,,求的值;
(Ⅱ)求函数的单调增区间.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,四边形是高为的等腰梯形,,为的中点.
(1)求证:
;
(2)求到平面的距离.
20.(本小题满分12分)
如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆,圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),
tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长.
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)证明:
当时,;
(Ⅲ)确定实数的所有可能取值,使得存在,当时,恒有
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)
已知直线的参数方程为(为参数),在直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)点分别为直线与曲线上的动点,求的取值范围.
23.(本小题满分10分)
设函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若的解集为,,
求证:
.
福州八中2016—2017学年高三毕业班第三次质量检查
数学(文)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:
(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的.)
DCACBBCADBDA
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡中的横线上)
13.314.15.1816.3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题12分)
解:
()根据已知,即,……2分
所以数列是一个等差数列,………4分
()数列的前项和……………6分
等比数列中,,,所以,……9分
数列的前项和……10分
即,又,所以或2…12分
18.(本小题12分)
(Ⅰ)解:
因为的最小正周期为,
所以,解得.…………3分
由,得,即,…………4分
所以,.
因为,所以.…………6分
(Ⅱ)解:
函数
,……8分
由,…………10分
解得.……11分
所以函数的单调增区间为.………12分
19.(本小题12分)
(1)证明:
因为等边三角形,为的中点,所以. ..............1分
又因为平面平面平面,平面平面,
所以平面,.............................................4分
又平面,所以.................................................5分
(2)解:
取的中点,连接.
由题设知,.................................................6分
由
(1)知平面,又平面,所以,
因为,所以平面.........8分
过作,垂足为,则,因为,所以平面...................10分
因为,所以,即到平面的距离为.(另外用等体积法谈亦可)...................12分
20.(本小题12分)
解:
方法一:
(1)如图所示,以O为坐标原点,OC所在直线为x
轴,建立平面直角坐标系xOy.--1分
由条件知A(0,60),C(170,0),
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.
又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=.---2分
设点B的坐标为(a,b),
则kBC==-,kAB==,解得a=80,b=120,--------4分
所以BC==150.
因此新桥BC的长是150m.--------------------------------------------6分
(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).
由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.
由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,
即r==.-----8分
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以
即解得10≤d≤35.-----10分
故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,
所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.--------12分
方法二:
(1)如图所示,延长OA,CB交于点F.
因为tan∠FCO=,
所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.
因为OA=60,OC=170,
所以OF=OCtan∠FCO=,CF==,从而AF=OF-OA=.
因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.
又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,从而BC=CF-BF=150.
因此新桥BC的长是150m.---------6分
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=rm,OM=dm(0≤d≤60).
因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.
故由
(1)知sin∠CFO====,所以r=.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,
所以即
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,
所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.------12分
21.(I),.
由得解得.
故的单调递增区间是.-------------------3分
(II)令,.则有.
当时,,所以在上单调递减,
故当时,,即当时,---------6分
(III)由(II)知,当时,不存在满足题意.-----7分
当时,对于,有,则,从而不存在满足题意.-------8分
当时,令,,
则有.
由得,.
解得,.
当时,,故在内单调递增.
从而当时,,即,
综上,的取值范围是.---------12分
22.解:
(1)∵,
∴.......................3分
又,∴,
∴的直角坐标方程为....................5分
(2)的普通方程为,即.............7分
∴圆的圆心到的距离为,∴的最小值为,
∴的取值范围为..................................10分
23.解:
(1)当时,不等式为,∴或或,∴或.
∴不等式的解集为. ..................5分
(2)即,解得,而解集是,...6分
∴,解得,所以,..............7分
∴.(当且仅当
高三第三次月考数学文答案第2页共2页
时取等号).........10分
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