八年级数学下册直角三角形直角三角形的性质与判定Ⅰ直角三角形的性质和判定练习新版湘教版Word格式.docx
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5.如图K-1-2,∠ABC=∠ADC=90°
,E是AC的中点,则( )
图K-1-2
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.无法确定∠1与∠2的大小关系
6.如图K-1-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD为AB边上的高.若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,则∠B的度数是( )
图K-1-3
A.60°
B.45°
C.30°
D.15°
二、填空题
7.如图K-1-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB=10cm,D为AB的中点,则CD=________cm.
图K-1-4
8.如图K-1-5,AD⊥BC,∠BAD=∠B,∠C=65°
,则∠BAC的度数为________.
图K-1-5
9.在直角三角形中,若两个锐角的度数之比为2∶3,则它们中较大锐角的度数为________°
.
10.2020·
常德如图K-1-6,已知Rt△ABE中,∠A=90°
,∠B=60°
,BE=10,D是线段AE上的一个动点,过点D作CD交BE于点C,并使得∠CDE=30°
,则CD长度的取值范围是____________.
图K-1-6
三、解答题
11.如图K-1-7,在△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
△ABC是直角三角形.
图K-1-7
12.如图K-1-8,在四边形ABCD中,∠A=120°
,∠C=60°
,BD⊥DC,且BD平分∠ABC,那么AD与BC有什么位置关系?
请说明理由.
图K-1-8
13.如图K-1-9,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,BD平分∠ABC,AE⊥BC于点E,交BD于点F.求证:
AF=AD.
图K-1-9
14.如图K-1-10,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,且DC=BE.求证:
∠B=2∠BCE.
图K-1-10
15.如图K-1-11,在△ABC中,点D在AB上,且CD=BC,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.
(1)求证:
EF=
AC;
(2)若∠BAC=45°
,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.
图K-1-11
16.如图K-1-12,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,M为AB边的中点,连接ME,MD,ED.
求证:
(1)△MED与△BMD都是等腰三角形;
(2)∠EMD=2∠DAC.
图K-1-12
动点问题如图K-1-13,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,D为BC边的中点.
(1)写出点D到△ABC三个顶点A,B,C的距离的关系(不要求证明);
(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论.
图K-1-13
详解详析
课堂达标
1.[解析]D ∵在Rt△ABC中,∠C=90°
,
∴∠A=90°
-∠B=90°
-54°
=36°
.故选D.
2.[解析]A 设该直角三角形斜边上的中线长为x,则斜边长为2x,则x+2x=9,解得x=3.
故选A.
3.[解析]D A选项中,∠A+∠B=∠C,即2∠C=180°
,∠C=90°
,所以△ABC为直角三角形;
同理,B,C选项均为直角三角形.D选项中,∠A=∠B=3∠C,即7∠C=180°
,三个角中没有90°
角,故不是直角三角形.故选D.
4.[解析]B ∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=6,∴AD⊥BC,CD=BD=
BC=3.∵E为AC的中点,∴DE=CE=
AC=4,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=3+4+4=11.故选B.
5.[解析]B ∵∠ABC=∠ADC=90°
,E是AC的中点,∴BE=
AC,ED=
AC,∴ED=BE,∴∠1=∠2.
6.[解析]C
在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,E是AB的中点,∴EC=EA=
AB.根据对称,得EC=AC,
∴EC=AC=EA,∴△ACE是等边三角形,
∴∠A=60°
,∴∠B=90°
-∠A=90°
-60°
=30°
7.5
8.[答案]70°
[解析]∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°
又∵∠BAD=∠B,∴∠BAD=∠B=45°
在Rt△ADC中,∠DAC=90°
-∠C=90°
-65°
=25°
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°
+25°
=70°
9.[答案]54
[解析]设直角三角形的两个锐角分别为α,β(α<β),则
解得
所以两个锐角中较大的锐角为54°
10.[答案]0<
CD≤5
[解析]根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,当点D运动至点A时,CD最长,为5.
11.证明:
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴∠2+∠3=90°
,即∠ABC=90°
∴△ABC是直角三角形.
12.解:
AD∥BC.
理由:
∵BD⊥DC,
∴∠BDC=90°
∵∠C=60°
,∴∠DBC=30°
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBC=60°
∵∠A=120°
∴∠A+∠ABC=180°
∴AD∥BC.
13.证明:
∵∠BAC=90°
∴∠ADF=90°
-∠ABD.
∵AE⊥BC于点E,
∴∠AFD=∠BFE=90°
-∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ADF=∠AFD,∴AF=AD.
14.证明:
如图,连接DE.
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=90°
在Rt△ADB中,DE是AB边上的中线,
∴DE=
AB=BE,
∴∠B=∠EDB.
∵DC=BE,
∴DE=DC,
∴∠DEC=∠BCE.
∵∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,
∴∠B=2∠BCE.
15.解:
(1)证明:
∵CD=BC,E为BD的中点,
∴CE⊥BD.
在Rt△ACE中,∵F为AC的中点,
∴EF=
AC.
(2)∵∠BAC=45°
,CE⊥BD,
∴△AEC是等腰直角三角形.
∵F为AC的中点,
∴EF垂直平分AC,∴AM=CM.
∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=BC,
∴BC=AM+DM.
16.证明:
(1)∵M为AB边的中点,AD⊥BC,BE⊥AC,
∴ME=
AB,MD=
AB,
∴ME=MD,∴△MED是等腰三角形.
∵M为AB边的中点,AD⊥BC,
∴MD=MB=
∴△BMD是等腰三角形.
(2)∵ME=
AB=MA,
∴∠MAE=∠MEA,∴∠BME=2∠MAE.
同理MD=
AB=MA,∴∠MAD=∠MDA,
∴∠BMD=2∠MAD,
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2(∠MAE-∠MAD)=2∠DAC.
素养提升
解:
(1)DC=DA=DB.
(2)△DMN是等腰直角三角形.
证明:
连接AD.
,D为BC边的中点,
∴DC=DA=DB,
∴∠C=∠CAD,∠B=∠DAB.
又∵AB=AC,∴∠C=∠B,
∴∠CAD=∠B.
在△AND和△BMD中,
∵AN=BM,∠NAD=∠B,DA=DB,
∴△AND≌△BMD,
∴DN=DM,∠ADN=∠BDM,
∵AB=AC,D为BC边的中点,∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=90°
∴∠ADM+∠ADN=90°
,即∠NDM=90°
∴△DMN是等腰直角三角形.
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