导数参数问题解析版文科.docx
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导数参数问题解析版文科
含参数导数问题
一、基础题型:
函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:
令得到两个根;
第二步:
画两图或列表;
第三步:
由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法:
第一种:
分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
第二种:
构造函数求最值
题型特征:
恒成立恒成立;从而转化为第一种题型
3、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:
转化为在给定区间上恒成立,回归基础题型
解法2:
利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:
前者是后者的子集
1、已知f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=.
2、已知函数.
(1)求函数的图像在处的切线方程;
(2)求的最大值;
(3)设实数,求函数在上的最小值.
(Ⅰ)定义域为
又
函数的在处的切线方程为:
,即
(Ⅱ)令得
当时,,在上为增函数
当时,,在上为减函数
(Ⅲ),由
(2)知:
在上单调递增,在上单调递减.
在上的最小值
当时,
当时,
3、设a为实数,已知函数.
(1)当a=1时,求函数的极值.
(2)若方程=0有三个不等实数根,求a的取值范围
(1)依题有,
故.
由
x
0
2
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
得在时取得极大值,在时取得极小值.
(2)因为,
所以方程的两根为a-1和a+1,
显然,函数在x=a-1取得极大值,在x=a+1是取得极小值.
因为方程=0有三个不等实根,
所以即解得且.
4、方程在[0,1]上有实数根,则m的最大值是
5、设函数,其中常数a>1
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。
(1)
由知,当时,,故在区间是增函数;
当时,,故在区间是减函数;
当时,,故在区间是增函数。
综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数。
(2)由()知,当时,在或处取得最小值。
由假设知即解得1 故的取值范围是(1,6) 6、已知函数 (1)若函数在处的切线方程为,求的值; (2)若函数在为增函数,求的取值范围; (1)因为: ,又在处的切线方程为 所以解得: (2)若函数在上恒成立。 则在上恒成立, 即: 在上恒成立。 所以有 7、设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数, (1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围; 解: 由函数得 (1)在区间上为“凸函数”, 则在区间[0,3]上恒成立 解法一: 从二次函数的区间最值入手: 等价于 解法二: 分离变量法: ∵当时,恒成立, 当时,恒成立 等价于的最大值()恒成立, 而()是增函数,则 8、已知函数 (I)求的单调区间; (II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。 子集思想 (I) 1、 当且仅当时取“=”号,单调递增。 2、 单调增区间: 单调增区间: (II)当则是上述增区间的子集: 1、时,单调递增符合题意 2、, 综上,a的取值范围是[0,1]。 9、 练习: 1、(2008江苏卷)f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=. 解: 2.已知是实数,函数.如果函数在区间上有 零点,求的取值范围. 2解: 若,,显然在上没有零点,所以 令得 当时,恰有一个零点在上; 当即时,也恰有一个零点在上; 当在上有两个零点时,则 或 解得或 因此的取值范围是或; 3.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R。 (1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值; (2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围。 解: (Ⅰ) 因取得极值,所以解得 经检验知当为极值点. (Ⅱ)令 当和上为增函数,故当上为增函数. 当上为增函数,从而上也为增函数. 综上所述,当上为增函数. 5.已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又 (Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在区间(m>0)上恒有≤x成立,求m的取值范围. 5.解: (Ⅰ),由已知, 即解得 ,,,. (Ⅱ)令,即, ,或. 又在区间上恒成立,. 6.已知是函数的一个极值点,其中, (I)求与的关系式;(II)求的单调区间; (III)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3,求的取值范围. 6.解(I)因为是函数的一个极值点,所以,即,所以 (II)由(I)知,= 当时,有,当变化时,与的变化如下表: 1 0 0 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故有上表知,当时,在单调递减,在单调递增,在上单调递减. (III)由已知得,即 又所以即① 设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, 所以解之得又所以 即的取值范围为 10.已知函数,. (Ⅰ)讨论函数的单调区间; (Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围. 10.解: (1) 求导: 当时,, 在上递增 当,求得两根为 即在递增,递减, 递增 (2),且解得: 11.设,函数. (Ⅰ)若是函数的极值点,求的值; (Ⅱ)若函数,在处取得最大值,求的取值范围. 11.解: (Ⅰ). 因为是函数的极值点,所以,即,因此. 经验证,当时,是函数的极值点.4分 (Ⅱ)由题设,. 当在区间上的最大值为时, ,即.故得.9分 反之,当时,对任意, , 而,故在区间上的最大值为. 综上,的取值范围为. 15.设函数,其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。 15.解: (I) 由知,当时,,故在区间是增函数; 当时,,故在区间是减函数; 当时,,故在区间是增函数。 综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数。 (II)由(I)知,当时,在或处取得最小值。 由假设知 即解得1 故的取值范围是(1,6)
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