工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案Word文件下载.docx
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6264(2个)
(2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2)(n1个)
3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
解含因子a11a23的项的一般形式为
(1)ta11a23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是
(1)a11a23a32a44
(1)a11a23a32a44a11a23a32a44
(1)ta11a23a34a42
(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42
4计算下列各行列式
t1
41242021052001174124cc42312021解520c7c4301170
1220320141012122
(1)433140
23154110c2c39910000122c314c1231714141121232062
40r4r21402141c4c22131231223121解123122323021450506262r4r12310
140120230000
abacbdcdbfcfef解abacaebcebdcddebceefbfcfbce1111114abcdef111
a1001b1001c1001d
a10001ab10r1ar21b0b11011c01d00a010c11d
adabac3dc2aba1c
(1)
(1)1c1cd01d010
adabcdabcdad1
(1)
(1)32ab11cd5证明:
a2abb2
aab2b(ab)3;
111
证明
a2abb2c2ca2aba2b2a22aba2b2a2aab2b0111c3c102abb2a23aba
(1)(ba)(ba12(ab)ba2b2a3
axbyayxyzaybzazbxax(a3b3y;
azbxaxbyaybzzxy证明
axbyayaybzazbxaxazbxaxbyaybz
xaybzazybxaxzaxbyayxaxbyaybzxaybzzyzazbxayazbzxaxzaxbyyxyaybzabxyz
abzxy(a3b3zxy1)2
1)2
1)2(a(b(c(d
2a2(a2b2(bc(cd2(d证明2)22)22)22)2(a(b(c(d3)23)20;
3)23)23)3)(cccccc1得)3)43322
3)222
2
ab2c2d22(a(b(c(d21)1)21)21)2(a(b(c(d2)22)22)22)2(a(b(c(d
a2ab22bc22cd22da2
b2
c2
d22a2b2c2d
12a12b12c12d32a32b32c32d5(cccc得)4332512212012122
1111abcda2222bcda4b4c4d4(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
证明
11ab22aba4b411110bacadab(ba)c(ca)d(da)
b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2111dc(ba)(ca)(da2b22(ba)c(ca)d(da)111(ba)(ca)(da0cbdb0c(cb)(cba)d(db)(dba1(ba)(ca)(da)(cb)(dbc(c1ba)d(dba=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
x100x111cdc2dc4d0000
000anan1an2x1a2xa1xna1xn1an1xan
证明用数学归纳法证明
当n2时D2x1x2a1xa2命题成立a2xa1
假设对于(n1)阶行列式命题成立即
Dn1xn1a1xn2
则Dn按第一列展开有an2xan1
DnxDn1an
(1)n
10x11
1
00x
001
xDn1anxna1xn1
an1xan
因此对于n阶行列式命题成立
6设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得
D1
an1a11
ann
a1n
n(n1)2
D2
a1na11
an1D3
annan1
a11证明D1D(2
DD3D
证明因为Ddet(aij)所以
a11
(1)nan1
a1nann
a11a21
n1
(1)nan1
(1)
a21
a2na1n
a2nann
a31
a3n
(1)同理可证
12
(n2)(n1)
D
T
111n
an1
(1)
D
(1)
D3(
D2n(n1)2
(n(n1)
n(n1)
DDD
(1)
7计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
a1
(1)Dn
是0
1,其中对角线上元素都是a未写出的元素都aDn
a000a000a000100010000(按第n行展开)a00a000a00
(1)n0a0
000
a
(1)n1
(1)n01000(n1)(n1)a
(1)2naaa(n1)(n1)
a(n2)(n2)
aa;
xananan2an2(a21)
(2)Dn
xaaxaa解将第一行乘
(1)分别加到其余各行得
Dnxaaaxxa0ax0xaa00
ax0
00xa再将各列都加到第一列上得x(n1)aaa0xa000xaDna00
0xa[x(n1)a](xa)n1000
(3)Dn1an(a1)nan1(a1)n1(an)n(an)n1an1a1a11;
解根据第6题结果有
Dn11a1a11an
n1(a1)n1an(a1)n(an)n1(an)n此行列式为范德蒙德行列式
Dn1n(n1)2[(ai1)(aj1)]n1ij1n(n1)2
[(ij)]n1ij1
(1)2n1ij1n(n1)21(ij)n1ij1(ij)an(4)D2n
cn
解a1b1c1d1bn;
dnan
D2n
cnbn(按第1行展开)a1b1c1d1dn
an1an
a1b1c1d1
bn10
cn10
dn100dn
0an1
2n1
bn1a1b1c1d1
bncn1cn
dn0
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2
于是
ni2
(aidibici)D2
而
D2D2n
a1b1adbc
c1d11111
所以
n
(aidibici)
i1
(5)Ddet(aij)其中aij|ij|;
解aij|ij|
0123
1012
210111113210
111n1nnn40
Dndet(aij)
n1n2n3n4
r1r2
r2r3
11111111
1111
c2c1
c3c1
n12n32n42n5
11110222002200020000n
(1)n1(n1)2n2
(6)Dn
a1111a211
1an
1,其中a1a2
an0
1a1111a2
Dn
11
c1c2c2c3
a100a2a200a3a3
000000
an1an110an1an00a1100a21
100a3
11an1
1011an
111
aa12
100
110011
000000100010001
a1a2an
1a11a21a3
01
a)(1(aa12n
1n1n
aii1
ai1i
8用克莱姆法则解下列方程组
x1x2x3x45
4xx12x2x34
(1)
2x13x2x35x43x1x22x311x4
220
解因为
11D3
1231
111415211142
D1
5
22012311114121111142D23
5220
1D323Dx1
x15x26x30
(2)x25x36x40
x35x46x50x45x51
5x16x2
51
24426D
42011
DD2x31x2
DD
1231231
1112
11141211
284
3x4
21420D1D
5600015600D1560665
001500015
60000560D115601507D2
00150015
51000106000560001501015
1145
D3
56100150001060703D4000500115
60015601560212015001156010156001500001000015395D5所以xx12665665x3665x4665x4665
lx1x2x309问lm取何值时齐次线性方程组x1mx2x30有非零x12mx2x30
解?
解系数行列式为
l11D1mmml12m令D0得
m0或l1
于是当m0或l1时该齐次线性方程组有非零解
(1l)x12x24x3010问l取何值时齐次线性方程组2x1(3l)x2x30有x1x2(1l)x30非零解?
l24l3l4D23l121l1111l101l
(1l)3(l3)4(1l)2(1l)(3l)
(1l)32(1l)2l3
令D0得
l0l2或l3
于是当l0l2或l3时该齐次线性方程组有非零解
第二章矩阵及其运算
1已知线性变换
xx12y12y2y3
23y1y2x2y5y3
33y123y3
求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换
解由已知
x1221y
x1
x23135yy2
332
21
故yy12321x
2x1749y1
y231253x2633274y2
3y3
yy17x14x29x3
26x13x2y7x3
33x12x24x3
2已知两个线性变换
x
12y1y3
xyy13z1z2
x242yy13y22y3
31y25y3y22z1z3
3z23z3
求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换
xy
x12012
x2
52y1
232
34142031310
y2125200131
z1zz23
613z11249z210116z3
x16z1z23z3所以有x212z14z29z3x310z1z216z31113设A111
111B123124051求3AB2A及ATB
111123111解3AB2A31111242111111051111
0581113056211129011121322217204292
058056290111123ATB111124
111051
4计算下列乘积
4317
(1)12325701
43171232570147321117
(2)231577201356493
(2)(123)21
3解(123)2(132231)(10)1
2(3)1(12)3
21(12)32
(1)221
(1)123
(1)3231301212
12122412361(4)21400113414
12140011341431306782056a11a12a13x1(5)(x1x2x3)a12a22a23x2a13a23a33x3解
a11a12a13x1
(x1x2x3)a12a22a23x2
a13a23a33x3
(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3
222axaxax1x22a13x1x32a23x2x31112223332a12xx1a13x1a23x2a33x3)x2x3
5设A1213
(1)ABBA吗?
解ABBAB1012问
因为AB3446BA1238所以ABBA
(2)(AB)2A22ABB2吗?
解(AB)2A22ABB2
因为AB2225
(AB)222222525814142968812103410161527但A2ABB22
2238411所以(AB)A
(3)(AB)(AB)A2B2吗?
解(AB)(AB)A2B2
22ABB
因为AB2225AB0201
(AB)(AB)22020625010913802822AB4113417
故(AB)(AB)A2B2
6举反列说明下列命题是错误的
(1)若A20则A0
解取A0100则A20但A0
(2)若A2A则A0或AE
解取A1100则A2A但A0且AE
(3)若AXAY且A0则XY解取
A1000
X11Y111101则AXAY且A0但XY
7设A
2解A10求A2A3l1101010
l1l12l1Ak
101010A3A2A
2l1l1
3l1
A
k
kl10
8设Al010
求Ak
00l1
l解首先观察
A2
l010ll200l110l000l1l020ll202ll12
A3
l303l2A2A3l
0l303l3l2
4A4
l04l3l46l2
A4l3
00
l4l55l410l3
A5
A4A0l505l4
0l5
lkklk1Ak
lk20lk2
klk100lk
用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立,则k1时,
lklk1
k1
Ak
0lk2
lk200
klk1
lk
l01000l1l
lk1(k1)lk1
0lk1
0(k1)kk12(k1)lk1lk1
由数学归纳法原理知
lk220lkklk1
00lklkklk1Ak
9设AB为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵
证明因为ATA所以
(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB
从而BTAB是对称矩阵
10设AB都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA
证明充分性因为ATABTB且ABBA所以
(AB)T(BA)TATBTAB
即AB是对称矩阵
必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以
AB(AB)TBTATBA
11求下列矩阵的逆矩阵
(1)1225
1解A22|A|1故A1存在因为5
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