第6章测试题Word格式.docx

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7．一棵二叉树高度为h，所有结点的度为0或2，则这棵树最少有（B）个结点。

A．2hB．2h-1C．2h+1D．h+1

8．在一棵高度为k的满二叉树中，结点总数为（C）

A．2k-1B．2kC．2k-1D．

9．树的后根序遍历等同于该树对应的二叉树的（B）。

A．先序序列B．中序序列C．后序序列

二、填空题

1．二叉树由根节点、左子树、右子树三个基本单元组成。

2．树在计算机内的表示方式有双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

3．在二叉树中，指针p所指结点为叶子结点的条件是p->

lchild==null&

&

p->

rchlid==null。

4．二叉树中某一结点左子树的深度减去右子树的深度称为该结点的平衡因子。

5．具有256个结点的完全二叉树的深度为9。

6．已知一棵度为3的树有2个度为1的结点，3个度为2的结点，4个度为3的结点，则该树有12个叶子结点。

7．深度为k的二叉树至少有2k-1_个结点，至多有2k-1个结点。

8．深度为H的完全二叉树至少有2H-1_个结点，至多有2H-1_个结点，H和结点总数N之间的关系是H=[log2N]+1_向下取整。

9．在完全二叉树中，编号为i和j的两个结点处于同一层的条件是log2i=log2j。

用顺序存储二叉树时，要按完全二叉树的形式存储，非完全二叉树存储时，要加“虚结点”。

设编号为i和j的结点在顺序存储中的下标为s和t,则结点i和j在同一层上的条件是log2s=log2t。

三、判断题

1．二叉树是度为2的有序树。

（×

）

一棵度为二的有序树与一棵二叉树的区别在于:

有序树的结点次序是相对于另一结点而言的，如果有序树中的子树只有一个孩子时，这个孩子结点就无须区分其左右次序，而二叉树无论其孩子数是否为2，均需确定其左右次序，也就是说二叉树的结点次序不是相对于另一结点而言而是确定的。

2．完全二叉树一定存在度为1的结点。

3．对于有n个结点的二叉树，其高度为log2n。

4．深度为k的二叉树中结点总数≤2k-1。

（√）

5．哈夫曼树肯定是一棵二叉树。

6．二叉树的遍历结果不是唯一的。

7．二叉树的遍历只是为了在应用中找到一种线性次序。

8．树的后根遍历和对应的二叉树的中序遍历次序一致。

9．一个树的叶结点，在先序遍历和后序遍历下，皆以相同的相对位置出现。

10．二叉树的先序遍历并不能唯一确定这棵树，但是，如果我们还知道该树的根结点是哪个，则可确定这棵二叉树。

四、应用题

1．从概念上讲，树、森林和二叉树是三种不同的数据结构，将树、森林转化为二叉树的基本目的是什么，并指出树和二叉树的主要区别。

　树的孩子兄弟链表表示法和二叉树二叉链表表示法，本质是一样的，只是解释不同，也就是说树（树是森林的特例，即森林中只有一棵树的特殊情况）可用二叉树唯一表示，并可使用二叉树的一些算法去解决树和森林中的问题。

树和二叉树的区别有三：

一是二叉树的度至多为2，树无此限制；

二是二叉树有左右子树之分，即使在只有一个分枝的情况下，也必须指出是左子树还是右子树，树无此限制；

三是二叉树允许为空，树一般不允许为空（个别书上允许为空）。

2．请分析线性表、树、广义表的主要结构特点，以及相互的差异与关联。

线性表属于约束最强的线性结构，在非空线性表中，只有一个“第一个”元素，也只有一个“最后一个”元素；

除第一个元素外，每个元素有唯一前驱；

除最后一个元素外，每个元素有唯一后继。

树是一种层次结构，有且只有一个根结点，每个结点可以有多个子女，但只有一个双亲（根无双亲），从这个意义上说存在一（双亲）对多（子女）的关系。

广义表中的元素既可以是原子，也可以是子表，子表可以为它表共享。

从表中套表意义上说，广义表也是层次结构。

从逻辑上讲，树和广义表均属非线性结构。

但在以下意义上，又蜕变为线性结构。

如度为1的树，以及广义表中的元素都是原子时。

另外，广义表从元素之间的关系可看成前驱和后继，也符合线性表，但这时元素有原子，也有子表，即元素并不属于同一数据对象。

3．将算术表达式（（a+b）+c*（d+e）+f）*（g+h）转化为二叉树。

4．一个深度为L的的满二叉树有以下性质：

第L层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有K棵非空子树，如果按层次顺序从1开始对全部结点进行编号，求：

（1）各层的结点的数目是多少？

（2）编号为n的结点的双亲结点（若存在）的编号是多少？

（3）编号为n的结点的第i个孩子结点（若存在）的编号是多少？

（4）编号为n的结点有右兄弟的条件是什么？

如果有，其右兄弟的编号是多少？

请给出计算和推导过程。

【参考答案】

（1）kh-1（h为层数）

（2）因为该树每层上均有Kh-1个结点，从根开始编号为1，则结点i的从右向左数第２个孩子的结点编号为ki。

设n为结点i的子女，则关系式（i-1）k+2<

=n<

=ik+1成立，因i是整数，故结点n的双亲i的编号为n-2）/k+1。

（3）结点n（n>

1）的前一结点编号为n-1（其最右边子女编号是（n-1）*k+1），故结点n的第i个孩子的编号是（n-1）*k+1+i。

（4）根据以上分析，结点n有右兄弟的条件是，它不是双亲的从右数的第一子女，即（n-1）%k!

=0，其右兄弟编号是n+1。

5．已知完全二叉树的第七层有10个叶子结点，则整个二叉树的结点数最多是多少？

235

由于本题求二叉树的结点数最多是多少，第7层共有27-1=64个结点，已知有10个叶子，其余54个结点均为分支结点。

它在第八层上有108个叶子结点。

所以该二叉树的结点数最多可达（27-1+108）=235。

（注意；

本题并未明说完全二叉树的高度，但根据题意，只能8层。

6．一棵共有n个结点的树，其中所有分支结点的度均为K，求该树中叶子结点的个数。

设分枝结点和叶子结点数分别是为nk和n0，因此有n=n0+nk

（1）

另外从树的分枝数B与结点的关系有n=B+1=K*nk+1

（2）

由

（1）和

（2）有n0=n-nk=（n（K-1）+1）/K

7．证明：

在任何一棵非空二叉树中有下面的等式成立：

叶子结点个数=度为2的结点个数+1。

证明设度为1和2及叶子结点数分别为n0，n1和n2，则二叉树结点数n为n=n0+n1+n2

（1）

再看二叉树的分支数，除根结点外，其余结点都有一个分支进入，设B为分支总数，则n=B+1。

度为1和2的结点各有1个和2个分支，度为0的结点没有分支，故n=n1+2n2+1

（2）

由

（1）和

（2），得n0=n2+1

8．证明：

由一棵二叉树的先序序列和中序序列可唯一确定这棵二叉树。

设一棵二叉树的先序序列为ABDGECFH，中序序列为：

DGBEAFHC。

试画出该二叉树。

解释：

因为由二叉树的先序序列和中序序列可以唯一地确定一棵二叉树，所以进而可以唯一地确定它的后序遍历。

在先序遍历序列中，第一个结点一定是二叉树的根结点，而在中序遍历中，根结点必然将中序序列分割成两个子序列，前一个子序列就是左子树的中序序列，后一个子序列就是右子树的中序序列。

根据这两个子序列的长度，可以在先序序列中找到对应的左子树先序序列和右子树先序序列。

而左子树先序序列的第一个结点是左子树的根结点，右子树先序序列的第一个结点是右子树的根结点。

如此递归地进行下去，便能唯一地确定这棵二叉树。

9．给定一组数列（15，8，10，21，6，19，3）分别代表字符A，B，C，D，E，F，G出现的频度，试叙述建立哈夫曼树的算法思想，画出哈夫曼树，给出各字符的编码值，并说明这种编码的优点。

五、算法设计题

1．要求二叉树按二叉链表形式存储；

（1）写一个建立二叉树的算法。

typedefstructNode 

{ 

chardata;

structNode*pLchild;

structNode*pRchild;

}BTreeNode,*BTree;

BTreeCreateBTree（BTreeT）//创建二叉树 

charx;

scanf（"

%c"

&

amp;

x）;

if（'

0'

==x） 

T=NULL;

} 

else 

T=（BTree）malloc（sizeof（BTreeNode））;

T-&

gt;

data=x;

pLchild=CreateBTree（T-&

pLchild）;

pRchild=CreateBTree（T-&

pRchild）;

returnT;

（2）写一个判别给定的二叉树是否是完全二叉树的算法。

#include<

stdio.h>

#defineMaxNum

10000 

BinTreebuildTree（elementypeBT[],inti,intn） 

BinTreer;

if（i>

n） 

return（NULL）;

r=（BinTree）malloc（sizeof（BinNode））;

r->

data=BT[i];

Lchild=buildTree（BT,2*i,n）;

Rchild=buildTree（BT,2*i+1,n）;

return（r）;

IntcheckTree（BinTreet） 

intmaxn0=0;

n=num（t,1,&

maxn0）;

if（n==maxn0） 

return

（1）;

return（0）;

intnum（BinTreet,inti,int*m） 

if（t==NULL） 

if（*m<

i） 

*m=i;

return（1+num（t->

Lchild,2*i,m）+num（t->

Rchild,2*i+1,m））;

main（）{ 

2．有n个结点的完全二叉树存放在一维数组A[1..n]中，试据此建立一棵用二叉链表表示的二叉树，根由tree指向。

3．设一棵二叉树以二叉链表为存储结构，结点结构为（lchild,data,rchild），设计一个算法将二叉树中所有结点的左、右子树相互交换。

iostream.h>

/*二叉树类型的定义（二叉链表形式储存）*/

typedefchardatatype;

//树的结点数据类型为字符型，可以根据需要修改

typedefstructnode*pointer;

//定义二叉树结点类型

structnode{

datatypedata;

//结点数据

pointerlchild,rchild;

//左右孩子结点

};

typedefpointerbitree;

//定义二叉树类型

/*先根遍历交换左右子树*/

/*层次遍历序列生成*/

constintmaxsize=100;

pointerQ[maxsize+1];

bitreelevel_creat（）//由层次序列建立二叉树，返回根指针

{

charch;

intfront,rear;

pointerroot,s;

root=NULL;

//置空二叉树

front=rear=0;

//置空队列

while（cin>

>

ch,ch!

='

#'

if（ch!

@'

）//非虚结点，建立新结点

s=newnode;

s->

data=ch;

lchild=s->

rchild=NULL;

}

elses=NULL;

rear++;

Q[rear]=s;

//不管结点是否为虚都要入队

if（rear==1）{root=s;

front=1;

}//第一个点是根，要修改头指针，他不是孩子

elseif（s&

Q[front]）//孩子和双亲都不是虚结点

if（rear%2==0）Q[front]->

lchild=s;

//rear是偶数，新结点是左孩子

Q[front]->

rchild=s;

//rear是奇数，新结点是右孩子

front++;

returnroot;

/*交换左右子树*/

voidexchange（bitreet） 

pointerp;

if（t==NULL）return;

//空树，直接返回

p=t->

lchild;

t->

lchild=t->

rchild;

rchild=p;

//交换

exchange（t->

rchild）;

//遍历原左子树

lchild）;

//遍历原右子树

/*二叉树的先根遍历 

*/

voidpreorder（bitreet）//先根遍历

cout<

<

t->

data<

"

"

;

//先访问根

preorder（t->

//先根遍历左子树

//先根遍历右子树

voidmain（）

bitreeT=NULL;

intch;

首先层次遍历序列生成二叉树，请输入结点数据（输入'

为虚结点，输入'

结束）:

\n"

T=level_creat（）;

if（T==NULL）cout<

二叉树生成失败!

elsecout<

二叉树生成成功!

AA:

do{

----------------------菜单--------------------\n"

0.退出\n"

1.重新建立二叉树\n"

2.交换左右子数\n"

3.先根遍历二叉树\n"

请选择：

----------------------------------------------\n"

cin>

ch;

switch（ch）

case0:

break;

case1:

T=level_creat（）;

cout<

case2:

exchange（T）;

交换成功!

case3:

preorder（T）;

endl;

default:

您输入错误!

请重新输入"

gotoAA;

}while（ch!

=0）;