高考数学二轮复习专题二基本初等函数函数与方程讲义理Word文档格式.docx
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c
(2)已知f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>
0且a≠1),若f(4)g(-4)<
0,则y=f(x),y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
(3)(2018·
信阳二模)设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>
0,则,,的大小关系不可能是( )
A.<
<
B.==
C.<
D.<
[解析]
(1)∵a=2017
>
20170=1,
0<
b=log2017<
log20172017=1,
c=log2018<
log20181=0,∴a>
c.故选D.
(2)∵f(x)=ax-2>
0恒成立,又f(4)·
g(-4)<
0,∴g(-4)=loga|-4|=loga4<
0=loga1,∴0<
a<
1.故函数y=f(x)在R上单调递减,且过点(2,1),函数y=g(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B正确.
(3)设log2x=log3y=log5z=k>
0,
则x=2k>
1,y=3k>
1,z=5k>
1.
∴=2k-1,=3k-1,=5k-1.
①若0<
k<
1,则函数f(x)=xk-1在定义域上单调递减,
∴>
;
②若k=1,则函数f(x)=xk-1=1,∴==;
③若k>
1,则函数f(x)=xk-1在定义域上单调递增,
∴<
.
∴,,的大小关系不可能是D.因此A、B、C正确,D错误.故选D.
[答案]
(1)D
(2)B (3)D
[类题通法]
1.幂、指数、对数式比较大小的方法
(1)利用幂、指数、对数函数的单调性,这就需要观察要比较大小的数和式的结构特征,寻找共同点(如指数相同,底数相同等),构造相应函数;
(2)媒介法,即利用中间值(特别是0和1)作媒介传递,达到比较其大小的目的.
2.基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a>
1和0<
1两种情况讨论:
当a>
1时,两函数在定义域内都为增函数;
当0<
1时,两函数在定义域内都为减函数.
(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
(3)对于幂函数y=xα的性质要注意α>
0和α<
0两种情况的不同.
[应用通关]
1.(2018·
厦门一模)已知a=0.3,b=log
0.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<
b<
cB.c<
b
C.a<
c<
bD.b<
解析:
选B ∵b=log
0.3>
log
=1,a=0.3<
0=1,∴c=ab<
a.∴c<
b.故选B.
2.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-t,∀x1∈[1,6)时,总存在x2∈[1,6)使得f(x1)=g(x2),则t的取值范围是( )
A.∅B.(-∞,1]∪[28,+∞)
C.(-∞,1)∪(28,+∞)D.[1,28]
选D 由f(x)是幂函数得m=0或2,
当m=0时,f(x)=x2;
当m=2时,f(x)=x-2.
而f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,
则f(x)=x2,
当x∈[1,6)时,f(x)∈[1,36).
当x∈[1,6)时,g(x)∈[2-t,64-t).
若∀x1∈[1,6)时,总存在x2∈[1,6)使得f(x1)=g(x2),则[1,36)⊆[2-t,64-t),
故解得1≤t≤28,故选D.
3.若函数f(x)=xa满足f
(2)=4,那么函数g(x)=|loga(x+1)|的图象大致为( )
选C 法一:
由函数f(x)=xa满足f
(2)=4,得2a=4,∴a=2,则g(x)=|loga(x+1)|=|log2(x+1)|,将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变),然后将x轴下方的图象翻折上去,即可得g(x)的图象,故选C.
法二:
由函数f(x)=xa满足f
(2)=4,得2a=4,∴a=2,即g(x)=|log2(x+1)|,由g(x)的定义域为{x|x>
-1},排除B、D;
由x=0时,g(x)=0,排除A.故选C.
函数的实际应用问题
[由题知法]
(1)(2018·
开封模拟)李冶(1192~1279),真定栾城(今河北省石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:
求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:
现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:
240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)( )
A.10步,50步B.20步,60步
C.30步,70步D.40步,80步
(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P=P0e-kt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时.
[解析]
(1)设圆池的半径为r步,则方田的边长为(2r+40)步,由题意,得(2r+40)2-3r2=13.75×
240,解得r=10或r=-170(舍去),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步,故选B.
(2)前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t=5时,P=0.9P0,代入,得(e-k)5=0.9,
∴e-k=0.9,∴P=P0e-kt=P0t.当污染物减少19%时,污染物剩下81%,此时P=0.81P0,代入得0.81=t,解得t=10,即需要花费10小时.
[答案]
(1)B
(2)10
1.解决函数实际应用题的2个关键点
(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解.
2.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法
(1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
(2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.
(3)构建f(x)=x+(a>
0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.
[应用通关]
1.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑6台,乙分公司现有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知从甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,从乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.若总运费不超过1000元,则调运方案的种数为( )
A.1B.2
C.3D.4
选C 设甲地调运x台电脑至B地,则剩下(6-x)台电脑调运至A地;
乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0≤x≤6,x∈N).则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,∴y=20x+960(x∈N,0≤x≤6).若y≤1000,则20x+960≤1000,得x≤2.又0≤x≤6,x∈N,∴x=0,1,2,即有3种调运方案.
2.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位:
万元),当年产量不足80千件时,G(x)=x2+10x;
当年产量不小于80千件时,G(x)=51x+-1450.已知每件产品的售价为0.05万元.通过市场分析,该工厂生产的产品能全部售完,则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元.
∵每件产品的售价为0.05万元,∴x千件产品的销售额为0.05×
1000x=50x万元.
①当0<
x<
80时,年利润L(x)=50x-x2-10x-250=-x2+40x-250=-(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值,且最大值为L(60)=950万元;
②当x≥80时,L(x)=50x-51x-+1450-250=1200-≤1200-2=1200-200=1000,当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值1000万元.
由于950<
1000,∴当产量为100千件时,该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大,最大年利润为1000万元.
答案:
1000
重难增分
函数的零点问题
[典例细解]
(2017·
全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.- B.
C.D.1
[学解题]
(一)常规思路稳解题
法一:
由函数f(x)有零点,得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,
即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,
令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,
即a=.
令h(t)=,易得h(t)为偶函数,
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,
所以a==,故选C.
由f(x)=0⇔a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.
ex-1+e-x+1≥2=2,当且仅当x=1时取“=”.
-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时取“=”.
若a>
0,则a(ex-1+e-x+1)≥2a,
要使f(x)有唯一零点,则必有2a=1,即a=.
若a≤0,则f(x)的零点不唯一.
综上所述,a=.
(二)特殊思路妙解题
法三:
由f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴.
由题意,f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x=1,即f
(1)=12-2×
1+a(e1-1+e-1+1)=0,
解得a=.故选C.
[答案] C
[启思维] 本题考查由函数零点情况求参数值.
思路一:
先化简f(x)的表达式,再换元转化成关于t的函数,利用函数的有关性质求解.
思路二:
先把f(x)转化为二次函数与指数型函数相等问题,再分别考察它们的值域,利用唯一性求解.
思路三:
观察式子f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)的结构特点可知,g(x)=x2-2x与h(x)=a(ex-1+e-x+1)都有对称性,可得出f(2-x)=f(x),由对称性求解.
(2018·
全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0)B.[0,+∞)
C.[-1,+∞)D.[1,+∞)
[解析] 令h(x)=-x-a,
则g(x)=f(x)-h(x).在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的示意图,如图所示.若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<
-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>
-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.
[启思维] 本题主要考查函数与方程.本题以高中两个基本初等函数(指数函数和对数函数)为载体,构建分段函数,与函数零点结合,需借助函数图象解决问题.破解此类题的关键:
一是会转化,把函数的零点问题转化为方程的根的问题,再转化为两个函数的图象的交点问题;
二是会借形解题,即画出两函数的图象,由图象的直观性,可快速找到参数所满足的不等式,解不等式,即可求出参数的取值范围.
[知能升级]
已知函数有零点(方程有根)求参数(值)范围的3种方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离
参数法
先将参数分离,转化为求函数值域的问题加以解决
数形
结合法
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解
[增分集训]
洛阳第一次统考)已知函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)=f(x-1)(x∈R),且当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则方程|cosπx|-f(x)=0在[-1,3]上的所有根之和为( )
A.8B.9
C.10D.11
选D 方程|cosπx|-f(x)=0在[-1,3]上的所有根之和即y=|cosπx|与y=f(x)在[-1,3]上的图象交点的横坐标之和.由f(1-x)=f(1+x)得f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(1-x)=f(x-1)得f(x)的图象关于y轴对称,由f(1+x)=f(x-1)得f(x)的一个周期为2,而当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=|cosπx|在[-1,3]上的大致图象,如图所示,
易知两图象在[-1,3]上共有11个交点,又y=f(x),y=|cosπx|的图象都关于直线x=1对称,故这11个交点也关于直线x=1对称,故所有根之和为11.
2.已知函数f(x)=g(x)=kx-1,若方程f(x)-g(x)=0在x∈(-2,2)上有三个实根,则实数k的取值范围为( )
A.(1,ln2)B.
C.D.(1,ln2)∪
选D 显然,x=0不是方程f(x)-g(x)=0的根,
则f(x)-g(x)=0,即k=,
可设k=φ(x)=
由x<
0,可得φ(x)=x++4≤-2+4=2,当且仅当-x=-,即x=-1时等号成立,
即有φ(x)在x<
0时,有最大值φ(-1)=2;
当x>
0时,φ(x)=+lnx的导数为φ′(x)=-+=,
1时,φ′(x)>
0,φ(x)在(1,+∞)上单调递增;
1时,φ′(x)<
0,φ(x)在(0,1)上单调递减.
可得φ(x)在x=1处取得最小值1.
作出φ(x)在(-2,2)上的图象如图所示,由图象得当1<
ln2+或<
2时,直线y=k和y=φ(x)的图象均有三个交点.
则k的取值范围是(1,ln2)∪.
[专题跟踪检测](对应配套卷P167)
一、全练保分考法——保大分
1.若m∈,a=lgm,b=lgm2,c=lg3m,则a,b,c的大小关系是( )
c B.c<
C.b<
cD.b<
选C ∵m∈,∴-1<
lgm<
0,∴lg3m-lgm=(lgm-1)(lgm+1)lgm>
0,∴lg3m>
lgm,即c>
a.又m∈,∴0<
m2<
m<
1,∴lgm2<
lgm,即a>
B.∴b<
c.故选C.
2.定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系是( )
cB.a<
C.c<
bD.c<
选C ∵函数f(x)为偶函数,∴m=0,∴f(x)=2|x|-1.∴a=f(log0.53)=f(-log23)=2log23-1=2,b=f(log25)=2log25-1=4,c=f(0)=20-1=0.∴c<
b.故选C.
3.(2018·
长沙一模)函数f(x)=2x+的图象大致为( )
选A ∵f(x)=2x+=2x-+1的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
∴f′(x)=2xln2+>
0恒成立,
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,排除C、D;
当x→-∞时,2x→0,→1,∴f(x)→1,排除B,选A.
4.已知函数f(x)=则不等式log2x-(log
4x-1)f(log3x+1)≤5的解集为( )
A.B.[1,4]
C.D.[1,+∞)
选C 由不等式log2x-(log
4x-1)f(log3x+1)≤5,得
或
解得1≤x≤4或<
故原不等式的解集为.故选C.
5.已知函数f(x)=+满足条件f(loga(+1))=1,其中a>
1,则f(loga(-1))=( )
选B ∵f(x)=+,∴f(-x)=+=+,∴f(x)+f(-x)=+++=3.∵loga(+1)=-loga(-1),∴f(loga(+1))+f(loga(-1))=3,∴f(loga(-1))=2.故选B.
6.(2019届高三·
贵阳模拟)20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )
A.10倍B.20倍
C.50倍D.100倍
选D 根据题意有lgA=lgA0+lg10M=lg(A0·
10M),所以A=A0·
10M,则=100.故选D.
7.(2018·
菏泽一模)已知log
b,则下列不等式一定成立的是( )
A.a<
bB.>
C.ln(a-b)>
0D.3a-b<
1
选A ∵log
b,∴a>
∴a<
b,<
,ln(a-b)与0的大小关系不确定,3a-b>
因此只有A正确.故选A.
8.已知实数x,y满足ax<
ay(0<
1),则下列关系式恒成立的是( )
A.>
B.ln(x2+1)>
ln(y2+1)
C.sinx>
sinyD.x3>
y3
选D ∵实数x,y满足ax<
1),∴x>
y.对于选项A,>
等价于x2+1<
y2+1,即x2<
y2.当x=1,y=-1时,满足x>
y,但x2<
y2不成立.对于选项B,ln(x2+1)>
ln(y2+1)等价于x2>
y2,当x=1,y=-1时,满足x>
y,但x2>
y2不成立.对于选项C,当x=π,y=时,满足x>
y,但sinx>
siny不成立.对于选项D,当x>
y时,x3>
y3恒成立.故选D.
9.(2018·
广元模拟)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln+,对任意a∈R,存在b∈(0,+∞)使f(a)=g(b),则b-a的最小值为( )
A.2-1B.e2-
C.2-ln2D.2+ln2
选D 令t=ea,可得a=lnt,令t=ln+,可得b=2
,
则b-a=2e
t--lnt,令h(t)=2e
-lnt,
则h′(t)=2e
-.
显然,h′(t)是增函数,观察可得当t=时,h′(t)=0,
故h′(t)有唯一零点,
故当t=时,h(t)取得最小值,即b-a取得最小值为2e
-ln=2+ln2,故选D.
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若<
f
(1),则x的取值范围是( )
A.B.(0,e)
C.D.(e,+∞)
选C ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(lnx)-f=f(lnx)-f(-lnx)=f(lnx)+f(lnx)=2f(lnx),
f
(1)等价于|f(lnx)|<
f
(1),
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴-1<
lnx<
1,解得<
e.
11.记函数f(x)=x2-mx(m>
0)在区间[0,2]上的最小值为g(m).已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数h(x)为偶函数,且当x>
0时,h(x)=g(x),若h(t)>
h(4),则实数t的取值范围为( )
A.(-4,0)B.(0,4)
C.(-2,0)∪(0,2)D.(-4,0)∪(0,4)
选D 因为f(x)=x2-mx(m>
0),所以f(x)=2-,因为f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(m),所以当0<
m≤4,即0<
≤2时,g(m)=f=-;
当m>
4,即>
2时,函数f(x)=2-在[0,2]上单调递减,所以g(m)=f
(2)=4-2m.综上,g(m)=因为当x>
0时,h(x)=g(x),所以当x>
0时,h(x)=函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.因为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数h(x)为偶函数,且h(t)>
h(4),所以h(|t|)>
h(4),所以0<
|t|<
4,所以即从而-4<
t<
0或0<
4.综上所述,实数t的取值范围为(-4,0)∪(0,4).
12.(2019届高三·
昆明调研)若函数f(x)=2x+1-x2-2x-2,对于任意的x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.(-∞,0]
C.(-∞,3]
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- 高考 数学 二轮 复习 专题 基本 初等 函数 方程 义理