人教版高中数学必修1知识点总结Word格式文档下载.docx

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{x|x

二、集合间的基本关系

1.?

包含?

关系—子集

AB有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．?

相等?

关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}?

元素相同则两集合相等?

即：

①任何一个集合是它本身的子集。

AA

②真子集:

如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为

Φ

规定:

空集是任何集合的子集，

空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有

n

个子集，2

-1

个非空真子集

2

个真子集，2-2

三、集合的运算

运算

交

集

并

补

类型

定

由所有属于

A且属

由所有属于集合

A或

义

于B的元素所组成

属于集合B的元素所

的集合,叫做A,B的

组成的集合，叫做A,B

交集．记作A

B（读

的并集．记作：

AB

作‘A交B’），即

（读作‘A并B’），即

AB=｛x|x

A，且

AB={x|x

A，或

设S是一个集合，A是

S的一个子集，由S中

所有不属于A的元素组

成的集合，叫做S中子

集A的补集（或余集）记作CSA，即

第1页共7页

x

B｝．

B}）．

CA={x|x

S,且xA}

S

韦

恩

A

B

图

示

图1

图2

性

A=A

u

（CA）

（C

B）

Φ=Φ

Φ=A

=Cu

（A

B=B

BA

BＡ

=C（AB）

质

ABB

（CuA）=U

（CuA）=Φ．

二、函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于

集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

1．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）

实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义

.

相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）

；

②定义域一致（两点必须同时具备）

（见课本21页相关例2）

2．值域:

先考虑其定义域

观察法

配方法

代换法

3.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数

y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数

值

y

为纵坐标的点P，

y）

的集合C，叫做函数

y=f（x）,（x

∈A）的图象．C上每一

（x

点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足

y=f（x）的每一组有序实

数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1）平移变换

2）伸缩变换

3）对称变换

第2页共7页

4．区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对

于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么

就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作?

f（对应关系）：

A（原

象）B（象）?

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：

复合函数

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合

函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）＞f（x2），

那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间

上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

任取x1，x2∈D，且x1<

x2；

作差f（x1）－f（x2）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性

f

[

g（x）

]的单调性与构成它的函数

u=g（x）

，

的单调性密切相关，

y=f（u）

其规律：

?

同增异减?

函数的单调区间只能是其定义域的子区间

不能把单调性相同的区间和

在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数

f（x）

的定义域内的任意一个

x，都有f（－x）=f（x）

，那么f（x）

就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f（x）

x，都有f（－x）=—f（x）

第3页共7页

就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f（－x）与f（x）的关系；

○

f（－x）=f（x）或f（

－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函

3作出相应结论：

若

数；

若f（－x）=－f（x）

或f（－x）＋f（x）=0

，则f（x）是奇函数．

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

首先看函数的

定义域是否关于原点对称，

若不对称则函数是非奇非偶函数

.若对称，

（1）再根据

定义判定;

（2）由f（-x）

±

f（x）=0或f（x）／f（-x）=±

1来判定;

（3）

利用定理，或

借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，

一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1）凑配法

2）待定系数法

3）换元法

4）消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2利用图象求函数的最大（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）

在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）

在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）

在x=b处有最小值f（b）；

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

一般地，如果xn

a，那么x叫做a的n次方根，其中n>

1，且

n∈N*．

负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是

0，记作n0

0。

当n是奇数时，n

an

a，当n是偶数时，n

an

a

（a

0）

|a|

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

m

ann

am（a

0,m,n

N*,n

1）

1

0,m,n

*

n

am

N

0的正分数指数幂等于

0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）ar

〃ar

ars

0,r,s

R）；

第4页共7页

（2）（ar）s

ars

（3）（ab）r

aras

R）．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数

ax（a0,且a1）

叫做指数函数，其中

是自变量，函数的定义域为

R．

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和

1．

2、指数函数的图象和性质

a>

0<

a<

6

5

4

3

-4

-2

定义域R

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定

点（0，1）

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f（x）

ax（a

0且a

1）值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）]；

（2）若x

0，则f（x）

1；

f（x）取遍所有正数当且仅当

R；

（3）对于指数函数f（x）

1），总有f

（1）

a；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果

ax

（a

0,a1）

，那么数

叫做以

为底

．a．．N

的对数，记作：

xlogaN（a—底数，N—真数，loga

N—对数式）

注意底数的限制

a0，且a

1；

说明：

1

○2

loga

x；

logaN

○3

注意对数的书写格式．

两个重要对数：

常用对数：

以10

为底的对数lgN；

自然对数：

以无理数

e

2.71828

为底的对数的对数

lnN．

指数式与对数式的互化

幂值真数

ab＝NlogaN＝b

底数

第5页共7页

指数

对数

（二）对数的运算性质

如果a0，且a

1，M

0，N

0，那么：

○1

loga（M〃N）

logaM＋logaN；

M

M－logaN；

logaMn

nlogaM

（n

换底公式

logab

logcb

，且a

c

，且c

b

0）．

logca

利用换底公式推导下面的结论

（1）logambn

nlogab；

（2）logab

．

logb

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数

x（a

1）叫做对数函数，其中

x是

自变量，函数的定义域是（

0，+≦）．

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

2log2

x，y

log5x

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

对数函数对底数的限制：

0，且a

1）．

2、对数函数的性质：

2.5

1.5

11

0.5

34

7

8

3456

-0.5