届苏教版 平行与垂直单元检测.docx
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届苏教版平行与垂直单元检测
1.若α,β是两个相交平面,直线mα,则在平面β内, 与直线m垂直的直线.(填写“存在”或“不存在”)
【答案】存在
【解析】若m与两个平面的交线平行或m为交线,显然存在;若m与交线相交,设交点为A,在直线m上任取一点B(异于点A),过点B向平面β引垂线,垂足为C,则直线BC⊥平面β,在平面β内作直线l垂直于AC,可以证明l⊥平面ABC,则l⊥m.
2.(2016·全国卷Ⅱ)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;
③如果α∥β,mα,那么m∥β;
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题是 .(填序号)
【答案】②③④
【解析】对于①,m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故①错误;对于②,因为n∥α,所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c,因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知其正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.
3.(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,M,N分别为AB,PA的中点.
(1)求证:
PB∥平面MNC;
(2)若AC=BC,求证:
PA⊥平面MNC.
(第3题)
【解答】
(1)因为M,N分别为AB,PA的中点,所以MN∥PB.
因为MN平面MNC,PB平面MNC,所以PB∥平面MNC.
(2)因为PA⊥PB,MN∥PB,所以PA⊥MN.
因为AC=BC,AM=BM,所以CM⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,CM平面ABC,所以CM⊥平面PAB.
因为PA平面PAB,所以CM⊥PA.
因为PA⊥MN,MN平面MNC,CM平面MNC,MN∩CM=M,
所以PA⊥平面MNC.
4.(2016·镇江期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD=PC,底面ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,CD=2AB,点M是CD的中点.
(1)求证:
AM∥平面PBC;
(2)求证:
CD⊥AP.
(第4题)
【解答】
(1)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,点M是CD的中点,
所以AB∥CM,且AB=CM,
所以四边形ABCM是平行四边形,且是矩形.
所以AM∥BC.
又因为BC平面PBC,AM平面PBC,所以AM∥平面PBC.
(2)连接PM,因为PD=PC,点M是CD的中点,所以CD⊥PM.
又因为四边形ABCM是矩形,所以CD⊥AM.
因为CD⊥AM,CD⊥PM,PM平面PAM,AM平面PAM,PM∩MA=M,所以CD⊥平面PAM.
因为AP平面PAM,所以CD⊥AP.
5.(2017·南京期初)如图
(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.
(1)求证:
MN∥平面BB1C1C;
(2)若D在边BC上,且AD⊥DC1,求证:
MN⊥AD.
(第5题
(1))
【解答】
(1)如图
(2),连接A1C.
(第5题
(2))
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.
又因为N为线段AC1的中点,
所以A1C与AC1相交于点N,
即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.
因为M为线段A1B的中点,
所以MN∥BC.
又MN平面BB1C1C,BC平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.
因为AD平面ABC,所以CC1⊥AD.
因为AD⊥DC1,DC1平面BB1C1C,CC1平面BB1C1C,CC1∩DC1=C1,
所以AD⊥平面BB1C1C.
又BC平面BB1C1C,所以AD⊥BC.
又由
(1)知,MN∥BC,所以MN⊥AD.
一、填空题
1.(2016·盐城中学)下列对直线与平面平行的判定与性质的理解正确的是 .(填序号)
①若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.
②若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的无数条直线.
③若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.
④若直线a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线有无数条.
2.设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是 .(填序号)
①m∥β且l1∥α; ②m∥l1且n∥l2;
③m∥β且n∥β;④m∥β且n∥l2.
3.(2016·启东中学)若PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则一定互相垂直的平面是 .(填序号)
①平面PAB⊥平面PBC;
②平面PAB⊥平面PAD;
③平面PAB⊥平面PCD;
④平面PAB⊥平面PAC.
4.(2016·海安中学)若P为△ABC所在平面外一点,AC=a,△PAB,△PBC都是边长为a的等边三角形,则平面ABC和平面PAC的位置关系为 .
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长等于 .
(第5题)
6.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是 .(填序号)
①PB⊥AD;
②平面PAB⊥平面PBC;
③直线BC∥平面PAE;
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
(第6题)
二、解答题
7.(2016·淮安5月信息卷)如图,在三棱锥P-ABC中,D为AB的中点.
(1)若与BC平行的平面PDE交AC于点E,求证:
点E为AC的中点;
(2)若PA=PB,且△PCD为锐角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求证:
AB⊥PC.
(第7题)
8.(2016·泰州期末)如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAC=∠BAC=90°,PA=PB,点D,F分别为BC,AB的中点.
(1)求证:
直线DF∥平面PAC;
(2)求证:
PF⊥AD.
(第8题)
9.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面PAD,AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分别是棱PA,CD的中点.
(1)求证:
PC∥平面BMN;
(2)求证:
平面BMN⊥平面PAC.
(第9题)
10.(2016·苏锡常镇调研
(二))如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中点.
(1)求证:
BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上,且BP=BB1,求证:
AP⊥平面A1CD.
(第10题)
一、填空题
1.② 【解析】①中没有说明直线在平面外,故错误;②正确;③中的直线必须在平面外才成立;④中过点P且平行于a的直线有且只有一条.
2.② 【解析】因为m∥l1,且n∥l2,又l1与l2是平面β内的两条相交直线,所以α∥β;而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2,可能异面.
3.①② 【解析】因为BC⊥平面PAB,所以平面PBC⊥平面PAB,所以①正确,同理AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB,所以②正确.
4.垂直 【解析】如图所示,因为PA=PB=PC=AB=BC=a,取AC的中点D,连接PD,BD,则PD⊥AC,BD⊥AC.又AC=a,所以PD=BD=a.
在△PBD中,PB2=BD2+PD2,所以∠PDB=90°,所以PD⊥BD,所以PD⊥平面ABC.又PD平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
(第4题)
5. 【解析】由EF∥平面AB1C可得EF∥AC,点E为AD的中点,则F为DC的中点,所以EF=AC.而在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以EF=AC=×2=.
6.④ 【解析】因为AD与AB不垂直,所以①不成立;又平面PAB⊥平面PAE,所以平面PAB⊥平面PBC也不成立;因为BC∥AD,所以BC∥平面PAD,所以直线BC∥平面PAE也不成立;在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°,④正确.
二、解答题
7.
(1)平面PDE交AC于点E,即平面PDE∩平面ABC=DE,
而BC∥平面PDE,BC平面ABC,所以BC∥DE.
在△ABC中,因为D为AB的中点,所以E为AC中点.
(第7题)
(2)因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD.
因为平面PCD⊥平面ABC,平面PCD∩平面ABC=CD,
如图,在锐角三角形PCD所在平面内作PO⊥CD于点O,则PO⊥平面ABC.
因为AB平面ABC,所以PO⊥AB.
又PO∩PD=P,PO,PD平面PCD,则AB⊥平面PCD.
又PC平面PCD,所以AB⊥PC.
8.
(1)因为点D,F分别为BC,AB的中点,所以DF∥AC.
又因为DF平面PAC,AC平面PAC,
所以直线DF∥平面PAC.
(2)因为∠PAC=∠BAC=90°,
所以AC⊥AB,AC⊥AP.
又因为AB∩AP=A,AB,AP平面PAB,
所以AC⊥平面PAB.
因为PF平面PAB,所以AC⊥PF.
因为PA=PB,F为AB的中点,所以PF⊥AB.
又AC∩AB=A,AC,AB平面ABC,
所以PF⊥平面ABC.
因为AD平面ABC,所以AD⊥PF.
9.
(1)如图,连接AN,设AC与BN交于点O,连接MO.
(第9题)
因为AB=CD,AB∥CD,N为CD的中点,
所以AB=CN,AB∥CN,所以四边形ABCN为平行四边形,
所以O为AC的中点.又M为PA的中点,所以MO∥PC.
又因为MO平面BMN,PC平面BMN,
所以PC∥平面BMN.
(2)方法一:
因为PC⊥平面PAD,AD平面PAD,
所以PC⊥AD.
由
(1)同理可得,四边形ABND为平行四边形,
所以AD∥BN,所以BN⊥PC.
因为BC=AB,所以平行四边形ABCN为菱形,
所以BN⊥AC.
因为PC∩AC=C,AC平面PAC,PC平面PAC,
所以BN⊥平面PAC.
因为BN平面BMN,所以平面BMN⊥平面PAC.
方法二:
如图,连接PN.因为PC⊥平面PAD,PA平面PAD,所以PC⊥PA.
因为PC∥MO,所以PA⊥MO.
因为PC⊥平面PAD,PD平面PAD,
所以PC⊥PD.
因为N为CD的中点,
所以PN=CD,由
(1)得AN=BC=CD,
所以AN=PN.
因为M为PA的中点,所以PA⊥MN.
因为MN∩MO=M,MN平面BMN,MO平面BMN,
所以PA⊥平面BMN.
因为PA平面PAC,所以平面PAC⊥平面BMN.
10.
(1)如图,连接AC1交A1C于点O,连接OD.
(第10题)
因为四边形AA1C1C是矩形,所以O是AC1的中点.
在△ABC1中,O,D分别是AC1,AB的中点,所以OD∥BC1.
又因为OD平面A1CD,BC1平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为CA=CB,D是AB的中点,所以CD⊥AB.
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC⊥侧面AA1B1B,底面ABC∩侧面AA1B1B=AB,CD平面ABC,所以CD⊥平面AA1B1B.
因为AP平面A1B1BA,所以CD⊥AP.
因为BB1=AA1=AB,BP=BB1,
所以==,所以Rt△ABP∽Rt△A1AD,
从而∠
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